3. Системы массового обслуживания.

Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.

Модели СМО удобны для описания отдельных подсистем современных вычислительных систем, таких как подсистема процессор - основная память, канал ввода - вывода и т. д. Вычислительная система в целом представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем, взаимодействие которых носит вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в вычислительную систему, проходит последовательность этапов счета, обращения к внешним запоминающим устройствам и устройствам ввода - вывода. После выполнения некоторой последовательности таких этапов, число и продолжительность которых зависит от трудоемкости программы, заявка считается обслуженной и покидает вычислительную систему. Таким образом, вычислительную систему в целом можно представлять совокупностью СМО, каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав системы.

Основными задачами, которые решаются в рамках теории массового обслуживания, являются :

- задача анализа, т. е. определение количественных характеристик СМО при заданной структуре и заданных параметрах элементов структуры;

- задача синтеза оптимальной структуры СМО при заданных характеристиках и ограничениях на параметры элементы структуры.

При исследовании СМО предполагаются известными некоторые их свойства, т. н. параметры СМО. В результате исследования определяются характеристики СМО, являющиеся функцией параметров.

Рассмотрим структурную схему СМО [2]

Рис. 1.1. Структурная схема системы массового обслуживания.

На вход СМО поступают заявки на обслуживание, образующие входящий поток. Первопричину заявок, какова бы ни была ее физическая природа, называют источником заявок. Совокупность заявок всех типов составляет входящий поток заявок.

В зависимости от характера источника заявок различают разомкнутые и замкнутые СМО. В разомкнутых СМО число заявок, вырабатываемых источником, считается неограниченным, поведение источника заявок не связано с состоянием СМО ни в данный, ни в какой-либо из предшествующих моментов времени. Для замкнутых СМО характерно конечное число заявок, циркулирующих в системе источник - СМО. Обслуженные заявки возвращаются в источник и через некоторое время могут вновь появиться на входе СМО. Поведение источника в замкнутых СМО является некоторой функцией состояния СМО. При анализе систем массового обслуживания будем различать параметры систем и их характеристики.

Параметры – это количественные оценки первичных свойств системы.

Характеристики – количественные оценки вторичных свойств системы, получаемые в процессе моделирования.

Параметры систем массового обслуживания.

Параметры входящего потока заявок. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в некоторые моменты времени. Под событием будем понимать переход системы в другое состояние, например, изменение количества заявок в том или ином блоке системы. Если интервалы времени между событиями случайны, имеет место случайный поток событий. Если неслучайные – поток событий является регулярным. Чаще всего при исследовании СМО рассматриваются простейшие потоки событий.

Простейший поток заявок обладает следующими свойствами: стационарности, ординарности и отсутствием последействия.

Поток называется стационарным если его вероятностные характеристики не изменяются со временем.

Поток называется ординарным если события в нем происходят по одиночке.

Случайный процесс называется Марковским процессом (процессом без последствия) если для любого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем, а не зависит от того как и каким образом система пришла в это состояние.

Основным параметром входящего потока заявок является его интенсивность.

Интенсивностью или плотностью потока называется среднее число событий в ед. времени. Для стационарного потока λ =const.

При моделировании систем рассматриваются интервалы времени между событиями, то есть случайная величина, которая характеризуется функцией плотности длин интервалов между двумя соседними событиями. Среднее время между событиями – это величина, обратная интенсивности

t_ср = 1/λ.

Для потока без последствия число событий, попадающих на любой непересекающийся участок времени не зависит от того, сколько событий попало на другие участки. В простейших потоках интервалы времени между двумя соседними заявками подчинены экспоненциальному закону распределения с интенсивностью

.

Привлекательность простейшего потока объясняется рядом обстоятельств:

1. Допущение о простейшем потоке заявок позволяет получать аналитические зависимости характеристик СМО от параметров входящего потока, что затруднительно для других видов потока заявок.

2.Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как нормальный закон распределения случайных величин в теории вероятностей: при сложении нескольких независимых, ординарных, стационарных случайных потоков образуется суммарный поток, приближающийся по своим свойствам к простейшему.

