Влагообмен почвенных компартментов.

Скорость движения влаги в почве в соответствии с законом Дарси определяется выражением:

v = - К	∆H	(31)
	∆x

К – коэффициент влагопроводности, ∆x= х₂ – х₁ – разность двух близко расположенных уровней почвенного профиля, ∆H = Н(х₂) – Н(х₁) – разность напоров воды на этих уровнях. Знак минус свидетельствует о том, что скорость влагопереноса направлена в сторону, противоположную возрастанию напора. Сам напор Н содержит два слагаемых. Первый из них соответствует весу столбца жидкости над некоторым уровнем. Поскольку вес, отнесенный к единице площади (т.е. давление) можно выразить в граммах на см² или в см водного столба, это слагаемое может быть измерено в тех же единицах, что и давление почвенной влаги, т.е. второе слагаемое напора:

H = z – p (32)

Здесь учтено, что р < 0. Подставляя (32) в (31), получим соотношение для скорости движения воды в ненасыщенной зоне, выраженное через градиент водного потенциала:

v = - К(	∆H	– 1), (33)
	∆x

поскольку всегда ∆z = ∆x. Вспомним, что коэффициент влагопроводности зависит от водного потенциала, т. е. К = К(p). Именно эта зависимость делает соотношение (33) нелинейным, что принципиально отличает его от закона теплопроводимости. Очевидно также, что поскольку величина ∆р/∆x является безразмерной, коэффициент влагопроводности имеет ту же размерность, что и скорость, т.е. см/с, см/ч и т.п. Численно он равен скорости промачивания почвы, когда градиент напора равен единице.

Рассмотрим уравнение водного баланса в некотором почвенном слое. Изменение влагосодержания j-м компартменте за малый промежуток времени ∆t = t_k+1 – t_k можно записать в виде

∆W_j = W_j(t_k+1) – W_j(t_k) = [(v_j+1 – v_j) - h_jf_j]F∆t,

где F и h_j – соответственно площадь и толщина компартмента, v_j и v_j+1 – скорость движения воды через верхнюю и нижнюю границу, f_j - скорость поглощения воды корнями, отнесенная к единице объема почвы. Это соотношение является уравнением баланса (или неразрывности): втекающее в компартмент количество жидкости равно , а вытекающее равно сумме потока через нижнюю границу и корневого поглощения.

Учитывая выражение (33) для скорости движения воды можно записать:

vj = K(pj-1, j)[	2	(pj(tk) – pj-1(tk)) - 1] (34)
	hj-1 + hj

vj+1 = K(pj, j+1)[	2	(pj+1(tk) – pj(tk)) - 1] (35)
	hj + hj+1

Это показывает получаем связь приращения влагосодержания компартмента за один временной шаг модели с водным потенциалом данного компартмента и двух соседних в начале этого шага. Поскольку в эти уравнения входят две величины – водный потенциал и влажность, эта система уравнений не является полной. Обычно из рассмотрения исключают влажность, используя зависимость потенциала от влажности. Удобной величиной для этой модели является так называемая «дифференциальная влагоемкость» - коэффициент, связывающий приращение влажности с приращением потенциала:

Дифференциальная влагоемкость показывает, насколько изменяется влажность почвы при изменении ее гидравлического потенциала на единицу. В свою очередь, она также зависит от потенциала, поскольку это не что иное, как производная водоудерживающей способности μ = μ(р). Принимая во внимание, что влагозапас компартмента W_j равен его объему h_jF, умноженному на влажность w_j , уравнение баланса принимает вид

μ(pj)(pj(tk+1) – pj(tk)) = (	vj - vj+1	- fj)∆t
	hj

Это соотношение образует совместно с (34) и (35 ) замкнутую систему уравнений для расчета водного потенциала почвы «шаг за шагом». На границе почва-воздух задается поток влаги – отрицательный в случае выпадения осадков или полива и положительный при испарении.

