21

центральных частот цифрового фильтра ω ’i, связанные с их исходными значениями ω i (например, ω 0 , ω c1, ω c2 на рис. 2.6) соотношением ω 'i=αω i. Следовательно, с изменением частоты дискретизации сигнала частотная характеристика цифрового фильтра автоматически перестраивается к новому значению частоты дискретизации.

Как показано выше, от абсолютного значения частоты дискретизации ω д не зависит частотная характеристика цифрового фильтра, заданная функцией цифровой частоты λ : H(jλ )=H(jω Tд). Это означает, что цифровой фильтр с центральной частотой λ 0 частотной характеристики H(jλ ) будет откликаться на дискретные сигналы с частотами ω 0i = λ 0fдi, соответствующими различным значениям частот дискретизации fдi этих сигналов.

Таким образом, периодичность, зависимость от частоты дискретизации и конечный верхний предел граничной частоты, равный ω д/2, принципиально отличают частотные характеристики цифровых фильтров и дискретных систем от аналоговых.

2.6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Рекурсивный фильтр (РФ) реализует алгоритм обработки, описываемый разностным уравнением (2.4). Выполним Z-преобразование левых и правых частей (2.4), учитывая свойства линейности и задержки Z-преобразования

(2.13), (2.14):

Переходя к отношению Y(Z)/X(Z), получим общее выражение для передаточной функции рекурсивного фильтра:

22

k = 1

Оно представляет отношение двух полиномов по степеням комплексной переменной z-1. Его можно рассматривать также как произведение двух передаточных функций: HН(z)=B(z-1) – нерекурсивной части фильтра и

H(z)=1/A(z-1) − рекурсивной части фильтра, т. е. H(z)=HH(z)HP(z).

Выражение передаточной функции (2.31) относительно переменной z-1, которая, как выше показано, отражает задержку на один период дискретизации, удобно тем, что по нему можно формально составить соответствующее передаточной функции разностное уравнение системы,

столь же формальным способом, основанном на сопоставлении разностного уравнения (2.4) и передаточной функции (2.31), можно непосредственно записать выражение для передаточной функции системы по ее известному разностному уравнению, не прибегая, как выше, к его Z-преобразованию. Знание этой взаимосвязи полезно и для рассматриваемого далее структурного представления дискретных систем, которое может быть выполнено как по разностному уравнению, так и по передаточной функции.

В выражении (2.31) передаточной функции, как и разностного уравнения (2.3), предполагается, что порядок N полинома B(z-1) не превышает порядка M полинома A(z-1), определяющего порядок цифрового фильтра М, т. е.

выполняется условие N ≤ M. В случае N >M передаточная функция (2.31), полученная по разностному уравнению (2.4), делением числителя на знаменатель приводится к сумме двух передаточных функций, первая из которых (частное) соответствует передаточной функции нерекурсивного

23

фильтра (N− M)-го порядка, а вторая (остаток от деления) передаточной функции рекурсивного фильтра, порядок числителя которой всегда меньше М.

При анализе цифровых фильтров передаточную функцию (2.31) выражают также в виде отношения полиномов B(z) и A(z) по положительным степеням переменной Z. Для этого достаточно числитель и знаменатель (2.31) умножить на zM:

которые, ни на что не влияя, обеспечивают равенство корней числителя и знаменателя (т. е. числа нулей и полюсов, см. ниже).

Однако передаточная функция рекурсивного фильтра может быть получена не только из Z-преобразования разностного уравнения, но и непосредственно задана или синтезирована в виде отношения двух

(2.33)

В данном случае выполнение условия N ≤ M является обязательным. Чтобы убедиться в этом, поделим числитель и знаменатель (2.33) на zM:

Выражению (2.34) соответствует следующее разностное уравнение:

24

По этому уравнению текущий отсчет выходного сигнала y(n) вычисляется не только по текущему x(n) и предыдущим x(n − l) отсчетам входного сигнала,

но и по (N − M) его будущим, т. е. неизвестным отсчетам x(n+ N − M), x(n+ N − M − 1), … x(n+ 1), что практически невозможно. Таким образом,

условие N ≤ M, при котором степень числителя передаточной функции, заданной в форме (2.33), не превышает степень ее знаменателя, является одним из вариантов условия физической реализуемости дискретной системы.

