Численное интегрирование

Рассмотрим последовательность однонаправленных процессов

k₁ k₂ k₃

А ® В ® С ® D

и соответствующую ей систему дифференциальных уравнений:

dA	= –- k1A
1 dt

dB	= k1A – k2B
dt

dC	= k2B – k3C
dt

dD	= k3C
dt

При условии, что А+В+С+D = S = const, четвертое уравнение из системы можно исключить, так как 1) величина D не входит в первые 3 уравнения и 2) величину D можно найти по разности из балансового уравнения.

Систему дифференциальных уравнений можно переписать, заменяя dA, dB, dC, dD, dt на малые приращения ∆A, ∆B, ∆C, ∆D, ∆t:

∆A	= -k1A, или ∆A = -k1A∆t
∆t

∆B	= k1A – k2B, или ∆В= (k1A – k2B)∆t
∆t

∆C	= k2B – k3C, или ∆C= (k2B – k3C)∆t
∆t

Решение этой системы на компьютере заключается в последовательном вычислении приращений за короткий промежуток времени ∆t и их прибавления к предыдущим значениям переменных. Задаются: исходные значения A₀, B₀, C₀, D₀ = S, k₁ , k₂ , k₃ и “шаг времени” ∆t. На первом этапе производятся следующие вычисления:

А₁ = А₀ + (-k₁A₀)∆t

В₁ = В₀ + (k₁A₀ – k₂B₀)∆t

С₁ = С₀ + (k₂B₀ – k₃C₀)∆t

D₁ = S – (A₁+ B₁+ C₁);

на втором:

А₂ = А₁ + (-k₁A₁)∆t

В₂ = В₁ + (k₁A₁ – k₂B₁)∆t

С₂ = С₁ + (k₂B₁ – k₃C₁)∆t

D₂ = S – (A₂+ B₂+ C₂);

и так далее:

А_n = А_n-1 + (-k₁A_n-1)∆t

В_n = В_n-1 + (k₁A_n-1 – k₂B_n-1)∆t

С_n = С_n-1 + (k₂B_n-1 – k₃C_n-1)∆t

D_n = S – (A_n-1+ B_n-1+ C_n-1),

где n – номер этапа вычислений

Принцип «узкого места»

Для уменьшения количества дифференциальных уравнений в математической модели часто используют принцип «узкого места». Этот подход позволяет при существенном сокращении уравнений, сохранить основные, наиболее существенные свойства моделируемого объекта. Уменьшение (редукция) числа уравнений основано на разделении всех переменных в сложных системах на быстрые и медленные.

Сложный, гетерогенный характер организации почвы проявляется как в структурном, так и в динамическом отношении. В почве одновременно протекают быстрые физико-химические обмена между почвенным раствором и почвенным поглощающим комплексом, процессы миграции веществ в почве и процессы, связанные с жизнедеятельностью почвенной биоты.

Скорости одновременно происходящих процессов могут различаться в сотни и тысячи раз. Это является основой для осуществления принципа «узкого места», согласно которому общая скорость превращения вещества в общей цепи взаимодействий определяется наиболее медленной стадией. Общее время процесса практически совпадает с временем протекания процесса в «узком месте». Самое медленное звено и является управляющим, поскольку воздействие именно на него, а не на более быстрые стадии может повлиять и на скорость протекания всего процесса.

В качестве примера рассмотрим последовательность двух однонаправленных процессов 1-го порядка:

k₁ k₂

X Y  Z ,

которой соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

dX	= k1X
dt

2 dY	= k1X – k2Y
dt

dZ	= k2Y
dt

Поскольку X + Y + Z = S = const, и Z не входит в первые два уравнения системы (2), третье уравнение можно исключить:

dX	= k1X
3 dt

(15)

dY	= k1X – k2Y
dt

Эту систему при определенных обстоятельствах можно упростить. Сначала приведем дифференциальные уравнения (15) к безразмерному виду, чтобы сравнивать переменные первоначально разной размерности. Для этого введем безразмерные переменные и параметры:

x= X/S; y = Y/S;  = k₁t.

В результате получим:

4	dx	= k1х
	d

(16)

(k1/k2)	dy	= (k1/k2)x – y
	d

Допустим теперь, что k₂ >> k₁, например k₂ = 0,1; k₁= 0,0001, тогда множитель (k₁/k₂) ~ 10^-3, то есть является относительно малой величиной. Так как х < 1, то (k₁/k₂)x << 1.

Пренебрегая малыми величинами можно видеть, что второе уравнение системы вырождается в равенство у ≈ 0, а динамика системы определяется одним уравнением dx/d = x., описывающим более медленный процесс. После перехода к размерным величинам решение системы (15) будет выглядеть следующим образом:

X(t) = Se^-kt; Y(t) ≈ 0; Z(t) = S(1- e^-kt), где k  k₁

Основной вывод: динамика системы (1), при сильно различающихся величинах констант скоростей, полностью определяется константой скорости первого (самого медленного) процесса, а структурная схема упрощается:

k₁

X  Z

Таким образом, исследование можно проводить на моделях, которые содержат существенно меньшее число дифференциальных уравнений, описывающих динамику «медленных» переменных. Для быстрых переменных можно использовать простые алгебраические соотношения, определяющие их стационарные (равновесные) значения. Исследование таких упрощенных систем уравнений иногда может дать более точное представление об общих динамических свойствах исследуемой системы, по сравнению с более полной математической моделью.