3.Если СМО обеспечивает желаемую эффективность функционирования системы при простейшем потоке заявок на входе, то обслуживание системой других случайных потоков заявок с одинаковой интенсивностью будет выполняться не хуже. Это обстоятельство связано со следующим свойством экспоненциального распределения: 63% заявок поступают чаще, чем среднее время между заявками. А 37% заявок поступают значительно реже среднего времени. Кроме того, коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию, для экспоненциального распределения равен 1 (для большинства других законов эта величина меньше единицы). Поэтому простейший поток заявок создает самый тяжелый режим работы для системы массового обслуживания.

Если простейший входящий поток представляет собой совокупность m-потоков различных типов с интенсивностями (i=), то его можно характеризовать суммарной интенсивностью

Степень важности заявок может быть различной, по этому признаку заявки делят на классы. Каждому классу присваивается приоритет k (k=).

Поток заявок, полученный в результате случайного разряжения исходного стационарного одинарного потока, имеющего интенсивность ,когда каждая заявка исключается из потока с вероятностью Р независимо от того, исключены другие заявки или нет, образуют простейший поток заявок с интенсивностью .

Различают "терпеливые" заявки, т. е. такие, на время пребывания которых в СМО не накладывается никаких ограничений, и "нетерпеливые", способные уйти из системы, не будучи обслуженными, если время пребывания их в СМО превысит допустимую величину.

Параметры структуры СМО.

Каждая система массового обслуживания обладает определенной структурой, характеризующейся совокупностью параметров. Основным компонентом структуры СМО являются каналы обслуживания. В зависимости от числа каналов различают одноканальные и многоканальные СМО. В свою очередь, многоканальные СМО могут содержать одинаковые и различные по производительности каналы обслуживания.

Производительность канала обслуживания обратна длительности обслуживания заявки, равной промежутку времени, необходимому каналу обслуживания для обслуживания заявки. В общем случае это случайная величина с функцией распределения , плотностью распределения и математическим ожиданием .

Типы заявок различаются либо законами распределения, либо только математическими ожиданиями при одинаковых законах распределения. При этом принимается допущение о независимости длительностей обслуживания для различных заявок одного типа, вполне корректное для большинства реальных систем. Наряду с математическим ожиданием длительности обслуживания используется понятие интенсивности потока обслуживания - величины, обратной средней длительности обслуживания и характеризующей количество заявок, которое может быть обслужено в единицу времени постоянно загруженным каналом обслуживания.

Если в момент появления заявки на входе СМО хотя бы один канал свободен от обслуживания, ее обслуживание может быть начато немедленно, без задержки. Однако вполне вероятна ситуация, когда заявка застает СМО полностью загруженной, то есть когда все m-каналов обслуживания заняты. В этом случае начало обслуживания задерживается, заявка может занять место в соответствующей очереди. Таким образом, вторым важным компонентом структуры СМО является очередь, параметром которой является число мест в очереди n. В приоритетных системах общая очередь может быть разделена на несколько очередей по числу различаемых системой приоритетов, для каждой из которых должно быть указано число мест n_i, (i=). На число мест в очереди может быть наложено ограничение. Это может быть сделано как для каждой очереди в отдельности, так и для всей совокупности очередей в целом. При этом возможны конфликтные ситуации, решением которых может быть отказ системы принять заявку.

В зависимости от числа мест в очереди различают СМО с отказами, и, соответственно, СМО без отказов. В СМО с отказами число мест в очереди конечно и вследствие вероятностного характера как входящего потока, так и процессов обслуживания, существует ненулевая вероятность того, что поступившая на вход СМО заявка застанет все каналы занятыми обслуживанием и все места в очереди занятыми ожидающими обслуживания заявками, то есть она получит отказ. В СМО без отказов заявка либо сразу назначается на обслуживание, если в момент ее поступления свободен хотя бы один канал обслуживания, либо безусловно принимается в очередь на обслуживание.

Параметры закона управления процессами в СМО. Процесс продвижения заявки от входа к выходу СМО происходит в соответствии с некоторым законом управления процессами в СМО, который задается дисциплинами ожидания и обслуживания.

Дисциплина ожидания определяет порядок приема заявок в систему и размещения их в очереди:

- Заявка принимается в общую очередь. При переполнении очереди заявка получает отказ.

- Заявка принимается в общую очередь в порядке поступления. При переполнении очереди вновь прибывающая заявка выталкивает из очереди заявку дольше всех находящуюся в очереди.

- Заявка принимается на свободное место, оставшееся после назначения заявок на обслуживание по случайному правилу. При отсутствии свободного места заявка получает отказ.