Влияние корней в модели производится путем задания объемной плотности их поглощающей поверхности (ω). Ее величина зависит от глубины х и изменяется со временем в связи с ростом растений и развитием корневой системы ω = ω(х, t). Она измеряется в см²/см³, т.е. в см^–1. Очевидно, что вне зоны проникновения корней ω(х, t) = 0.

Примем, что объемная плотность корней постоянна внутри каждого компартмента. Тогда для функции стока воды в корень в j-м компартменте, выраженной в см³/ч или в см³/сут, можно записать

f_j = ω_jξ(p_j – P_r), (36)

P_r – водный потенциал корня, ξ – проводимость корня.

По проводящим сосудам ксилемы вода движется почти без сопротивления, поэтому водный потенциал всей корневой системы можно считать постоянным вне зависимости от глубины слоя или номера компартмента.

Выполним следующие преобразования. Умножим (36) на толщину компартмента и просуммируем все эти равенства, начиная с единицы и кончая NR- номером компартмента, в котором еще содержатся корни:

NR		NR		NR		NR
∑	hifj =	ξ∑	hiωi(pi -Pr) =	ξ∑	hiωipi –	ξPr ∑	hiωi	(37)
i=1		i=1		i=1		i=1

В этом выражении последняя сумма безразмерна и представляет собой площадь корней, отнесенная к единице площади поля. По аналогии с листовым индексом ее можно назвать «корневым индексом» и обозначить через Ω:

	NR
Ω =	∑	hiωi
	i=1

Левая часть выражения (37) представляет собой суммарное поглощение воды корнями. Если пренебречь аккумуляцией воды тканями растений, можно приравнять его к транспирации:

	NR
Е = ξ	∑	hiωipi - ξPrΩ
	i=1

Отсюда можно выразить потенциал корня через транспирацию:

Pr =	NR
	∑	hiωipi –Е/ξ
	i=1
	Ω

и для поглощения воды корнями в j-том компартменте (6) записать:

	NR
fj = E ωj/Ω – ξ ωj/Ω(	∑	hiωipi - Ωpj) (38)
	i=1

Здесь подразумевается, что водный потенциал непосредственно вблизи корня равен его среднему значению на данной глубине профиля.

Выражение (38) существенно упрощается, если влажность почвы достаточно высока p_i ≈ 0 или p_i постоянно по почвенному профилю:

fj = E	ωj
	Ω

В случае равномерного распределения корней по почвенному профилю ω_i не зависит от номера i , Ω = ωh_r

fj =	E
	hr

где h_r – глубина проникновения корней.

В случае, когда все компартменты имеют одинаковые высоты h_j = h, основные уравнения модели выглядят следующим образом. Уравнение баланса в j–м компартменте имеет вид:

μ(pj)(pj(tk+1) – pj(tk)) = (	vj - vj+1	- 1)∆t
	h

Для скоростей движения воды из сосущих компартментов получим:

vj = k(pj-1, j)[	pj-1(tk) - pj(tk)	- 1]
	h

vj+1 = k(pj, j+1)[	pj(tk) - pj+1(tk)	- 1]
	h

Функция стока определяется ранее приведенным уравнением (38).

Эти соотношения справедливы для всех компартментов, кроме нулевого и последнего. Поэтому к ним необходимо добавить граничные условия. Если нижняя граница соответствует УГВ, то нижнее граничное условие имеет вид p_n = 0. На верхней границе добавляется фактор физического испарения. При этом уравнение баланса влаги в нулевом компартменте записывается в следующем виде:

μ(p0)(p0(tk+1) – p(tk)) = ES∆t – (	v1	+ f0)∆t
	h

где физическое испарение E_S должно задаваться или вычисляться с привлечением дополнительных соображений. При задании начального распределения влаги w_j или потенциала по компартментам, параметров растения ξ, ω, Ω, испарения E_s и транспирации E_r, можно, используя приведенные уравнения рассчитывать изменение водного потенциала и, следовательно, влажности почвы, шаг за шагом.