2

Практическое занятие Математическое моделирование

Численное моделирование на компьютере

Принцип метода

Рассмотрим последовательность однонаправленных процессов, характеризующихся константами скоростей k₁ , k₂ , k₃:

k₁ k₂ k₃

А  В  С  D

Система дифференциальных уравнений, описывающая динамику переменных А, В, С и D имеет следующий вид:

dA	= -k1A
1 dt
dB	= k1A – k2B
dt
dC	= k2B – k3C
dt
dD	= k3C
dt

При условии, что А+В+С+D = S = const (балансовое уравнение), четвертое уравнение можно исключить, т.к. 1) величина D не входит в первые 3 уравнения и 2) величину D можно найти по разности из балансового уравнения.

Систему дифференциальных уравнений (1) можно переписать, заменяя dA, dB, dC, dD, dt (дифференциалы) на малые приращения ∆A, ∆B, ∆C, ∆D, ∆t:

∆A	= -k1A, или ∆A = -k1A∆t
∆t
∆B	= k1A – k2B, или ∆В= (k1A – k2B)∆t
∆t
∆C	= k2B – k3C, или ∆C= (k2B – k3C)∆t
∆t

Решение этой системы на компьютере заключается в последовательном вычислении приращений за короткий промежуток времени ∆t и их прибавления к предыдущим значениям переменных. Задаются: исходные значения A₀, B₀, C₀, D₀ = S, k₁ , k₂ , k₃ и “шаг времени” ∆t.

На первом этапе производятся следующие вычисления:

А₁ = А₀ + (-k₁A₀)∆t

В₁ = В₀ + (k₁A₀ – k₂B₀)∆t

С₁ = С₀ + (k₂B₀ – k₃C₀)∆t

D₁ = S – (A₁+ B₁+ C₁)

На втором:

А₂ = А₁ + (-k₁A₁)∆t

В₂ = В₁ + (k₁A₁ – k₂B₁)∆t

С₂ = С₁ + (k₂B₁ – k₃C₁)∆t

D₂ = S – (A₂+ B₂+ C₂)

И так далее:

А_n = А_n-1 + (-k₁A_n-1)∆t

В_n = В_n-1 + (k₁A_n-1 – k₂B_n-1)∆t

С_n = С_n-1 + (k₂B_n-1 – k₃C_n-1)∆t

D_n = S – (A_n-1+ B_n-1+ C_n-1),

Где n – номер этапа вычислений