Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1316 вузов, 5367 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
117
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

490

X. Динамика материальной системы

Задача 43.4

Однородный стержень АВ длины а поставлен в вертикальной плоскости под углом (р0 к горизонту так, что концом А он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом В — на гладкий горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости. 1) Определить угловую скорость и угловое ускорения стержня.

2)Найти, какой угол ф| будет составлять стержень

сгоризонтом в тот момент, когда он отойдет от стены.

Ре ш е н и е

1)Применим теорему об изменении кинетической энергии:

Т-Т0 = £Аек,

(1)

где Г0 — кинетическая энергия при ф = ф0, Г0 = 0; Т — кинетическая энергия при произвольном угле ф — вычисляется по формуле (теорема Кенига):

 

 

а . .

 

 

.

 

а .

 

,

та

 

 

ХС = -ф81Пф,

у с

= ~ - ф С 0 5 ф ,

 

—

(а1

.2.7

а2 .

7

^

+

та2

ф2

та2ф2

 

— ф sm ф+—«rcos*q>

 

12

— =

 

—.

 

4

 

 

 

J

2

 

6

 

Работа силы тяжести mg при изменении угла ^ от ф0 до ф (см. рисунок)

Тогда уравнение (1) пример вид

та2ф2

mga, .

. .

— - f - = —г—(sm ф0

- sm ф).

6

1

 

Откуда

•> Зг

ф^ = — (БШфо - sin ф).

а

43. Смешанные задачи

 

491

Значит, угловая скорость стержня АВ

 

ф =,/—(sin сро - sin ф).

(2)

а

 

 

Продифференцируем выражение (2) и найдем угловое ускорение ф

стержня:

 

 

—— = 2фф =

— фСОБф,

 

dt

а

 

откуда

ф=—-cosy. 2а

2)Реакция стены в точке А

Na ~тхс

= ——(фхщ ф+ф2 совф) =

 

_ т а -—sin фсов ф+—(sin фо - sin ф) соБф

 

2а

а

 

В момент, когда стержень отойдет от стены, NA =0, т.е.

 

2 .

 

 

Sjn ф| = уБШфо.

 

/3i

Зг

2

О т в е т : 1) ф= / — ( s u ^ - s i n ^ ) ; ф = — - с о $ ф ; 2) 8Шф1

= ~Бтф0 .

На

2а

3

Задача 43.5

Использовав условие предыдущей задачи, определить угловую скорость ф стержня и скорость нижнего его конца в момент падения стержня на пол.

Р е ш е н и е После отделения стержня АВ от стены горизонтальная скорость

его центра масс постоянна и равна

 

 

 

 

v & = |$sin<p

я

1

3

J T . 2 .

)2 .

 

» °

 

V

$

'

(p=arcsin—sin ч>

 

3

 

 

 

 

 

 

* fc™

2 . „

_

1

 

 

 

-5(Пфо

-5!Пфо =-5}Пфо Vi^smcpo,

2 V а

3

3

492

X. Динамика материальной системы

В момент отделения от стены стержень совершает мгновенно-по- ступательное движение. Поэтому

1.

vb = vcx = jsinф0 Vgosm^o".

Кинетическая энергия стержня АВ после отделения от стены

Т

т

, 2 , 2 ч , т а 1

ф2

-

m

( g a

• з

 

« 2 - 2

 

COS—

1 та2&2

Т

= -

+ v^) +

 

 

 

 

,I

6

-Sin фп +- — ф«

ф- -

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

12

 

2

 

2 1 9

 

 

4 v

 

 

Y

24

при падении, т.е. при ф = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mga

SHT ф0 +

/ш2ф2

 

 

 

 

 

 

 

 

7<f=o ~I F

 

 

 

 

 

 

 

Итак, применив теорему об изменении кинетической

энергии

 

 

 

 

 

•

2 .

 

 

 

 

„

..

 

 

 

 

в промежутке от ф = arcsin -

sin <р0 до ф = О, найдем угловую скорость

стержня при падении:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mag .

 

ma2ф2

 

mga .

 

 

mga (2 .

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з1пф0 ~sinO°

 

 

 

 

ma2(о2

=

mga .

 

f. sin2m0Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Г"

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф|«р=0 =

 

3g

 

- ^'п 2 фо

|sm<po.

 

 

 

О т в е т :

ф =

3g

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ф0J81Пф0; vB--^sin<p0Jgasincfo.

