31 |
|
Максимальное значение выходного шума |
= 1,086114 |
Мощность выходного шума |
= 0,08437563 |
СКЗ выходного шума |
= 0,2904748 |
....................................... |
|
Частота сигнала 10000 Гц |
Частота сигнала 7500 Гц |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Каковы источники погрешностей ЦОС, связанные с конечной разрядностью чисел?
2.Какие способы представления и форматы чисел используются в цифровых фильтрах?
3.Чем вызывается необходимость ограничения разрядности чисел в процессе обработки сигнала в РФ?
4.Чем обусловлена необходимость масштабирования сигналов в ЦФ и как оно осуществляется?
5.Каковы условия масштабирования сигналов в ЦФ?
6.В чем суть и различие используемых методов расчета ММ?
7.Как зависит выбор метода расчета ММ от вида сигнала?
8.Как рассчитать ММ для каскадной формы РФ?
9.В чем особенности расчета ММ РФ при прямой и канонической форме реализации их звеньев?
10.Как проверяется правильность выбора ММ с помощью моделирования ЦФ на ЭВМ?
11.Как строятся и используются шумовые эквивалентные схемы при оценке точности ЦФ?
12.В чем суть детерминированного и вероятностного методов оценки точности ЦФ?
13.В чем различие детерминированной и вероятностной оценок точности ЦФ?
14.Как зависит выбор метода расчета точности ЦФ от особенностей сиг-
нала?
32
15.Как рассчитать шумы квантования АЦП на выходе ЦФ?
16.Как рассчитать шумы квантования произведений для каскадной формы реализации РФ?
17.Как рассчитать шумы квантования произведений для НФ на основе
ДВС?
18.Из каких условий и как рассчитываются необходимые значения разрядностей АЦП и умножителей (произведений)?
19.Как влияет включение ММ на отношение сигнала к шуму квантования на выходе ЦФ?
20.Как влияет ограничение разрядности коэффициентов ЦФ?
21.Как решаются задачи оценки и обеспечения точности ЦФ с помощью моделирования на ЭВМ?
22.Как моделируется программно ограничение разрядности чисел в ЦФ?
1
5.ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
СКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
ИЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ
5.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), иллюстрируемое рис. 5.1, со- |
|||||||||||
ответствует выборкам непрерывного преобразования Фурье |
|
(или спектра) |
|||||||||
X(jω ) дискретной последовательности x(n)N1 конечной длины N1, вычислен- |
|||||||||||
ным на дискретных равностоящих частотах ω |
k= k ∆ω |
: |
|
|
|
||||||
|
|
ДПФN [x( n )] = |
|
|
|
N1 |
− 1 |
− jω |
k nTд |
|
|
|
|
X ( jω |
)|ω = ω |
k = |
∑ |
x( n )e |
, |
(5.1) |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n= |
0 |
|
|
|
|
где ∆ω |
=ω д/N – шаг дискретизации по частоте; N – число вычисляемых час- |
||||||||||
тотных выборок ДПФ в полосе частот 0 − ω |
д , в общем случае не равное N1; |
||||||||||
k = 0, 1... N – 1 – номер частотной выборки. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
| X ( jω |
) |, | X ( jω K ) | |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
− |
N − 1 |
. . . -2 -1 0 1 2 3 . . . |
N − 1 |
|
|
N |
|
|
|
ω |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
∆ ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1. Дискретизация сигнала в частотной области |
|||||||||
Выбор шага дискретизации по частоте определяется возможностью восстановления сигнала x(n) и его непрерывного спектра X(jω ) по ДПФ.
Восстановление сигнала по дискретизированному по частоте спектру осуществляется с помощью обратного ДПФ (ОДПФ). Как и прямое ДПФ (5.1), ОДПФ может быть получено путем дискретизации по частоте непре-
|
|
|
|
|
ω |
д |
|
|
|
рывного обратного преобразования Фурье: |
x( n ) = |
Tд |
|
∫ |
X ( jω )e jω |
nTд dω . |
|||
2π |
|||||||||
Используя замены dω → ω д/N ; ∫→Σ ; ω → |
|
ω |
|
0 |
|
|
|||
|
к , находим |
|
|
|
|||||
ОДПФN [X ( jω k )] = x p ( n ) = |
1 |
|
N − 1 |
k )e jω |
k nTд . |
|
|||
|
∑ X ( jω |
(5.2) |
|||||||
|
|
||||||||
|
N k = 0 |
|
|
|
|
|
|||
2
Сигнал xp(n) периодичен с периодом N: xp(n) = xp(n – iN), i = 0, ± 1, .. и связан с сигналом x(n) соотношением xp(n)= ∑ i x( n − iN ).
