3.2. Моделирование дискретных случайных величин

Моделирование события. Пусть необходимо смоделировать появление некоторого событияА, вероятность наступления которого равняетсяP(A)= Р. Обозначим обращения к генератору, который разыгрывает псевдослучайные, равномерно распределенные на интер­вале (0, 1) числаr_i, черезR. СобытиеA при розыгрыше будет насту­пать тогда, когдаr ≤ P (рис. 3.3), в противном случае происходит со­бытиеA c вероятностьюr > Р.

Рис. 3.3

Действительно:

Данный метод используется в языке GPSSдля блокаTRANSFER в статистическом режиме работы, когда транзакты сле­дуют по двум разным направлениям в зависимости от вероятности (см. параграф 4.9).

Моделирование группы несовместных событий. Пусть есть группа несовместимых событийA₁, A₂,…,A_k. Известны вероятности наступления событийP(A₁) P(A₂)...,P(A_k). Тогда из-за несовместности событий. Пусть P_i =P(A_i), p₀=0. На отрезке (0,l) отложим эти вероятности (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Если полученное число попало в интервал от до, то произошло событиеA_i. Такую процедуру называют определением ре­зультата испытание по жребию, и она основывается на формуле

где p₀ = 0.

Моделирование случайной дискретной величины. Модели­рование случайной дискретной величины выполняется аналогично моделированию группы несовместимых событий. Дискретная случайная величина Х задается в соответствииcтабл. 3.1.

Случайную величину Х можно представить как полную группу событий:

Таблица 3.1

Возможное значение	X1	Х2	…	хп
Вероятность	P1	P2	…	Рn

Данный метод используется в языке GPSSдля моделирования дискретных случайных функций распределения (см. параграф 4.13).

Моделирование условного события. Моделирование условно­го событияА, которое происходит при условии, что наступило собы­тиеВ cвероятностьюP(A/B), показано на рис. 3.2.3. Сначала моде­лируем событиеВ. Если событиеВ происходит, то моделируем на­ступление событияА, если имеем, то не моделируем наступление событияА.

Рис. 3.5

3.3. Моделирование непрерывных случайных величин

В данном случае используется метод обратной функции. Пусть есть некоторая функция распределения случайной величины (рис.3.6). Разыграем на оси ординат точку r, используя функциюF(х).Тогда можем получить значение величины Х такое, чтоF(x)=r.

Рис. 3.6

Найдем функцию распределения F(x) случайной величиныX. По определению она равна вероятностиP(X<x). Из рис. 3.7 очевид­но, что

Рис. 3.7

Таким образом, последовательность r₁, r₂, r₃, ... , принадлежащаяR(0,1), преобразуется в последовательностьx₁, х₂, x₃,…,которая име­ет заданную функцию плотности распределенияf(x).

Моделирование равномерного распределения в интервале (a, b) случайной величины. Для моделирования воспользуемся ме­тодом обратной функции. На рис. 3.8 показана функция плотности равномерного распределения.

Рис. 3.8

Находим функцию распределения и приравниваем ее к случай­ному числу

Отсюда Х = (b – a)R + а.

Моделирование экспоненциального распределения случай­ной величины. Функция плотности экспоненциального распределе­ния случайной величиныf(x) =и функция распределения пока­заны на рис. 1.1.

Воспользуемся методом обратной функции:

Из выражения (3.6) находим x:

Можно показать, что случайная величина (1-R) распределена так же, как и величинаR. Тогда, сделав замену(1-R) наR, получаем

Покажем, как, используя метод обратной функции, можно моде­лировать случайную величину, распределенную по экспоненциаль­ному закону. Подобный подход принят в языке GPSS[10].

Пусть λ = 1. Выполним аппроксимацию функции экспоненци­ального распределения линейными участками, чтобы можно было использовать ее для моделирования методом обратной функции. Для аппроксимации достаточно 24 точек. В табл. 3.2 занесены соответст­вующие значения аргумента Х и функцииF(x), значения которой ге­нерируютcпомощью генератора случайных чисел.

