2.4. Анализ узких мест в сети

Поиск узких мест в сети является важным аспектом анализа ее работы. Узкое место создается тем узлом сети, у которого коэффици­ент загрузки U приближается к единице. В этом узле образуется большая очередь, которая приU ≥ 1 становится бесконечной, и сеть переходит в неустойчивый режим работы. Такой узел становится «насыщенным» требованиями. Узкие места в сети обусловливают ее пропускную способность, то есть полностью определяют время пре­бывания в сети. Поэтому при анализе работы сети необходимо осо­бое внимание уделять поиску узких мест.

Покажем на простом примере, почему узкое место определяет пропускную способность сети. Рассмотрим трубопровод, в котором есть трубы разного диаметра, доставляющие воду потребителю. Если после трубы маленького диаметра поставить трубу cлюбым большим диаметром, то потребитель не получит большего количества воды за единицу времени, чем ее может пропустить узкая труба. Это – так на­зываемый эффект «узкого горлышка». Поэтому при рассмотрении та­ких систем важно иметь сбалансированные потоки в сети, то есть такой баланс потоков в узлах, при котором среднее время пребывания в сети было бы минимально или ее пропускная способность макси­мальна.

Приведем соотношения, которые связывают коэффициенты ис­пользования узлов cкоэффициентами посещаемости этих узлов:

Устройство k будет «насыщено» требованиями, если его коэф­фициент использования близок к единице. В этом случае при выпол­нении гипотезы о балансе потоков интенсивности входящего потока и обслуживания будут практически совпадать, то есть

При увеличении числа требований, одновременно обслуживаю­щихся в сети, первым достигнет насыщения тот узел d, который бу­дет иметь максимальную величинуV_iS_i, i= 1,...,K, то есть

При увеличении количества требований коэффициент использования U_d приближается к 1 иX_d =. Поскольку, то .

Таким образом, исходный поток из сети при большом числе N полностью определяется узломd, который является узким местом.

Определим минимальное среднее время пребывания требования R₀, если в сети есть лишь одно требование, через коэффициенты по­сещаемости отдельных устройств и время обслуживания устройства

На рис. 2.9 изображен график зависимости интенсивности пото­ка в сети от количества требований в сети. При увеличении N интенсивность Хо монотонно возрастает до предельной асимптотыV_dS_d, то есть пока на эту интенсивность не начнет влиять потенциально узкое место – узелd. На рис. 2.9 черезN* обозначено число требований, при котором узкое место еще не влияет на пропускную способность сети.

Рис. 2.9

Для простейшей замкнутой сети, если количество устройств M= 1, тo R' = R'₀. При увеличенииM поток из сети будет возрастать, но не больше, чем . Таким образом,

Итак, при увеличении M среднее время пребывания имеет асимптотуMV_dS_d-Z. На рис.2.10 показана зависимость среднего времени пребывания в замкнутой сети от числа устройствM. Асим­птота, которая создает узкое место в сети, пересекает ось абсцисс в точке.

Рис. 2.10

Изложенный подход к поиску узких мест в сети просто исполь­зовать на практике. Покажем это на примерах.

Пример 2.3.Проведем расчет характеристик сети, которая изо­бражена на рис. 2.11, там же приведены значения операционных пе­ременныхS_k, q_kj иZ.

Рис. 2.11

Запишем уравнения баланса потоков для коэффициентов посе­щаемости этой сети:

Решая приведенную систему уравнений, получаем

Определяем значения V_kS_kдля каждого из узлов сети:

Таким образом, минимальное среднее время пребывания одного требования составляет: R₀ = 1 + 0,088 + 0,32 = 2,2c.

Поскольку V₁S₁>V₂S₂ >V₃S₃, то потенциальным узким местом в сети является первый узел.

Основываясь на рассматриваемом методе операционного анали­за, дадим ответ на некоторые вопросы.

1. Пусть измерениями определено, что Х₀= 0,715 требований/с, А среднее время пребывания требования в сети составляет 5,2c. Какое среднее количество устройств обслуживания взаимодействуетcсе­тью за все время наблюдения?

В соответствии cформулой (2.13) имеем:

2. Можно ли обеспечить среднее время пребывания требований в сети равным 8 cпри 30 устройствах обслуживания? Какое макси­мальное среднее время обслуживания требования должен иметь узел 7, чтобы это стало возможным?

В соответствии cформулой (2.13) имеем:

Таким образом, при взаимодействии cсетью 30 устройств, сред­нее время пребывания требования в ней превысит 10c.

Обозначим через S₁* допустимое среднее время обслуживания требования. Тогда можно записать

то есть максимально возможное среднее время обслуживания требо­вания узлом 1 составляет 0,047 c. На рис. 2.12 изображены графики для асимптоты среднего времени обслуживания требования.

Рис.2.12

Пример 2.4. Допустим, что в сеть, кроме требований от уст­ройств обслуживания, поступают еще и требования от узла3, как по­казано на рис. 2.13.

Рис. 2.13

На рис. 2.13 параметры со штрихом характеризуют требования узла 3. Измерения в данной сети показали, что узел3 загружен прак­тически полностью, А время ответа системы равняется 7c. Как в этих условиях загружен узел1 и какое значение приобретаетX₀?

Из рис. 2.13 видно, что V’₁ = V’₃ = 1. Тогда F₁S₁ = 0,05 c, F₁S₁ = 0,1 c.

Таким образом, потенциально узким местом для требований уз­ла 3 есть сам узел3.

Поскольку , тоX₃ = 7,392 требований/с,Х₁ =18,48 требований/с.

Загрузка узла 3, создаваемая требованиями от устройств обслу­живания, составляет

U₃=X₃S₃ = 7,392 • 0,04 = 0,296 .

Вторая загрузка узла 3 создается требованиями, которые посту­пают от этого узла (U’₃= 0,704).

Поскольку требования от узла 3 циркулируют в замкнутом кон­туре, то при условии замкнутости сети имеем

Определим коэффициент использования узла 1

Таким образом, узел 1 также используется практически полно­стью.

Операционный анализ вероятностных сетей CMOи приведенные примеры расчетов таких сетей показывают, как, не прибегая к модели­рованию, можно получить некоторые расчетные характеристики на уровне средних значений. В технологии имитационного моделирования операционный анализ может быть использован для сравнения результа­тов моделированияcрасчетными значениями при проверке правильно­сти (валидации) имитационной модели и при поиске наилучших реше­ний по результатам моделирования (см. главу 11).