3

3.2. СИНТЕЗ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ ПО АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ.

МЕТОД БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

3.2.1. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА

Синтез РФ по аналоговому прототипу возможен методами отображения дифференциалов, заключающемся в дискретизации дифференциального уравнения аналоговой цепи, т. е. переходе от производных к конечным разностям, инвариантности импульсных характеристик, основанном на дискретизации импульсной характеристики аналоговой цепи и

согласованного Z-преобразования вида p + pр(0)i → 1 – z –1e– pp(0)iTД , где pр(0)i

− полюсы и нули преобразуемой передаточной функции аналоговой цепи. [15, 50]. Однако ни одним из них не достигается необходимое соответствие частотных свойств ЦФ и аналогового прототипа. Такое соответствие при синтезе ЦФ со ступенчатообразными АЧХ обеспечивает метод билинейного преобразования или инвариантности частотных характеристик [14, 15, 17, 26].

В этом методе синтезируемому ЦФ ставится в соответствие некоторый аналоговый фильтр-прототип ( АФП ) с передаточной функцией Н(р) и частотной характеристикой H(jΩ ), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(jω ) ЦФ:

фильтров. С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(p), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).

Преобразующие функции должны удовлетворять следующим условиям:

левая Р-полуплоскость p = σ + jΩ , σ < 0, в которой размещаются полюсы устойчивого АФП, должна однократно отображаться внутрь круга единичного радиуса |z| < 1, в котором на Z-плоскости размещаются полюсы устойчивого ЦФ, т.е. устойчивому АФП должен соответствовать устойчивый ЦФ;

вся мнимая ось частот jΩ АФП, Ω =(0 ± ∞ ), должна однократно, т. е. в

4

один обход, отображаться на окружность единичного радиуса Z-плоскости ejω Tд , ω = (0 ± ω д/2), обеспечивая близость частотных характеристик обоих фильтров.

Этим условиям отвечают простое билинейное преобразование и

обобщенные билинейные преобразования.

3.2.2. ПРОСТОЕ БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Данное преобразование применимо в случае, когда аналоговый и цифровой фильтры одинакового типа. Ему соответствуют преобразующие функции и частотные преобразования вида:

заключается в том, что минимальной частоте среза ЦФ ставится в соответствие единичное значение частоты среза нормализованного АФП:

Анализируя (3.1), (3.3), можно убедиться в соответствии билинейного преобразования вышеприведенным условиям отображения P и Z плоскостей.

Несмотря на нелинейность частотного преобразования, сжимающего бесконечный диапазон физических частот АФП в основную полосу физических частот ЦФ (0–fд /2) (λ = 0–π ) (рис. 3.2), при синтезе РФ со ступенчатообразными АЧХ обеспечивается необходимая эквивалентность АФП и ЦФ по параметрам δ 1, δ 2 , определяющим предельные погрешности аппроксимации, если граничные частоты среза и задерживания их связаны частотной преобразующей функцией:

Рис. 3.2. Преобразование ЧХ аналогового ФНЧ в частотную характеристику цифрового ФНЧ

Однако вследствие нелинейности частотного преобразования возможно существенное отличие ФЧХ цифрового и аналогового фильтров.

3.2.3. ОБОБЩЕННЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Синтез аналоговых фильтров с разными типами АЧХ (ФВЧ, ППФ, ПЗФ,

МПФ ) выполняется по нормализованному аналоговому ФНЧ-прототипу

(АФПНЧ). Представляется удобным использование нормализованного аналогового ФНЧ и в качестве прототипа при синтезе ЦФ. При этом каждому типу ЦФ ставится в соответствие обобщенное билинейное преобразование p = fоб(z) и соответствующее ему частотное преобразование Ω = fоб(λ ), которые непосредственно устанавливают связь между передаточной функцией и частотной характеристикой АФПНЧ и ЦФ заданного типа и исключают необходимость каких-либо дополнительных промежуточных преобразований.

Для основных типов фильтров обобщенные преобразования приведены в табл. 3.1.Частотные преобразования представлены в таблице соотношениями между граничными частотами аналогового ФНЧ и ЦФ заданного типа. Для цифровых ППФ и ПЗФ в качестве частоты задерживания Ω з аналогового ФНЧ-прототипа принимается одна из расчетных частот Ω з1,2, имеющая наименьшее по модулю значение.

6

Частотные преобразования табл. 3.1. иллюстрируются графиками рис.3.3, а, б, в.

3.2.4. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА АНАЛОГОВОГО ФНЧ-ПРОТОТИПА

Синтез АФПНЧ включает выбор аппроксимирующей функции, определение порядка фильтра m, значений нулей p0i и полюсов ppi и передаточной функции по заданным граничным частотам Ω с = 1, Ω з и допускам на погрешности аппроксимации δ 1, δ 2 ( aп, aз ). Синтез выполняется по справочникам или с помощью специальных компьютерных программ.

9

дроби.

К полиномиальным относятся аппроксимации Тейлора (фильтры Баттерворта), Чебышева, к дробным – Кауэра–Золоторева (эллиптические фильтры), Чебышева инверсная. Передаточные функции фильтров с полиномиальной аппроксимацией не имеют конечных нулей, их частотные характеристики монотонны в полосе задерживания. У фильтров с дробной аппроксимацией передаточные функции имеют нули на конечных частотах в полосе задерживания, а частотные характеристики – пульсации (в том числе равноволновые) в этой полосе. Фильтры Чебышева и эллиптические имеют равноволновые пульсации и в полосе пропускания.

Типичные графики частотных характеристик нормализованного АФПНЧ с полиномиальной и дробной аппроксимациями приведены на рис. 3.4.

Для частотных характеристик с равноволновыми пульсациями на графиках указаны соответствующие им частоты нулей и полюсов Ω pi, Ω 0i ПФ.

Фильтры с дробной аппроксимацией обеспечивают лучшие характеристики затухания при одинаковом порядке фильтра или меньшее значение порядка при заданном затухании

частотной характеристики.

1-δ 1

Рис. 3.4. Графики частотных характеристик нормализованного АФПНЧ, соответствующие различным аппроксимирующим функциям