Дисциплина обслуживания – определяет правило выборки заявок из очереди для назначения на обслуживание.

В зависимости от принятых в СМО дисциплин ожидания и обслуживания различают СМО с бесприоритетными и приоритетными дисциплинами.

В СМО с бесприоритетными дисциплинами все заявки считаются равноправными. Возможны следующие бесприоритетные дисциплины обслуживания, то есть правила выборки заявки из очереди при необходимости назначения на обслуживание:

- выбирается первая в очереди заявка - дисциплина "первым пришел - первым вышел" (FIFO - First Input First Output);

выбирается последняя в очереди заявка - дисциплина "последним пришел - первым вышел" (LIFO - Last Input First Output);

- заявка выбирается из очереди случайным образом.

В приоритетных дисциплинах обслуживания заявкам некоторых типов представляется преимущественное право на обслуживание перед заявками других типов, называемое приоритетом. Различают относительные, абсолютные и смешанные приоритеты.

- Относительные приоритеты учитываются только в момент назначения заявки на обслуживание. При освобождении канала обслуживания сравниваются приоритеты заявок, находящихся в очереди в состоянии ожидания, и обслуживание предоставляется заявке с наибольшим приоритетом, после чего выбранная заявка захватывает канал обслуживания.

- Абсолютные приоритеты предполагают прерывание обслуживания низкоприоритетной заявки в момент поступления в СМО заявки с более высоким приоритетом, прерванная заявка ставится в начало либо общей очереди, либо очереди заявок соответствующего приоритета.

- Обслуживание прерванных заявок может проводиться либо от начала (повторное обслуживание), либо от момента прерывания (дообслуживание), чаще используют второй способ – дообслуживание прерванных заявок.

- Смешанные приоритеты предполагают сочетание рассмотренных видов приоритета, причем для отдельных заявок может быть использовано бесприоритетное обслуживание.

Совокупность обслуженных и потерянных заявок образует выходящих поток СМО.

В зависимости от структуры выходящего потока различают СМО без потерь ("чистые" СМО) и СМО с потерями ("смешанные" СМО).

Для "чистых" СМО характерно отсутствие ограничений на число мест в очереди (бесконечная очередь) и на время пребывания заявки в системе ("терпеливые" заявки). По этой причине выходящий поток будет состоять лишь из обслуженных заявок.

Выходящий поток в общем случае распадается на поток обслуженных и поток потерянных заявок, каждый из которых характеризуется законом распределения длительности интервала между соседними заявками.

Если входящий поток содержит заявки m типов с интенсивностями потока заявок типа i(i=), выходящий поток можно характеризовать суммарной интенсивностью потока обслуженных заявок

,

где - интенсивность потока обслуженных заявок типа i, и суммарной интенсивностью потока потерянных заявок

где - интенсивность потока потерянных заявок типа i. Очевидно, что

+=

В свою очередь, поток потерянных заявок может состоять из потока заявок, получивших отказ, и потока "нетерпеливых" заявок, покинувших систему, так как их время пребывания превысило допустимую величину.

Проиллюстрируем обобщенную структуру СМО примером однопроцессорной цифровой управляющей системы (ЦУС), входящей в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом (АСУ ТП) [2]. Помимо аппаратных средств (процессор, память, устройство прерывания, периферийные устройства) в состав ЦУС входят программные средства, содержащие прикладные и системные управляющие программы. Прикладные управляющие программы реализуют алгоритмы управления технологическим процессом, их исполнение процессором рассматривается как обслуживание заявок, поступающих в ЦУС от технологического процесса. Системные управляющие программы осуществляют управление прохождением заявок через ЦУС (диспетчирование) и исполняются тем же процессором. Обычно выделяют две основные системные управляющие программы: ДИСПЕТЧЕР_1 (D1) и ДИСПЕТЧЕР_2 (D2), реализующие, соответственно, дисциплины ожидания и обслуживания.

Заявки С1, С2, ..., СМ в виде сигналов прерывания от датчиков состояния технологического процесса поступают в устройство прерывания, входящее в состав процессора. Появление сигнала прерывания (заявки) С инициирует в процессоре операцию прерывания, в результате выполнения которой процессор переключается на выполнение программы D1. D1, распознает приоритет поступившей заявки и ставит ее в соответствующую очередь, реализованную в специально зарезервированной области памяти, причем для хранения информации об одной заявке может потребоваться несколько ячеек памяти. D2 анализирует состояние очередей O1, O2, ..., ON, выбирает заявку Сk, имеющую преимущественное право на обслуживание, и инициирует соответствующую прикладную программу. Инициирование программы D2 происходит в моменты окончания исполнения прикладных программ и программы D1.