 

 

 

 

Задача 43.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тонкая однородная

доска ABCD

прямо-

 

 

 

 

угольной формы прислонена к вертикальной

 

 

 

 

стене и опирается на два гвоздя Е и F без го-

 

 

 

 

ловок; расстояние AD равно ЕЕ. В некоторый

 

 

 

 

момент доска начинает падать с ничтожно ма-

 

 

 

 

лой начальной угловой скоростью, вращаясь

 

 

 

 

вокруг прямой AD. Исключая возможность

 

 

 

 

скольжения доски

вдоль гвоздей, определить

 

 

 

 

43. Смешанные задачи

493

угол а = ZBAfy, при котором горизонтальная составляющая реакции изменяет направление, и угол а2 в момент отрыва доски от гвоздей.

Р е ш е н и е

Применим теорему об изменении кине- д тической энергии:

„

п

rr< III" /г

 

где Г0

=0;

Т =

2

0

 

3

АВ

V Аек - mg • — ( 1 - со5ф), ф = ZBABi = а -

На основании теоремы о движении центра масс (в данном случае

точка С ) запишем:

 

 

 

 

 

mxc - Nx,

myc = Ny

-mg.

Найдем угловую скорость доски

 

 

<р =

т-АВ2(р2

 

mg-AB(1 - СОБф),

откуда

6

 

2

 

Ф2 _ 3g(l -cos(p)

 

 

(1)

 

 

 

АВ

 

 

Продифференцируем это выражение и найдем угловое ускорение

 

2фф = -

AD

г ф,

 

 

 

 

 

 

 

ф: 3£5Шф

(2)

 

 

 

2АВ

'

 

Координаты центра масс доски (см. рисунок)

ха

АВ .

(Р'

Ус

АВ

= у ' s i n

= - у

• cos<P'

откуда

 

 

 

 

 

 

АВ .

 

Ус

АВ . .

Х г = — - ф О К ф ,

2

фэтф;

 

 

 

 

 

494

X. Динамика материальной системы

 

-2 • ч

 

ХС ' = - y - ( $ C O S <p- ф Sin ф),

 

Ус -

— — (ф sm ф+ф cos ф).

(3)

Горизонтальная составляющая реакции изменит направление при Nx = тхс = 0, т.е. при

фСО5ф-ф28Шф = 0.

(4)

Подставим в уравнение (4) выражения (1) и (2) и определим угол фь при котором изменяется направление горизонтальной реакции Nx:

3g si п фсо5ф

3g(l - cos ф) sin ф _ Q

2 АВ

АВ

или

совф) - 2 +2со5ф, =0,

откуда

со5ф! = -2, ф] = ai = arccos -2 = 48°1 Г.

Вертикальная составляющая реакции изменит направление при Ny =п9с + m g - 0, т.е. при

Pc + g = 0.

(5)

Найдем угол ф2, при котором произойдет отрыв доски от гвоздей. Подставим выражение (3) в уравнение (5):

($sin ф+ф2 созф) + g = 0,

3 sin2 ф+ 3(1-cos ф) cos ф + 1=0,

4 - 3 s i n 2 9 - 6 c o s 9 + 6 c o s ^ = 0,

9 cos2 ф—6со5ф+1 =0.

Тогда

С05ф2

43. Смешанные задачи

495

Ф2 = а 2 - arccos I = 70°32'.

О т в е т : а, = arccos -2

= 48°1 Г; а 2

= arccos -1

= 70°32'.

3

2

3

 

Задача 43.7

Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями со, и со2; моменты инерции дисков относительно этой оси равны /| и /2. Определить потерю кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены фрикционной муфтой. Массой ее пренебречь.

Р е ш е н и е

Поскольку моменты внешних сил, действующих на вращающиеся диски (см. рисунок), относительно оси вращения х равны нулю, то кинетический момент остается постоянным (векторы внешних сил пересекают ось х).

Следовательно,

 

/,(0, + /2Ш2 = (/, + /2)со =>со=

+ / г 2 ( °2 ,

 

/,+/2

где со — угловая скорость дисков после соединения.

Для определения потери кинетической энергии применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

AT = Т2-Т\,

где Тг — кинетическая энергия системы до соединения дисков; Т{ — кинетическая энергия соединенных дисков.

496

 

 

X. Динамика материальной системы

Найдем

 

 

 

'2

_

/,<Oi2

, /2Ю2

 

—

+ „ >

 

 

2

 

Ч

/,+/2

J

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

AT = 17,(0? + 1 /2<oj - 1 ( 7 ,

+

/ 2 )f / l 0 ) l +

1

= 1/,со? +—/2а>1-

2

2

2

 

\

I\ + h

)

2

2

1 7,2 со,2 + 2/|СО]/2со2 + / 2 и 2

_ 1

/,I

(со, -со2 )2 .

