32
1.12. УСЛОВИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ АДЕКВАТНОСТИ ДИСКРЕТНОГО И ЦИФРОВОГО СИГНАЛОВ
Цифровой сигнал, как и цифровая система, осуществляющая его обработку (процессор ЦОС), имеют конечную разрядность и, следовательно, конечную точность представления и обработки чисел. Ввиду сложности математического описания цифровых сигналов и систем конечной разрядности в теории ЦОС используют идеализированные модели
цифрового сигнала и цифровой системы неограниченной точности (разрядности), которые математически адекватны соответственно дискретному сигналу и дискретной системе [11, 14, 15, 18, 40]. Условия
адекватности (символ ∆ ) записываются следующим образом:
x (n) ∆ x ц(n) при qх→∞ ; Ф[ x (n)] ∆ Фц[ x ц(n)] при qR→∞ ,
где qх и qR – разрядности цифрового сигнала и процессора ЦОС;
Ф[ ] и Фц[ ] − операторы обработки дискретной и цифровой систем, которые математически адекватны при большой разрядности процессора ЦОС.
Влияние же конечной разрядности цифровых сигналов и систем учитывают отдельно в виде погрешности обработки реальной системы ЦОС по отношению к ее точной дискретной модели методами, изложенными в главе 4.
1.13.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛА ИЗ ЦИФРОВОЙ ФОРМЫ
ВАНАЛОГОВУЮ
При преобразовании цифрового сигнала в аналоговый на выходе ЦАП |
||||||
формируется |
аналоговый |
квантованный |
сигнал |
! |
в |
виде |
y (t) |
||||||
последовательности примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов |
||||||
длительностью Тд, модулированных по амплитуде значениями выходного |
||||||
цифрового сигнала yц(nТд) |
(рис. 1.18). |
Ступенчатый |
сигнал |
! |
||
y (t) |
||||||
совпадает с откликом фильтра-интерполятора нулевого порядка на |
||||||
дискретные сигналы y(n) или yд(t), математически адекватные цифровому |
||||||
сигналу yц(n). |
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t |
|
|
|
|
|
|
y(n) (или yц(n), y(t)) |
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
0 Тд 2Тд |
…… |
nТд |
|
|
|
Рис. 1.18. Преобразование цифрового сигнала в аналоговый |
|
|||||
33
Это позволяет заместить ЦАП его линейной моделью из последовательно соединенных преобразователя цифрового сигнала в дискретный и фильтра-
интерполятора нулевого |
порядка (рис. 1.19). Отклик такой |
модели |
на |
|
единичный цифровой |
или дискретный импульс: uo(n) = |
1, при n = 0; |
||
|
0, при n ≠ |
0. |
||
(рис. 1.20, а) является импульсной характеристикой ЦАП в виде прямоугольного импульса ПТд(t) единичной амплитуды длительностью Тд:
|
|
|
|
1, t = 0 − |
T |
; |
(рис. 1.20, б). |
|
|
|
hЦАП(t) = ФЦАП[uo(n)] = ПТд(t) = |
0, t ≠ 0 − |
Tд |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yц(n) |
|
y(n) |
|
|
|
|
|
y(t) |
||
Преобразователь |
|
|
|
Интерполятор |
|
|||||
|
|
|
цифрового |
|
|
|
|
нулевого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
сигнала в |
yд(t) |
|
|
|
порядка |
|
|
|
|
|
дискретный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.19. Модель ЦАП
Преобразование Фурье от импульсной характеристики определяет частотную характеристику ЦАП, соответствующую частотной характеристике фильтра-интерполятора нулевого порядка:
|
|
|
|
|
∞ |
ПТд(t) e-jω tdt = Тдe-jх(sin x )/ x = Тдejϕ(ω |
) HЦАП(jω ) , |
|
||||||||
|
HЦАП(jω ) = ∫ |
(1.14) |
||||||||||||||
0 |
Тд/2 и HЦАП(jω ) = sin(ω Тд/2)/(ω Тд/2) |
− |
|
|
|
|||||||||||
где ϕ(ω ) = −ω |
фазочастотная (ФЧХ) |
|||||||||||||||
и амплитудно-частотная (АЧХ) характеристики ЦАП; |
x = ω Тд/2. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
uo(n) |
1 |
|
hцап(t) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 … |
n |
0 |
Tд |
t |
а) |
|
|
б) |
|
Рис. 1.20. Единичный импульс (а) и импульсная характеристика ЦАП (б)
На частоте ω = 0 HЦАП = 1, на частотах ± ω д/2 HЦАП = 2/π ≈ 0,65, на частотах ω к = kω д, k = 1,2,… HЦАП = 0. График АЧХ показан на рис.1.21.