Характеристики и показатели эффективности СМО.

Характеристики вторичны по отношению к параметрам. Рассмотрим наиболее употребительные из них и их обозначения. Следует помнить, что все эти показатели отражают возможности СМО по обслуживанию заявок, отнюдь не характеризуя качество самого обслуживания.

1) Характеристика выходящего потока заявок , т.е. интенсивность входящего потока

=

2) Вероятность обслуживания характеризует вероятность того, что произвольно выбранная из входящего потока с интенсивностью заявка будет обслужена, то есть окажется в потоке обслуженных заявок с интенсивностью

=/

Иногда вероятность обслуживания называют относительной пропускной способностью.

3) Вероятность потери характеризует вероятность того, что произвольно выбранная из входящего потока с интенсивностью заявка окажется в потоке потерянных заявок с интенсивностью :

4) Среднее время ожидания заявки (среднее время пребывания заявки в очереди) является математическим ожиданием времени ожидания. Время ожидания заявки является случайной величиной и равно сумме длительностей интервалов времени, в течение которых заявка находится в очереди, начиная с момента появления заявки на выходе СМО и кончая моментом, когда заявка последний раз покидает очередь по причине назначения на обслуживание или ухода из очереди (в случае нетерпеливых заявок).

Среднее время ожидания t_ож в общем случае является суммой двух

составляющих:

=

-среднее начальное временя ожидания, равное промежутку времени между моментом появления заявки на входе СМО и моментом первого назначения заявки на обслуживание или ухода из очереди

-среднее время ожидания в прерванном состоянии, равное в общем случае сумме промежутков времени между моментами поступления заявки, обслуживание которой было прервано.

5)Среднее время пребывания заявки в СМО является математическим ожиданием времени пребывания заявки в СМО. Время пребывания заявки в СМО равно промежутку времени от момента поступления заявки на вход СМО до момента появления ее в выходящем потоке и связано с длительностью процессов ожидания и обслуживания . Среднее время пребывания заявки в СМО равно сумме среднего времени ожидания (пребывания в очереди) и среднего времени обслуживания (пребывания в канале обслуживания)

=+

6) Средняя длина очереди представляет собой математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди, то есть длины очереди .

7) Среднее число занятых каналов обслуживания равно математическому ожиданию числа занятых обслуживанием каналов обслуживания, являющегося случайной величиной, и характеризует степень загрузки обслуживающей системы φ.

, гдеm -общее число каналов

8)Среднее число заявок в системе z представляет собой математическое ожидание числа заявок, одновременно находящихся в очереди или в канале обслуживания. Оно представляет собой сумму средней длины очереди и среднего числа занятых каналов обслуживания, так как с каждым каналом обслуживания в произвольный момент времени может быть связана только одна заявка

Под показателями эффективности понимается количественный показатель, частично характеризующий уровень выполнения СМО возложенных на нее функций. На основании показателей эффективности может быть построен некоторый критерий эффективности, совокупно характеризующий эффективность СМО при ограничениях на ее параметры. Эффективность СМО может характеризоваться большим числом различных показателей эффективности. Экономические потери вычисляются с помощью системы штрафов, причем штрафы назначаются в зависимости от системы. Чаще всего используется какой то обобщенный показатель В общем случае:

II Аналитические методы моделирования систем массового обслуживания.

1.Описание марковской модели.

В теории массового обслуживания к наиболее изученным и исследованным относятся модели, у которых случай­ный процесс функционирования относится к классу марковских процессов, т. е. марковские модели. Случайный процесс, протекающий в системе, называется мар­ковским, если для любого момента времени вероятностные харак­теристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. При исследовании систем аналитическим моделированием наиболь­шее значение имеют марковские случайные процессы с дискрет­ными состояниями и непрерывным временем. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состоя­ния z₁ ,z_2,… можно заранее перечислить, т. е. состояния системы принадлежат конечному множеству, и переход системы из одного состояния в другое происходит мгновенно. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если смена состояний может произойти в любой случайный момент.

