Динамические модели

В основе многих динамических моделей, нашедших применение в почвоведении, лежат хорошо установленные законы функционирования сложных природных систем, например закон сохранения вещества и энергии. Математической основой для таких моделей является система разностных или дифференциальных уравнений, которая может быть представлена в виде

dx1	= f1(v(t), x(t), A),
dt

dx2	= f2(v(t), x(t), A),
dt

. . . . ,

dxn	= fn(v(t), x(t), A)
dt

где Х(t) = {x₁(t), … , x_n(t)}, – множество переменных состояния модели; v(t) = {v₁(t), …, v_n(t) } – множество внешних переменных модели; A = {a₁, … , a_i} – множество параметров модели; F = {f₁, … , f_n} – множество функций.

Математическое отображение системного свойства почвы – ее целостности – достигается тем, что уравнение динамики каждой переменной записывается с учетом всех внешних и внутренних взаимодействий и решается во взаимосвязи с другими уравнениями. Зависимость всех переменных и параметров от времени отражает динамичные и нелинейные свойства почвы. Инерционность почвы подтверждается неразрывной связью дифференцирования с интегрированием, то есть учетом влияния предыдущих состояний системы на последующие.

Таким образом, динамические модели, использующие аппарат дифференциальных уравнений, способны наиболее полно отражать специфические особенности почвы как объекта моделирования.

Динамические системы бывают точечными и распределенными. В точечных системах подразумевается идеальное перемешивание, так что концентрации (величины) переменных во всех точках рассматриваемой системы равны. В распределенных системах учитывается связь между разными участками пространства в системе. Например, уравнения, учитывающие диффузию имеют вид

dхi	= fi(х1, х2, … хn) + Dхi	д2хi
dt		дr2

где D_хi – коэффициент диффузии вещества х_i, r – пространственная координата.

Порядок дифференциального уравнения определяется максимальным порядком входящих в уравнение производной неизвестной функции. Степень уравнения определяется степенью, в которой входят в него неизвестные функции x₁(t), … , x_n(t). Если моделируемые процессы протекают при постоянных внешних условиях, то правые части уравнений явно не зависят от времени. Такие уравнения называются автономными :

dx1	= f1(х1, х2, …хп),
dt

dx2	= f2(х1, х2, …хп),
dt

(7)

. . . . ,

dxn	= fn(х1, х2, …хп)
dt

В качестве использования дифференциальных уравнений для моделирования, рассмотрим популяцию клеток, в которой одновременно происходят процессы размножения и гибели и в избытке имеются питательные вещества. Тогда скорость изменения концентрации клеток в среде складывается из скорости их размножения V_размн и скорости гибели V_гиб

dN	= Vразмн – Vгиб :
dt

Предположим, что и размножение и гибель клеток пропорциональны их количеству в единице объема среды, то есть концентрации на данный момент времени. Тогда

V_размн = k₁N; V_гиб = k₂N

где k₁ - константа пропорциональности, зависящая от условий среды (температура, наличие питательных веществ и др.); k₂ - константа пропорциональности, определяющая интенсивность процессов гибели клеток. Отсюда следует, что

dN	= kN (8)
dt

где k = k₁ - k₂ . Решив это уравнение (dN/N = kdt; lnN – lnN_o = kt), найдем, как меняется концентрация клеток в среде N = N(dt):

N = N₀ e^kt,

где N₀ - концентрация клеток в начальный момент времени t = 0 наблюдения за системой.

Легко видеть, что в зависимости от состояния констант скоростей процессов гибели k₂ и размножения k₁ судьба этой популяции будет различной. Если k₁ > k₂ , k > 0, то и в системе будет происходить неограниченный рост числа клеток: N(t) . при t .; если k₁ < k₂ , то со временем популяция будет вымирать: N(t) .0 при t ., и только в частном случае при k₁ = k₂ число клеток будет оставаться постоянным: N = N₀ .

