Классификация математических моделей

В самом общем виде математические модели можно разделить на описательные (эмпирические) и объяснительные (теоретические) (Рис. 1).

Описательные (эмпирические) модели служат для компактного представления экспериментальных данных в виде математических формул. Обычно описательные модели строятся по принципу «черного ящика» (Рис. 2). Модель не описывает внутреннее устройство системы, исследуются реакции системы (выходы) на внешние воздействия (входы).

Объяснительные (теоретические) модели объясняют, как и почему изменения на входе системы приводят к той или иной реакции на выходе.

Между этими двумя направлениями нет четкой границы, потому что и теоретические модели могут содержать то или иное количество эмпирических элементов.

По возможности находить оптимальные решения аналитическими методами, модели подразделяются на оптимизационные и имитационные.

Оптимизационные модели служат для нахождения лучшего решения задачи по избранному критерию. Практически это означает определение максимума или минимума соответствующей функции. Решение таких задач в агрономии называется «математическим программированием». Наиболее широко применяется метод «ли –

нейного программирования», который используется для нахождения максимума линейных целевых функций при ограничениях, выраженных в виде линейных функций или неравенств.

Имитационные модели строятся в виде компьютерных программ, при создании которых широко используются как теоретические, так и эмпирические сведения об объекте. Такие модели обычно применяют для описания свойств системы, поведение элементов которой четко сформулировано. По достоверности имитационное моделирование приближается к натурным экспериментам.

По принципу определенности решений модели подразделяют на детерминистические и стохастические (вероятностные).

Детерминистические модели каждой совокупности исходных условий ставят в соответствие единственный результат.

Стохастические модели при одинаковых исходных условиях дают вероятностное распределение результатов.

По способности отражать процесс развития системы в динамике, модели делятся на динамические и статические.

Динамические модели показывают развитие объекта во времени.

Статические модели отражают состояние системы на данный момент времени.

Основные этапы математического моделирования

Выбор цели. Модель может быть нужна для того, чтобы а) понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой (основная цель – понимание); б) научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (основная цель – управление) и в) предсказать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (основная цель – прогнозирование).

Постановка задач. На этом этапе определяются наиболее актуальные и существенные стороны функционирования объекта и конкретизируется направление моделирования, то есть принимается решение о степени упрощения модели, выборе типа модели и инструментов для ее реализации.

Концептуализация заключается в обобщении известных сведений об изучаемой системе и разработке вербального (словесного) описания ее концептуальной (качественной) модели, а также определении пространственных и временных границ. Структура модели отображается с использованием метода графов в его различных модификациях (например, в виде потоковых и инфологических диаграмм).

Спецификация. На этом этапе определяется список величин, от которых зависит поведение системы или ход процесса. Выделяются входные параметры модели – постоянные величины C = {c_i }, (i = 1, 2, 3, …, m), неизменные для данного процесса и переменные величины X ={x_i}, (i = 1, 2. 3, …, n), изменяющиеся во времени. Выходные параметры модели – это величины Y ={y_i}, (i = 1, 2. 3, …, k), которые необходимо определить в ходе моделирования. Входные данные группируются (ранжируются) по степени влияния на выходные параметры.

Формализация модели представляет собой установление математических соотношений между входными и выходными параметрами модели. Существование математических взаимосвязей между входными и выходными параметрами можно выразить следующим образом:

F(y₁, y₂, …y_k; x₁, x₂, …x_n; c₁, c₂, …c_m) = 0 (1)

где F – оператор, который символизирует те действия (операции) которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты. Если задача относительно проста, то решение может быть представлено в аналитическом виде

у_j = f_j(x₁, x₂, …x_n; c₁, c₂, …c_m), j = 1, 2, …k (2)

В отличие от выражения (1) в выражении (2) выходные параметры явно выражены через входные данные. Операторы f_j также как и F символически обозначают определенные математические действия. Для исследования сформулированных отношений используют как аналитические, так и численные методы. В математическом моделировании численные методы преобладают, вследствие их относительной простоты и высокой скорости вычислений современных компьютеров.

Компьютерная реализация модели осуществляется либо путем разработки алгоритма и составления программы для компьютера, либо с помощью использования пакетов прикладных программ, предназначенных для решения математических задач. Среди таких пакетов выделяются Mathematica и Maple, имеющие тысячи встроенных библиотечных программ и большие возможности для визуализации результатов вычислений. Относительно простыми, но чрезвычайно удобными являются электронные таблицы MS Exсel и система МathCAD, содержащие достаточно много средств для компьютерного моделирования.

Оценка адекватности и чувствительности модели необходима для решения об ее практическом использовании. Соответствие модели ее назначению определяется путем сравнения поведения реальной и модельной систем в аналогичных условиях. В оценке адекватности модели можно выделить два аспекта: 1) субъективную оценку правильности работы модели (верификация) и 2) количественную оценку соответствия модели поставленной перед ней целью (валидация). Модель адекватна реальной системе, если при всех испытанных условиях ее предсказания согласуются, в известных пределах, с результатами, полученными при аналогичных воздействиях на реальную систему. Анализ чувствительности включает в себя оценку поведения модели при изменении тех или иных параметров. При этом решается задача разделения параметров по степени воздействия на поведение системы и, соответственно, точности их определения.