5. Многоканальная смо.

Предположим, что система имеет m обслуживающих каналов с одинаковой интенсивностью обслужи­вания при общем простейшем потоке заявок с интенсивностью . Граф состояний этой системы подобен графу одноканальной СМО.

Рис. 2.5. Граф переходов многоканальной системы.

Интенсивности перехода в соседнее правое состояние оп­ределяются, как и у одноканальной СМО, интенсивностью вход­ного потока: с приходом очередной заявки система переходит в следующее правое состояние. Иначе обстоит дело с интенсивностями у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии — работает один канал. Он производит обслуживаний в еди­ницу времени. Тогда Представим, что система находится в состоянии Для перехода в состояние надо, чтобы закон­чил обслуживание первый или второй канал. Значит, суммарная интенсивность их обслуживания Суммарный поток об­служивания каналами имеет интенсивностьПриинтенсивность обслуживания сохраняется . Получается мо­дель размножения и гибели. Делая выкладки, как для одноканальной СМО, получим

Средняя длина очереди

Прибавляя к ней среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, равное среднему числу занятых каналов

получим среднее число заявок в системе:

По формулам Литтла определяется среднее время пребывания заявки в очереди:

и в системе — время реакции:

6. Системы с нетерпеливыми заявками.

В таких системах заявки могут уходить (покидать систему) из очереди или из каналов обслуживания по истечении определенного времени. Будем рассматривать два потока уходов с интенсивностями ν_ож и ν_об. Так как входящие потоки – простейшие, а моменты назначения заявок на обслуживания – случайные, то потоки уходов из очереди и из каналов обслуживания также простейшие с одинаковыми интенсивностями

ν_ож = ν_об = 1/τ_ср ,

где τ_ср – среднее допустимое время пребывания заявки в системе.

Методика анализа таких систем соответствует выше изложенному. Различие заключается в том, что интенсивности обратных переходов увеличиваются на величину к ν_об к = 1,2, …,m при уходах заявок из каналов обслуживания и соответственно на l ν_ож l = 1,…, q при уходах заявок из очереди (m – число каналов обслуживания; q – число мест в очереди).

7. Расчет основных характеристик систем массового обслуживания.

На основе применения описанной методики были получены соотношения [2,3], позволяющие вычислить вероятности нахождения в каждом из состояний системы массового обслуживания, находящейся под воздействием простейших потоков. Задача анализа СМО практически может считаться решенной, если найдены эти вероятности, так как вычисление основных характеристик системы не представляет труда. В примере, приведенном ниже, используются данные соотношения. Заметим только, что при небольших размерностях системы, т.е. при малом числе каналов обслуживания и числе мест в очереди, аналитическое моделирование проще проводить в полном соответствии с методикой:

1. определить число состояний системы;

2. построить граф состояний и разметить его;

3. составить уравнения Колмогорова для предельных состояний и решить их, заменив одно из уравнений условием нормировки;

4. по полученным вероятностям нахождения системы в каждом из состояний рассчитать основные характеристики СМО.

8. Пример аналитического моделирования вычислительных систем. Определить эффективность функционирования многопроцессорной вычислительной системы по заданному критерию - обобщенному показателю потерь. Моделируемая структура : многопроцессорная управляющая вычислительная система, состоящая из m процессоров, на вход которой поступают простейшие потоки заявок (k потоков с интенсивностью ,i=1,2,...,k). Процессоры однотипные со средним быстродействием B (в миллионах операций в секунду). Обслуживание заявки заключается в выполнении на любом из процессоров соответствующей прикладной программы. Средняя трудоемкость всех прикладных программ одинакова и равна (в тысячах операций). Закон распределения трудоемкости каждой из программ - экспоненциальный.

Для хранения заявок, которые не могут обслуживаться немедленно, выделен буфер из n ячеек (каждая заявка занимает одну ячейку). Время пребывания заявок в системе не должно превышать случайной величины , распределенной экспоненциально с математическим ожиданием.

Операционная система реализует безприоритетные дисциплины ожидания и обслуживания. В ее же функции входит удаление «нетерпеливых заявок» из системы.

Критерий эффективности функционирования системы () задан в условных денежных единицах.

, где

- интенсивность суммарного потока заявок;

- штраф за отказ системы принять заявку;

- штраф за уход заявки из СМО;

- штраф за незанятый канал (простой канала);

- вероятность отказа в обслуживании заявки;

- вероятность ухода «нетерпеливых заявок»;

- среднее число занятых каналов (процессоров).

Упрощенная схема СМО приведена на рисунке 2.6.

1

2

m

…

…

0

Рис. 2.6. Упрощенная структурная схема СМО.