Таблица 3.2

X	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,75	0,8	0,84	0,88
F(X)	0	0,1	0,222	0,355	0,509	0,69	0,915	1,2	1,38	1,6	1,83	2,12

X	2,3	2,52	2,81	2,99	3,2	3,5	3,9	4,6	5,3	6,2	7	8
F(X)	0,9	0,92	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,995	0,998	0,999	0,9998

На рис. 3.9 и 3.10 показаны графики двух функций. На рис. 3.9 изображена аппроксимация экспоненциальной функции cпараметром λ = 1, А на рис. 3.10 – функция, обратная к аппроксимированной. Пер­вая функция воспроизводит заданные в табл. 3.2 значения. Вторая функция используется для розыгрыша экспоненциального распреде­ления, поскольку удобнее задавать значениеx, А получать значение функции.

Если необходимо моделировать случайные величины X, распре­деленные по экспоненциальному законуcпараметромё_х ≠1, кото­рые используется как задержка во времениcпараметром , например, для моделирования пуассоновского потока поступления тре­бований, то поступают таким образом:

– генерируют значения случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону cλ = 1 (рис. 3.10);

– находят произведение полученного значения и математического ожидания случайной величины Т = .

Рис. 3.10

Рис. 3.9

В результате получают искомую последовательность значений реализации случайной величины X.

Моделирование нормального закона распределения слу­чайной величины. Для моделирования нормального закона распре­деления случайной величины нельзя непосредственно воспользовать­ся методом обратной функции, поэтому используем центральную предельную теорему. Пусть случайная величина Х имеет математиче­ское ожиданиеm_xи среднеквадратичное отклонение ,aслучайная величинаZимеет математическое ожиданиеm_z = 0 и среднеквадра­тичное отклонение σ_z= 1. Легко показать, что

Сформулируем центральную предельную теорему.

Если X₁ ..., Х_п – независимые случайные величины со средним значениемE[X_i] =a, и дисперсиейD[X_i] = σ²,, то при неограниченном увеличенииn функция распределения случайной величиныприближается к функции распределения стандартного нормального закона Ф(z) при всех значениях аргумента, то есть

Для получения нормального закона распределения случайной величины достаточно суммировать шесть случайных величин, полу­ченных cпомощью генератора случайных чиселR, и, пронормировав полученные значения так, чтобы определитьZ, по формуле (3.8) най­ти значениеX.

Обычно суммируют 12 случайных величин R_i, , тогда дисперсияD(Z) будет равняться единице.

Рассмотрим, как моделируются нормально распределенные слу­чайные величины в системе моделирования GPSS.

Выполним аппроксимацию функции нормального распределе­ния случайной величины Zcпараметрамит_z =0 и =1. Для этого достаточно 25 точек. В табл. 3.3 занесенные соответствующие значе­ния аргумента Х и функцииF (x).

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения cматематическим ожиданиемm_x ≠ 0 и среднеквадратичным отклоне­нием ≠ 1, необходимо сделать вычисления по формуле (3.8).

На рис. 3.11 изображен график функции, полученной в резуль­тате аппроксимации функции нормального распределения Ф(z), а на рис. 3.12 – более удобный для моделирования график функции (как аргумент используют генератор случайных чисел и получают значе­ние функции).

Таблица 3.3

X	-5	-4	-3	-2,5	-2	-1,5
F(x)	0	0,00003	0,00135	0,00621	0,02275	6,06681

X	-1,2	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2
F(x)	0,11507	0,15866	0,21186	0,2742	0,34458	0,42074

X	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
F(x)_	0,5	0,57964	0,65542	0,72575	0,78814	0,84134

X	1,2	1,5	2	2,5	3	4	5
F(x)	0,88493	0,93319	0,97725	0,99379	0,99865	0,99997	1

Если необходимо обеспечить положительные разыгрываемые значения, то нужно выполнить условие т_x ≥ 5.

Рис. 3.11

Рис. 3.12

В рассмотренных приближенных методах «хвосты» нормально­го распределения оказываются неточными. Существуют и более точные методы моделирования нормального распределения случай­ной величины [11].