Для описания поведения системы в виде марковской модели следует:

• определить понятие состояния системы;

• выявить все состояния, в которых может находиться си­стема;

• указать, в каком состоянии находится система в началь­ный момент;

• построить граф состояний, т. е. изобразить все со­стояния,

например, кружками и возможные переходы из состоя­ния в состояние стрелками, соединяющими состояния;

Рис. 2.1. Граф состояний Марковского процесса.

• разметить граф, т. е. для каж­дого перехода указать интенсивность _λij потока событий, пере­водящих систему из состояния Zi в состояние Zj:

Где - вероятность перехода из состояния Zi в состояние Zj за время от до

Для стационарных Марковских процессов интенсивности переходов не зависят от времени:=, тогда =

Понятие состояния зависит от целей моделирования. В нашем случае состояние системы определяется числом заявок, находящихся на обслуживании и в очередях.

2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Исчер­пывающей количественной характеристикой марковского про­цесса является совокупность вероятностей состояний, т.е. ве­роятностей того, что в моментпроцесс будет находитьсяв состоянии

Рассмотрим, как определяются вероятности состояний по при­веденному выше графу состояний, считая все потоки про­стейшими. В случайный момент времени система может нахо­диться в одном из состоянийс вероятностью. Придадиммалое приращение и найдем, например,- вероятность того, что в моментсистема будет в состоянии

Это может произойти, во-первых, если система в момент была в состояниии за времяне вышла из него; во-вторых, если в момент система была в состоянииилии за времяперешла в состояние

В первом случае надо вероятность умножить на вероят­ность того, что за время система не перейдет в состояние, или. Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния, имеет интенсивность . Значит, вероятность того, что за время система выйдет из состояния, равна . Отсюда вероятность первого варианта

Найдем вероятность перехода в состояние. Если в момент t система находилась в состоянии с вероятностью, то веро­ятность перехода в состояние за время равна

Аналогично для состояния

Складывая вероятности получим

=

Раскроем квадратные скобки, перенесем в левую часть и разделим обе части на :

Если устремить к нулю, то слева получим производную функции:

Аналогичные уравнения можно вывести для всех остальных состояний. Получается система дифференциальных уравнений:

Эта система линейных дифференциальных уравнений дает воз­можность найти вероятности состояний, если задать начальные условия. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности i-го состояния, а в правой - сумма произведений вероятностей всех состоянии, из которых ведут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность i-гo состояния. Представим уравнения Колмогорова в общем виде:

Здесь учтено, что для состояний, не имеющих непосредственных переходов, можно считать

В теории случайных про­цессов доказывается, что если число n состояний системы конечно и из каждого состояния можно перейти в любое другое за конечное число шагов, то существуют предельные (финальные) вероят­ности состояний:

Сумма вероятностей всех возможных состояний равна единице.

При в системе S устанавливается стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состоя­ния, но их вероятностные характеристики уже не зависят от вре­мени. Предельную вероятность состоянияможно трактовать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Для вычисления предельных вероятностей нужно все левые части в уравнениях Колмогорова (в общем виде) положить равными нулю и решить полученную систему линейных алгебраических урав­нений:

(1)

В связи с тем, что эти уравнения однородные, т. е. не имеют свободного члена и, значит, позволяют определить неизвестные только с точностью до произвольного множителя, следует восполь­зоваться нормировочным условием

и с его помощью решить систему уравнений (1).

3.Модель размножения и гибели.

Разновидностью марковской модели с дискретным числом состояний и непрерывным временем является модель размножения и гибели [3]. Она характерна тем, что ее граф состояний имеет вид цепи.

Рис. 2.2. Граф процесса гибели и размножения с конечным числом состояний

Особенность этого графа состоит в том, что каждое из средних состоянийсвязано прямой и обратной стрелками с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния - только с одним соседним состоянием.

В этой модели формулы для определения вероятностей состоя­ний, полученные в результате решения уравнений Колмогорова, имеют вид:

Эти формулы часто используют при решении задач теории массового обслуживания. В частности, при простейших входящих потоках можно использовать полученные результаты, т.к. свойство ординарности предполагает, что события происходят поодиночке, и, стало быть, система может переходить только в соседние состояния, то есть имеют место процессы гибели и размножения.

4.Характеристики вычислительных систем как систем массового обслуживания.