 

2

 

/,+/2

 

 

2 / , + / -

 

 

О т в е т : ДГ = — — ( с о , -со2)2.

 

 

 

 

2

7, +/2

 

 

 

 

 

 

 

Задача 43.8

Тело А вращается без трения относительно оси ОСУ с угловой скоростью С0л- В теле А на оси ОхО{ помещен ротор В, вращающийся в ту же сторону с относительной скоростью сой.

Оси ОСУ и ОхО{ расположены на одной прямой. Моменты инерции тела А и ротора В относительно этой прямой равны 1А и 1В. Пренебрегая потерями, определить работу, которую должен совершить мотор, установленный в теле А, для сообщения ротору В такой угловой скорости, при которой тело А остановится.

Р е ш е н и е

Применим к вращающимся телам А и В теорему об изменении кинетического момента механической системы:

dlг

dt

43. Смешанные задачи

497

В этом случае момент мотора — внутренний фактор, действующий как на тело А, так и на тело В. Следовательно кинетический момент системы постоянен, т.е.

IAi0А + 1В((0А + щ ) = /гсо => ш = фа + со,, + щ .

1в

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы:

 

Т-Т0

= А,

где А — работа мотора.

 

 

Начальная энергия системы

 

т -_ Ia(°2a I

Ь^л+Щ)2

0

2

2

Конечная энергия системы

.3

Тогда работа, которую должен совершить мотор,

 

Л = \1в\~®а

+ ®А + Щ I

-

2

 

2 ч / *

 

;

 

 

Г / 2

>

+

 

 

1

= 5 ' »

+

 

со^+2 — с о ^ н - 2(йА(йв -~Ia<£>A

 

4 '

 

 

 

 

1в<Ол -

 

h®A®B-\hu>2B

 

т^+уУ^лщ

О т в е т : А— — 1А (йгА\\ + ^ + 2 ® А ( я в

2

498

X, Динамика материальной систему

Задача 43.9

На шкив, вращающийся без сопротивления вокруг горизонтальной оси О с угловой скоростью (Ооэ накинули ремень с двумя грузами на концах. Шкив — однородный диск массы т и радиуса г, масса каждого из грузов М - 2т. Считая начальные скорости грузов равными нулю, определить, с какой скоростью они будут двигаться после того, как скольжение ремня о шкив прекратится. Найти также работу сил трения ремня о шкив.

Р е ш е н и е

Применим теорему об изменении кинетического момента системы (шкив и два груза) относительно оси z, перпендикулярной плоскости рисунка:

dL

dt

Так как £ M0z(Ff) = 0, то LQz = const. Тогда

/(ОО = / Ш + 2 М У Г ,

где v — скорость груза, v = оэг.

Следовательно,

 

(Оо =

со+2 • 2тыг2=> со = Юо

2

2

Значит, скорость каждого груза

V = ЮГ = - (ОПГ.

9

Для определения работы сил трения Атр применим теорему об изменении кинетической энергии системы, имея в виду, что суммарная работа сил тяжести грузов равна нулю:

Т

^

1 Mv1

_1а>1

Атр = Т - Т 0 Т =

2

+ 2

Та =

 

 

 

43. Смешанные задачи

.

/(On

= > A nр =

2 1

\(тг2а>1

тг 2

1

 

2 V 2

2

499

Л»2

2 - 2 m v 2

I , , 2 , 2

2 2\

2

— —

= — ( / с о о - / ю - 4 / Я О Г Г ) =

2

2

 

со j,

.

со I

-А

 

1

2

гП

f - 4 / и

 

 

= - т И о ) о

9

 

9 2

J

 

2

 

Л 2

 

 

2

2 2

.

 

 

 

= -т(я$г

 

 

 

1 1

2 81 8 U

1

.

2

2

2

О т в е т : v = - « v ; Ар ~ ~ т < а о г

•

Задача 43.10

Твердое тело массы М качается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояния от оси подвеса до центра масс С равно а; радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было отклонено из положения равновесия на угол <р0 и отпущено без на-

чальной скорости. Определить две составляющие реакции оси R n N, расположенные вдоль направления, проходящего через точку подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла ф отклонения тела от вертикали.

Р е ш е н и е

Рассмотрим колебательное движение тела.

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка:

/ф = -Са8Шф.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности