1

2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИСКРЕТНОЙ ВРЕМЕННОЙ СВЕРТКИ

2.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

Дискретной по определению называется система, осуществляющая обработку дискретных сигналов. В данном случае понятия дискретная система и дискретный сигнал используются как синонимы и математические модели цифровой системы и цифрового сигнала с

неограниченной разрядностью и точностью обработки.

Дискретная система, как и аналоговая, полностью определяется математическим оператором, устанавливающим связь между ее выходным и входным сигналами или последовательностями: y(n) = Ф[x(n)], y(t) =

Фа[x(t)]. Оператор системы, реализуемый аппаратными или программными средствами, называют алгоритмом обработки системы.

По виду оператора дискретные системы классифицируются на линейные и нелинейные, инвариантные и неинвариантные ко времени. В данном

учебном пособии рассматриваются алгоритмы цифровой фильтрации, которым соответствуют линейные дискретные системы с постоянными параметрами (или коэффициентами). Они удовлетворяют принципам суперпозиции:

y(n) = Ф[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1Ф[x1(n)] + a2Ф[x2(n)]

(отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие) и инвариантности к временному сдвигу, т. е. независимости отклика от момента приложения воздействия:

y(n − m) = Ф[x(n − m)],

где x(n − m), y(n − m) − последовательности, задержанные (или сдвинутые вправо) относительно x(n) и y(n) на m отсчетов или периодов дискретизации Тд.

2

2.2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

И АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НА ИХ ОСНОВЕ

Аналоговые линейные системы во временной области математически описываются дифференциальными уравнениями и интегралом свертки [1]:

где h(t) – импульсная характеристика, являющаяся реакцией аналоговой системы на сигнал типа дельта-импульс: h( t ) = Фa [δ ( t )] .

В дискретных системах аналогом дифференциального уравнения (2.1)

является разностное уравнение:

периодов дискретизации.

Разностное уравнение может быть получено, в частности, дискретизацией по времени дифференциального уравнения с помощью замен вида:

dx → x(n) − x(n − 1) – первая разность и т. д. [50].

При a0 = 1 разностное уравнение (2.3) приводится к виду:

(2.4)

Устройство или программа, реализующие разностное уравнение (2.4) (т. е. выполняющие обработку сигнала в соответствии с разностным уравнением), называются дискретным или цифровым фильтром (ЦФ).

4

Это фильтр без обратной связи, его выходной сигнал определяется взвешенной с весами bl суммой текущего и N предыдущих отсчетов входного сигнала (рис. 2.1, верхний график). Уравнение (2.5) называют также алгоритмом скользящего весового усреднения (с нормирующим или без нормирующего множителя перед знаком суммы).

Аналогом интеграла свертки (2.2) в дискретных системах является

дискретная временная свертка (ДВС). Ее выражение получают с помощью

Входящая в (2.6) дискретная функция h(m) (или h(n)) называется

импульсной характеристикой дискретной системы. Она определяется как отклик дискретной системы на сигнал типа единичный импульс u0(m) = 1, m = 0 и u0(m) = 0 при m > 0: h(m) = Ф[u0(m)]. Для физически реализуемой системы h(m) = 0 при m < 0 (отклик не может опережать воздействие); поэтому ДВС обычно представляют в виде:

Возможны два вида импульсных характеристик ЦФ: бесконечной и конечной длительности (рис. 2.2).

5

Рис. 2.2. Единичный импульс (а) и импульсные характеристики цифровых фильтров БИХ-типа (б) и КИХ-типа (в)

Бесконечную импульсную характеристику имеют рекурсивные фильтры, поэтому их часто называют также БИХ-фильтрами [15]. По импульсной характеристике можно судить об устойчивости РФ. Устойчивому РФ отвечает затухающая со временем импульсная

характеристика, что математически выражается как ∑∞ | h( m )|< ∞ .

m= 0

Нерекурсивные цифровые фильтры относятся к классу КИХ-фильтров, т. е. фильтров с конечной импульсной характеристикой. Выражение ДВС

(2.7) для НФ имеет конечные пределы суммирования, определяемые длиной импульсной характеристики N:

(2.8)

Это означает, что ДBC можно непосредственно использовать при реализации НФ в качестве алгоритма обработки, что невозможно для РФ вследствие бесконечности их импульсной характеристики и требуемого в связи с этим бесконечно большого объема вычислений.

Из сопоставления (2.5) и (2.8) следует, что значения импульсной характеристики в выражении ДВС (2.8) тождественны коэффициентам bl в разностном уравнении НФ (2.5): h(m) = bl|m=l и являются, таким образом, коэффициентами НФ. Поэтому, учитывая большое значение и

6

информативность свертки при описании дискретных сигналов и систем,

принято говорить, что НФ реализуют алгоритм цифровой фильтрации на основе ДBC (2.8), а РФ – алгоритм на основе разностного уравнения в его общей форме (2.4).

2.3. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СИГНАЛОВ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

(В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ)

Наиболее общим для аналоговых сигналов является операторный метод их описания на комплексной плоскости:

где p = σ + jω − комплексный оператор Лапласа или комплексная частота [1]. Преобразованию Лапласа на мнимой оси jω (оси частот) соответствует

преобразование Фурье аналогового сигнала, определяющее его спектр:

∞

X a ( jω ) = X a ( p ) p= jω = ∫ x( t )e− jω t dt.

0

Для дискретных сигналов преобразование Лапласа получается из (2.9) с

Однако в отличие от аналоговых сигналов и систем преобразование (2.9′) не приводит к рациональным функциям при математическом описании дискретных сигналов и систем на комплексной Р-плоскости. Этому важнейшему условию отвечает Z-преобразование дискретных сигналов, определяемое соотношением

7

Комплексная переменная z в (2.10) связана с переменной p (оператором Лапласа):

z = e pTд = a + jb = eσ Tд e jω Tд .

(2.11)

Эта связь иллюстрируется отображениями точек из комплексной P-плоскости на комплексную Z-плоскость (рис. 2.3). Особенность этих отображений заключается в их цикличности по переменной ω , обусловленой периодичностью комплексной экспоненты ejω Tд с периодом ω д:

j[ ω + kω д ]Tд , k = 0, ± 1, ± 2 и т. д.

8