doc2
.pdf480 X. Динамика материальной системы
Из уравнения (8) найдем
|
/ |
Mi |
Л |
X§ = |
теп |
-3-1? sin2a - M^Ll sin a |
|
AB-30/ |
|||
3,14-1,5 |
W 8 0 0 |
0 |
|
3-30-2 |
-3— -302 • sin90°-5000 • 30 • 10 • sin45° |
||
|
|
|
|
\
= 62 525 (H) = 62,5 (кН).
Тогда согласно уравнению (5)
= - Х § = -62,5 кН.
П р и м е ч а н и е . В задачнике дан неточный ответ.
О т в е т : YA = -YB = 0, Хв = |
-Хл=62,5кН. |
482 |
X. Динамика материальной системы |
По теореме об изменении кинетической энергии
или
Т ^ Х Д ь |
(1) |
Го = 0, так как стержень начал вращаться из состояния покоя. Кинетическая энергия стержня
1 - .,2
Т = ±1ва>2,
где IB = -]m(21) 7 = 4 -> момент инерции.
Тогда
Т = -3т12а>2. |
(2) |
Суммарная работа внешних сил характеризуется работой силы тяжести mg при переходе стержня из горизонтального в вертикальное
я п
положение, т.е. при его повороте на угол (р = —.. При этом центр тя-
жести С опускается на расстояние / и тогда
lAek=mgl. (3)
Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), получим
—ml2со2 =mgl.
3
Откуда
т = ,121
Найдем скорость центра масс
/Т
Ус = Шl = J~gl. ( 5 ) ~12
43. Смешанные задачи |
|
|
483 |
Составим дифференциальные уравнения |
плоскопараллельного |
||
движения стержня: |
|
|
|
тхс - mg, |
(6) |
||
т у с = 0 , |
|
(7) |
|
1с — |
= 0. |
(8) |
|
dt |
|
|
|
Из равенства (6) следует, что |
|
|
|
xc = |
gt+Cx, |
|
|
xc = g=>< |
gt2 |
„ |
„ |
Xr- = •2 |
|
|
|
Используя начальные условия: |
|
|
|
/ = 0, х(0) = 0, |
40) = /, |
|
|
из системы уравнений (9) найдем, что С, =0, С2 -I, тогда |
|||
х = $-+1. |
|
(10) |
|
2 |
|
|
|
Из уравнения (7) следует, что |
|
|
|
Л:=С3 , |
|
1 |
|
j c = C 3 / + C 4 . j
Используя начальные условия: t = 0, j>(0) = vc, ЯО) = 0, из системы (11) найдем, что С3 = vc, С4 =0.
Тогда
У = vet-
Откуда
Vc
Подставив полученное значение / в формулу (10), определим уравнение траектории в координатной форме:
х = ^ г + 1 . |
(12) |
2 v2 |
|
486 X. Динамика материальной системы
Используя начальные условия: t = 0, усФ) = 0, j>c(0) = j , из систе-
мы уравнений (12) найдем, что |
|
с 3 = 0 , с4 |
=L. |
Тогда |
|
у c = |
( 1 3 ) |
2 |
2 |
Подставим выражение (11) в равенство (13) и определим уравнение траектории центра масс стержня в координатной форме:
v |
|
|
- |
=г т—• |
|
Ус |
|
|
|||
|
|
|
|
2v2c |
2 |
Это уравнение с учетом выражения (6) примет вид |
|||||
V |
|
- |
|
1 |
|
Ус |
|
- |
2- - 2-3gl |
||
или |
|
|
|
|
|
Ус |
~ |
|
УР а в н е н и е параболы. |
||
О т в е т : парабола Ус = ~ ~ |
|
|
|
( 0 = |
|
Задача 43.3
Два однородных круглых цилиндра А и В, массы которых соответственно равны М| и М2, а радиусы оснований г{ и г2, обмотаны двумя гибкими нитями, завитки которых расположены симметрично относительно средних плоскостей, параллельных основаниям цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем образующие их перпендикулярны линиям наибольших скатов. Ось цилиндра А неподвижна; цилиндр В падает из состояния покоя под действием силы тяжести.