Предположим, что моделью ВС является одноканальная СМО с однородным бесконечным простейшим по­током заявок и неограниченной очередью. Интенсивность потока заявок равна Длительность обслуживания заявки - это слу­чайная величина с математическим ожиданием Наряду с понятием средней длительности обслуживания ис­пользуется понятие интенсивности обслуживания — величины, обратнойи характеризующей число заявок, которое может обслужить прибор в единицу времени. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим с интен­сивностью µ.

Выделим состояния СМО по числу заявок, находящихся в сис­теме:

Z₀ - прибор свободен, очереди нет;

Z₁ - прибор занят (обслуживает заявку), очереди нет;

Z₂ - прибор занят, одна заявка в очереди;

. . . . .

- прибор занят, заявок стоит в очереди.

Это мо­дель размножения и гибели, но с бесконечным количеством состоя­ний, поскольку очередь неограниченна

.

Рис. 2.3. Граф процесса гибели и размножения.

1) Коэффициент загрузки.

Предельная вероятность состояния

Обозначая , получаем

Ряд в этой формуле представляет собой геометрическую про­грессию. Известно, что при ряд сходится. Сумма членов прогрессии при этом равна, откуда

Это вероятность того, что прибор свободен и очередь отсут­ствует. Значит, вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки,

Это означает, что отношение служит мерой загрузки СМО и является коэффициентом за­грузки. Тогда - коэффициент простоя.

2)Число заявок в СМО.

Вероятности состоянийопределяются из общей формулы размножения и гибели:

Определим среднее число заявок в системе n.

В текущий момент времени в системе может быть заявок с вероятностями

Математическое ожидание количества заявок равно

Подставим значениеи, исключив первое слагаемое, рав­ное нулю:

Вынесем за знак суммы

Но_- это производная поот :

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим

Сумма в этой формуле - это сумма бесконечно убывающей прогрессии. При она равна, а ее производная - . Следовательно, число заявок в системе в установив­шемся стационарном режиме

3).Длина очереди.

Найдем среднее число заявок в очереди к об­служивающему прибору — среднюю длину очереди . Она равна среднему числу заявок в системе за вычетом среднего числа за­явок, находящихся под обслуживанием. Число заявок под обслу­живанием может быть равно нулю, если прибор свободен, или единице, если прибор занят. В установившемся режиме математи­ческое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что прибор занят. А эта вероятность определена ранее —. Откуда получается средняя длина очереди в СМО:

При очередь стремительно увеличивается и при уходит в бесконечность. У детермини­рованной системы коэффициенты вариации интенсивностей пото­ков заявок и обслуживания равны нулю, при очередь от­сутствует, а при- уходит в бесконечность.

4) Время реакции..

Для определения среднего времени реакции рассмотрим поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих систему. Если в системе устанавливается предельный стационарный режим при , то среднее число заявок, прибы­вающих в единицу времени, равно среднему числу заявок, поки­дающих ее: оба потока имеют интенсивность.

Обозначим через X (t) число заявок, поступивших в СМО до момента времени t, а через У (t) — число заявок, покинувших СМО до момента t. Та и другая функции являются случайными и меняются скачком - увеличиваются на единицу в моменты при­хода или ухода заявок.

Рис. 2.4. Время пребывания заявок в системе.

Очевидно, что для любого момента времени t разность функций

n(t) = X (t) - Y(t) есть число заявок, находящихся в СМО. Рассмотрим большой промежуток времени Т и вычислим среднее число заявок, находящихся в системе:

На рисунке интеграл изображен в виде заштрихованной фигуры. Она состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребыва­ния в системе i-й заявки t_i:

где сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время Т. Разделим правую и левую части на Т:

Разделим и умножим правую часть на :

Произведение - это среднее количество заявок, пришед­ших за время Т. Если разделить сумму всех времен на среднее число заявок, то получится среднее время пребывания заявки в системе, т.е. среднее время реакции:

Это формула Литтла: для каждой СМО при любом характере потока заявок и при любом распределении времени обслуживания среднее время реакции равняется среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок. Отсюда получается:

Вторая формула Литтла связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди подобным соот­ношением:

Среднее время реакции равняется сумме среднего времени пре­бывания заявки в очереди и средней длительности обслуживания заявки:

Важно отметить, что времена ожидания и реакции, а также периоды между моментами ухода следующих друг за другом заявок распределены по экспоненциальному за­кону. При в системе не устанавливается стационарный режим. В пределе длина очереди, а значит, и времена ожидания и реакции стремятся к бесконечности.