Очевидно, что коэффициент k не остается постоянным в процессе роста популяции. Он уменьшается в результате конкуренции микроорганизмов за источник питания. Это обстоятельство можно выразить как

k_s = k₁ – (k₂ + k₃N) = k – k₃N,

то есть вероятность гибели клеток повышается при увеличении их концентрации. Тогда численность популяции будет изменяться в соответствии с уравнением

dN	ksN = kN – k3N2 (9)
dt

Интегрирование этого уравнения дает нам зависимость численности вида от внутривидовой конкуренции:

N =	N0 k/k3	(10)
	N0 + (k/k3 – N0)e-kt

Другим вариантом установления неявной зависимости k от времени служит известное уравнение логистической кривой Ферхюльста:

dN	= r	Nmax – N	N = ks N (11)
dt		Nmax

В этом случае

ks = r	Nmax – N
	Nmax

где N – число особей в данный момент времени; N_max - максимальная численность популяции, возможная в данных условиях.; r – константа роста.

Решение дифференциального уравнения Ферхюльста имеет сходный c выражением (10) вид:

N =	N0Nmax	(12)
	N0 + (Nmax - N0)-rt

Анализ уравнений (11) и (12) показывает, что в начальный период роста, когда N  N_max. кривая носит экспоненциальный характер. Затем после точки перегиба наклон постепенно уменьшается и кривая приближается к верхней асимптоте N = N_max , то есть к максимально достижимому уровню в данных условиях.

Дифференциальные уравнения (8), (9) и (11) можно довольно легко проинтегрировать и получить соответствующие им аналитические выражения. Рассмотрим более сложную ситуацию, когда три компонента системы Х, У и Z обратимо взаимодействуют друг с другом:

k₁ k₃

X Y Z

k₂ k₄

Этой схеме соответствует система, состоящая из 3-х дифференциальных уравнений:

dХ	= – k1X + k2Y
dt

dУ	= k1X + k4Z – k2Y – k3Y (13)
dt

dZ	= k3Y – k4Z
dt

и одного балансового уравнения

X_s = X + Y + Z

Используя балансовое уравнение, упрощаем систему, выражая Х через Y и Z:

Х = X_s – Y – Z.:

dУ	= k1(Xs – Y – Z) + k4Z – (k2 – k3)Y
dt

dZ	= k3Y – k4Z
dt

Из уравнений (13) находим стационарные(равновесные) количества *X,*Y, *Z при dY/dt = 0 и dZ/dt = 0:

*Z =	k1k4Xs
	k1k4+k1k3+k2k4

*Y =	k1k4Xs
	k1k4+k1k3+k2k4

*Z = Xs [1 –	k1(k3+k4)	]
	k1k4+k1k3+k2k4

Преобразуем систему (13) и придем к дифференциальному уравнению второго порядка с одной переменной Z:

d2Z	+ (k1+ k2 + k3+ k4)	dZ	+ (k1k4 + k1k3 + k2k4)Z = k1k3Xs (14)
dt		dt

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения без правой части и какого-либо частного уравнения с правой частью:

Z = C₁e^a1t + C₂e^a2t + F

где а₁ и a₂ – корни характеристического уравнения

a² + (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)a + (k₁k₄ + k₁k₃ + k₂k₄) = 0

находим корни этого уравнения:

a_1/2 = - (k₁+k₂+k₃+k₄)/2  √[(k₁+k₂+k₃+k₄)/2]² - (k₁k₄+k₁k₃+k₂k₄)

частное решение имеет вид:

F =	k1k3Xs
	k1k4+k1k3+k2k4

Постоянные интегрирования находим, используя начальные условия:

t = 0, Z = 0, dZ/dt = 0

Учитывая это, решаем систему алгебраических уравнений, находим постоянные интегрирования:

C₁+ C₂ + F = 0

a₁C₁ + a₂C₂ = 0

откуда C₁ = a₁F/(a₁-a₂), C₂ = a₁F/(a₂-a₁)

Таким образом,

Z(t) =	a1F	ea1t +	a1F	ea2t + F
	a1- a2		a2- a1

Y(t) =	1	[	a2F(a1 – a2)	ea1t +	a1F(a2 + k4)	ea2t + k4F ]
	k3		a1 – a2		a2 – a1

тогда:

X(t) = X_s - [Y(t) + Z(t)]