43. Смешанные задачи |
487 |
Определить в момент t после начала движения, предполагая, что
вэтот момент нити еще остаются намотанными на оба цилиндра:
1)угловые скорости «| и оо2 цилиндров, 2) пройденный центром масс цилиндра В путь s и 3). натяжение Т нитей.
Ре ш е н и е
же то, что цилиндры однородные, т.е. |
|
|
Ix=~Mrf, |
f2 = |
]-M2rl |
Выберем в качестве уравнения «равновесия» уравнение
=0,
или |
|
М? + Mf + Ф2(/, + r2) ~ M2g(rx + г2) = 0. |
(2) |
С учетом выражений (1) уравнение (2) примет вид |
|
М,/)2е, + M2r2t2 + 2M2(exrx +z2r2)(rx +r2)-2M2g(n |
+r2) = 0 |
или |
|
(Mxn2 +2М2П2 +2M2rxr2)E]+Qr? +2rxr2)M2e2-2M2g(4 |
+ /-2)=0. (3) |
488 X. Динамика материальной системы
Если рассмотреть цилиндры отдельно и учесть, что цилиндр В совершает плоскопараллельное движение, то получим:
для цилиндра А (рис. 2) |
|
|
|
l M 0 i |
= 0 |
|
|
или |
|
|
|
М,ф- |
Тц =0; |
(4) |
|
для цилиндра В (рис. 3) |
|
|
|
2 ^ |
= |
0 |
|
или |
|
|
|
Mf-Tr2 |
=0. |
(5) |
|
м?
Рис. 3
Приравняем значения Т из выражений (4) и (5): Л/,ф _ М?
П |
h |
|
учитывая выражения (1), получим |
|
|
= М2г2е2. |
(6) |
|
Из равенства (6) следует, что |
|
|
М2г2 |
(7) |
|
|
||
Подставим выражение (7) в формулу (3): |
|
|
(3 Л/, г}2 + ЗМ, г, г2 + 2 М2г2 |
+ 2 М2г, г2)е, - 2 M2g(r{ +г2) = 0 |
|
43. Смешанные задачи |
489 |
и после преобразований получим
гх(ЗМх +2 М2)(П + /5)8, = 2M1g(r] + г2).
Откуда |
|
|
е |
_ |
2M2g |
|
1 |
гх(ЗМх +2 М2) |
Подставим это значение гх в выражение (7), тогда |
||
е |
- |
2Л/,g |
|
2 |
г2(ЗМх+2М2) |
Из уравнения (4) найдем натяжение нити
т_ M\M2g ЪМ\ +2М2
Так как движение началось из состояния покоя, т.е. ojj(0) = 0, о>2(0) = 0, то в момент времени t угловые скорости цилиндров будут:
2gM2
CO, = Е] / = - — /,
ц (ЗМХ +2М2)
со2 = e2t = |
$— |
t. |
|
r2(3Mx+2M2) |
|
Ускорение а2 центра масс цилиндра В найдем из выражения для Ф2 [см. формулы (1)]:
|
е |
г |
=ех г, +е2гг |
2{MX+M2)g |
• |
||
а2 - а 2 + а |
2 |
=—— |
— . |
|
|||
|
|
|
|
|
ЗМХ+2М2 |
|
|
Отсюда с учетом того, что 5(0) = 0, 5(0) = 0, получим |
|||||||
|
|
a2t2 |
_ g(Mx+M2) |
f2 |
|
||
|
|
|
2 |
ЗМх+2Мг |
|
|
|
О т в е т : 1) со, = |
2 g M > |
|
|
|
Г2(ЗМх+2М2) |
|
|
rx (3MX +2M2) |
|
|
|||||
2) s = gW |
+ M2)f2. |
2) T = • |
M]M2g |
|
|
||
3M, +2 M2 |
|
|
3M\ +2M7 |
|
|||