3.4. Сбор статистических данных для получения оценок характе­ристик случайных величин

Основными элементами, из совокупности которых складывается вероятностная модель метода статистических испытаний, являются случайные реализации. Очевидно, что при решении некоторой задачи определения характеристик или параметров исходного случайного процесса должен быть определен этот случайный процесс.

Искомыми величинами при использовании метода статистиче­ских испытаний являются оценки:

– вероятности наступления некоторого события;

– математического ожидания случайной величины;

– дисперсии случайной величины;

– коэффициентов ковариации или корреляции случайной вели­чины.

Для оценки вероятности p наступления некоторого события А используется частота наступления этого события

где т – частота наступления события,aN – число опытов.

Для оценки математического ожидания случайной величины ис­пользуется среднее значение

где x_i – i-я реализация случайной величины.

Для оценки дисперсии случайной величины ξ, используют фор­мулу

где S² – оценка дисперсии случайной величины ξ.

Непосредственно использовать эти формулы для вычисления дисперсии сложно, поскольку среднее значение изменяется по мере накопления x_i-, то есть нужно запоминать всеN значенийx_i. Поэтому для вычисления используют формулу:

В этом случае достаточно накапливать две суммы значений – x_i иx_i².

Непосредственное использование этой формулы для програм­мирования может привести к переполнению разрядной сетки, если программировать ее в таком порядке, в котором она записана. Необ­ходимо изменить последовательность действий, чтобы избавиться от очень больших чисел и переполнения разрядной сетки компьютера.

Все статистические оценки должны иметь определенные качест­венные показатели, к которым относятся несмещенность, эффек­тивность и состоятельность оценки.

Для случайных величин ξ, и η cвозможными значениямиx_k, y_k оценка корреляционного момента определяется так

или в удобной для вычислений форме

3.5. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин

Число испытаний N определяет точность получаемых результа­тов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра А по результатам моделирования .x_i, то за оценку следует брать величи­ну , которая выступает в функции отx_i.

Из-за случайности будет отличаться ота, то есть

где ε – точность оценки. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через αа :

Для определения точности результатов статистических испыта­ний необходимо воспользоваться выражением (3.17).

Определение количества реализаций для оценки вероятно­сти наступления события. Пусть целью моделирования будет опре­деление вероятности наступления некоторого событияА, определяющего состояние моделированной системы. В любой изNреализа­ций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значениеx₁ = 1 cвероятностьюp иx₂ = 0cвероятностью 1 –р. Тогда можно найти математическое ожидание

и дисперсию

В качестве оценки p используют частоту наступления собы­тияА. Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

При условии, что Nзаведомо задано, достаточно накапливатьт:

где ξ_i– наступление события А в реализации, ξ_i-={l,0}.

По формулам (3.18-3.20) находим

В соответствии cцентральной предельной теоремой (в данном случае можно взять теорему Лапласа) случайная величинабудет иметь распределение, близкое к нормальному (рис.3.13). Поэтому для каждой достоверностиαиз таблиц нормального распределения можно найти такую величинуt_а, что точность ε будет равняться ве­личине

Рис. 3.13

При α = 0,95 t_α = 1,96.

При α= 0,997t_α = 3.

Подставим в уравнение (3.21 ) выражение дисперсии

Отсюда находим

Поскольку вероятность p заранее неизвестна, прибегают к проб­ным испытаниям(N = 50...100), получают частотуи подставляют ее значения в выражение (3.23) вместоp, после чего определяют ко­нечное количество испытаний.

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание А и дисперсию σ². В реализацииcномеромi она принимает значение x_i. Для оценки математического ожидания А используем среднее

В соответствии cцентральной предельной теоремой при боль­ших значенияхN среднее арифметическое будет нормально распределеноcматематическим ожиданием А и дисперсиейтогда

Отсюда

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неиз­вестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить σ², А по­том полученное значение оценки подставить в формулу (3.26), чтобы определить необходимое количество реализацийN.