При N ≥ N1 xp(n) = x(n), n = 0, 1.. N – 1, т.е. сигнал xp(n) на интервале
0.. N – 1 точно совпадает с исходным сигналом x(n), дополненным (N – N1) нулевыми отсчетами и является периодическим его продолжением за пределами этого интервала (рис. 5.2). ОДПФ, вычисляемое на интервале 0.. N – 1, обеспечивает в данном случае точное восстановление сигнала x(n) по его ДПФ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x p (n) , |
x(n) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N01 |
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
-N |
-2 -1 0 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1-1 N-1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Рис. 5.2. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N ≥ |
N1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
При N < N1 (∆ω |
= ω д/ N > ω д /N1) имеет место перекрытие периодизиро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ванных с периодом N последовательностей x(n) (явление наложения во временной области), так что x p ( n ) ≠ x( n )при n = 0.. N1 − 1 (рис. 5.3). Это ис-
ключает возможность точного восстановления сигнала по его дискретизированному спектру.
Соотношение N ≥ N1 определяет условие выбора шага дискретизации по частоте ∆ω ≤ ω д/N1, которое отвечает также теореме Котельникова в частотной области (спектр сигнала конечной длительности может быть точно восстановлен по его частотным выборкам, взятым с вышеуказанным шагом по частоте ∆ω ). Вычисление ДПФ по числу точек N, превышающему длину последовательности N1 (дополняемую в этом случае (N − N1) нулевыми отсчетами), эквивалентно интерполяции по частоте спектра, дискретизированного с максимально возможным шагом ∆ω = ω д/N1. Дополнение x(n) нулевыми отсчетами используется для повышения частотного разрешения ДПФ.
|
x p (n) |
|
|
|
. . . |
|
|
|
. . . |
-N |
0 |
|
|
n |
|
N |
N-1 |
2N |
|
|
|
|||
Рис. 5.3. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N< N1 |
|
|||
3
Таким образом, N-точечное ДПФ соответствует спектру периодизированной с периодом N исходной последовательности x(n)N1 конечной длины N1 ≤ N. ДПФ совпадает также с преобразованием Фурье периодической последовательности xp(n) с периодом, равным N, имеющей линейчатый спектр.
Пару преобразований ДПФ − ОДПФ (5.1), (5.2) представляют как в виде функции дискретной частоты ω к , так и номера частотной выборки k:
ДПФN [x( n )] = X ( jwk ) = |
X ( jk ) = |
N∑− 1 x( n )e− j |
2π |
|
kn , k = 0, 1.. N − |
|
|||||
N |
|
1. (5.3) |
|||||||||
|
|
|
|
n= 0 |
|
2π |
|
|
|
|
|
ОДПФN [X ( jk )] = x( n ) = |
|
1 |
N∑− 1 |
X ( jk )e j |
kn |
|
|
||||
|
N |
, n = 0, 1.. N − 1. |
(5.4) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
N k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление ОДПФ и ДПФ требует N2 |
операций умножения и N(N − 1) |
||||||||||
операций сложения комплексных чисел. |
Оба преобразования используют |
||||||||||
единый вычислительный алгоритм, основанный на их достаточно простой взаимосвязи:
ОДПФN [X ( jk )] = N1 {ДПФN [X * ( jk )]}* ,
где * − операция комплексного сопряжения.
Граф-схема алгоритма программной реализации ДПФ для комплексных последовательностей приведена на рис. 5.4. Входными данными программы являются реальная xre(n) и мнимая xim(n) составляющие преобразуемой последовательности x(n), ее длина N1 и число точек ДПФ N, выходными – реальная Xre(jk), мнимая Xim(jk) составляющие, модуль |X(jk)| и аргумент ϕ (k)
ДПФ X(jk).
1