Если в выражении (2.33) N < M, то соответствующее разностное уравнение будет иметь вид:

Таким образом, передаточные функции рекурсивного фильтра в форме (2.32), (2.33) могут быть обобщенно представлены отношением двух

приравниванием нулю коэффициентов bl при N < l ≤ M.

В приведенных выше вариантах полиномиальной формы передаточной функции коэффициенты полиномов b0 и a0 (при l= k= 0) играют

25

масштабирующую роль (см. главу 4) и без потери общности могут быть положены равными единице.

По передаточной функции в форме (2.35) находятся ее нули и полюсы, играющие главную роль при синтезе и анализе рекурсивных фильтров.

Нули передаточной функции являются корнями числителя (2.35), т. е. значениями переменной z, обращающими в нуль полином B(z):

Индекс i означает номер нуля и полюса: i = 1, 2,…М, а М – число их, равное порядку фильтра. Цифровые фильтры с вещественными коэффициентами ak, bl имеют вещественные (в частном случае нулевые) и/или комплексносопряженные нули и полюсы. Нули и полюсы могут быть простыми и кратными. Если порядок числителя передаточной функции N меньше порядка знаменателя М, то такой фильтр имеет (M− N) нулей, равных нулю, т. е. размещенных в начале координат комплексной Z-плоскости.

Зная нули и полюсы передаточной функции, ее можно представить в так называемой нуль–полюсной форме, используя разложение полиномов числителя и знаменателя на элементарные сомножители:

(2.36)

В выражении (2.36) может присутствовать нормирующий множитель C=b0/a0, если коэффициенты b0 и a0 передаточной функции не равны единице.

26

Разложением на элементарные дроби передаточная функция (2.35) может быть преобразована также в сумму однополюсных или r-полюсных (r − коэффициент кратности полюса) простых (элементарных) дробей:

Коэффициенты Вi, Вu находятся с помощью вычетов в соответствии с

для кратных полюсов.

Из других способов определения коэффициентов В1, В2,… ВМ наиболее простым и универсальным является метод неопределенных коэффициентов, основанный на приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях z числителей в левой и правой (приведенной к общему знаменателю) частях (2.37) и последующем решении получающейся системы линейных уравнений

[24].

Элементарные дроби, имеющие комплексно-сопряженные полюсы,

объединяются в пары и преобразуются к дроби вида (Dz+E)/(z2+α 1z+α 2) с

вещественными коэффициентами D, E, α 1 = 2Re{zpi}, α 2 = |zpi|2, где Re{zpi} − реальная часть соответствующего полюса.

Выражения для передаточной функции в форме (2.36), (2.37) используются при реализации рекурсивных фильтров. Кроме того, они упрощают поиск аналитических выражений импульсных характеристик рекурсивных фильтров по их передаточным функциям. Связывающее их обратное Z-преобразование (2.25) в соответствии с общим выражением (2.18) находится суммированием вычетов подынтегральной функции F(z)=H(z)zn-1 в

27

полюсах zpi, которые, в свою очередь, определяются выражениям (2.19) для простых полюсов и (2.20) – для кратных, т. е.

Если все полюсы zpi передаточной функции H(z) – простые, то выражение (2.38) для импульсной характеристики может быть представлено в следующем, общем для данного случая, виде:

Для передаточной функции, заданной в нуль–полюсной форме (2.36), вычеты в простых полюсах определяются следующим образом:

При задании передаточной функции в виде суммы элементарных дробей (2.37) с простыми полюсами вычет i-й дроби в полюсе zpi равен коэффициенту Bi: resiZ = Zpi [Bi /( z − z pi )] = Bi . Выражение для импульсной

характеристики в этом случае получается в виде

При наличии полюса кратности r вычет в нем через передаточную функцию в форме (2.36) находится в виде