34
|
|
|
1 |
Ya(jω ) |
|
Hцап(jω ) |
Y(jω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
-2ω д |
-ω д |
-ω д/2 |
|
0 |
ω д/2 |
ω д |
2ω д |
Рис. 1.21. Частотная характеристика ЦАП Нцап(t) и преобразования спектра |
|||||||
|
при цифро-аналоговом преобразовании |
||||||
Отличие частотной характеристики ЦАП от прямоугольной частотной характеристики идеального восстанавливающего ФНЧ с частотой среза ω д/2 приводит к искажениям сигнала, восстанавливаемого ЦАП.
Сигнал на выходе ЦАП можно описать сверткой дискретного сигнала
∞
уд(t) = ∑ у(t)δ (t − nТд), математически адекватного преобразуемому
n = 0
цифровому сигналу уц(n), с импульсной характеристикой hЦАП(t):
ˆ |
∞ |
∞ |
∞ |
|
∑ |
∫ у(τ )δ (τ − nТд)ПТд(t − τ )dτ = |
∑ |
y(n) ПТд(t − nТд). |
|
y (t) = |
n = 0 |
|
||
|
0 |
n = 0 |
||
Спектр выходного сигнала ЦАП определяется произведением его частотной характеристики и спектра преобразуемого дискретного сигнала
Y(jω ) (рис. 1.21):
! |
) = e |
jϕ(ω |
) |
) Y(jω ) . |
(1.15) |
Y (jω |
|
HЦАП(jω |
|||
Он отличается |
от спектра восстанавливаемого |
аналогового сигнала |
|||
Yа(jω ) = Тд Y(jω ), совпадающего со спектром дискретного сигнала в основной полосе ± ω д/2. Степень их отличия и определяет искажения сигнала, вносимые ЦАП. Искажения ЦАП обусловлены неравномерностью его АЧХ в основной полосе ± ω д/2 и недостаточным подавлением высокочастотных полос периодически повторяющегося спектра дискретного сигнала за ее пределами.
Высокочастотные искажения сигнала y! (t), проявляющиеся в форме ступенек, ослабляются сглаживающим аналоговым фильтром с частотой среза ω с ≤ ω д/2. Отличие выходного сигнала фильтра увых(t) от точного
35
аналогового сигнала у(t), т.е. результирующая погрешность восстановления, определяется произведением HЦАП(jω )HФ(jω ) частотных характеристик ЦАП и сглаживающего фильтра.
Количественно погрешность восстановления ∆ y(t) = увых(t) − у(t) можно оценить аналогично методической погрешности дискретизации сигнала ее предельным значением |∆ у(t)|maх или интегральным (1.8):
|
|
|
− ∞ |
|
|
1 / 2 |
|
||
|
|
|
∫ ∆ y 2 ( t )dt |
|
|||||
|
1 |
/ 2 |
− ∞ |
|
|
|
|
||
ε |
= {E[∆ y( t )]/ E[y( t )] } |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
− ∞ |
2 |
( t )dt |
|||||
|
|
|
|
∫ y |
|
|
|
||
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− ∞ |
|
|
|
)|2 dω |
1 / 2 |
||
|
|
∫|Y( jω )H ЦАП ( jω )HФ ( jω |
) − Y( jω )Пω д /2 ( jω |
|
||||||
|
|
|||||||||
= |
2π |
− ∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1 |
− ∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
∫|Y( jω )Пω |
д / 2 ( jω |
)| dω |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
||||||
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
||
Выбором аналогового фильтра высокого порядка с частотной характеристикой, имеющей подъем на границах полосы пропускания и большое затухание за ее пределами, можно обеспечить компенсацию частотной характеристики ЦАП в полосе пропускания и общие малые искажения восстанавливаемого сигнала. Иногда также с целью уменьшения частотных искажений в основной полосе вводят предискажения в частотную характеристику цифрового фильтра, выходной сигнал которого подлежит восстановлению.
Требуемые параметры сглаживающего фильтра, зависящие от отношения
частоты дискретизации |
к максимальной частоте спектра преобразуемого |
||
(восстанавливаемого) |
сигнала, |
аналогичны |
параметрам |
противомаскировочного ФНЧ на входе АЦП (см. п. 1.2.6). Высокое качество восстановления сигнала достигается в современных системах ЦОС без усложнения аналогового сглаживающего фильтра путем повышения частоты дискретизации восстанавливаемого цифрового сигнала и интерполяции его цифровым интерполирующим фильтром [38, 44].
На выходе ЦАП можно сформировать также сигнал y! (t) с длительностью модулированных по амплитуде импульсов τ о < Тд. Для этого достаточно обеспечить сброс регистра данных ЦАП в моменты времени t = nТд+ τ о. Такому ЦАП соответствует импульсная характеристика Пτ о(t) и частотная характеристика вида:
HЦАП(jω ) = τ о e-jх(sin x )/ x , где x = ωτ о/2.