Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4_terehina-li-fik / posobie

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

NOSTX, ^ETNOSTX, NE^ETNOSTX, PERIODI^NOSTX, NULI FUNKCII, A STROITX WESX GRAFIK PO PROIZWOLXNYM TO^KAM SLI[KOM NERACIONALXNO. pO\TO- MU DLQ POLU^ENIQ POLNOJ KARTINY POWEDENIQ FUNKCII PRIWLEKA@TSQ TEORIQ PREDELOW I NEPRERYWNOSTI FUNKCII DLQ NAHOVDENIQ ASIMPTOT KRIWOJ, PROIZWODNYE PERWOGO I WTOROGO PORQDKOW DLQ OTYSKANIQ TO^EK \KSTREMUMA I PEREGIBA, OPREDELENIQ INTERWALOW WOZRASTANIQ, UBYWA- NIQ, WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI FUNKCII.

sHEMA POLNOGO ISSLEDOWANIQ FUNKCII SODERVIT SLEDU@]IE

\TAPY:

1.nAHOVDENIE OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII.

2.nAHOVDENIE ASIMPTOT GRAFIKA FUNKCII (WERTIKALXNYH I NA- KLONNYH).

3.nAHOVDENIE TO^EK \KSTREMUMA FUNKCII, INTERWALOW MONOTONNOS- TI S ISPOLXZOWANIEM PERWOJ PROIZWODNOJ.

4.nAHOVDENIE TO^EK PEREGIBA I INTERWALOW WYPUKLOSTI I WOGNU- TOSTI S PRIMENENIEM WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII.

5.aNALIZ PROSTEJ[IH SWOJSTW FUNKCII DLQ POLU^ENIQ DOPOLNI- TELXNOJ INFORMACII (^ETNOSTI, NE^ETNOSTI FUNKCII, EE PERIODI^NOS- TI, OPREDELENIE TO^EK PERESE^ENIQ S OSQMI KOORDINAT I NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH TO^EK GRAFIKA FUNKCII (PRI NEOBHODIMOSTI)). rAS- SMOTRIM SNA^ALA OTDELXNYE \LEMENTY ISSLEDOWANIQ FUNKCII, A ZATEM I POLNOE ISSLEDOWANIE S POSTROENIEM \SKIZA GRAFIKA FUNKCII.

3.2.1. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII

zADA^U NA ISSLEDOWANIE L@BOJ FUNKCII NEOBHODIMO NA^INATX S NA- HOVDENIQ OBLASTI EE OPREDELENIQ. kAK IZWESTNO, PRI ANALITI^ESKOM SPOSOBE ZADANIQ FUNKCII y = f(x) (T.E. S POMO]X@ FORMUL) POD OB- LASTX@ OPREDELENIQ D(y) PONIMA@T SOWOKUPNOSTX ZNA^ENIJ ARGUMENTA, PRI KOTORYH WYRAVENIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@, IMEET SMYSL. gEO- METRI^ESKI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ PREDSTAW- LQET SOBOJ INTERWAL NA OSI OX (MOVET BYTX I WSQ ^ISLOWAQ OSX).

zADA^A 1. nAJTI I IZOBRAZITX GRAFI^ESKI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCIJ.

1: oBLASTX@ OPREDELENIQ SLEDU@]IH FUNKCIJ QWLQETSQ WSQ ^ISLOWAQ OSX, T.E. D(y) : x 2 (;1 +1) TAK KAK \TI FUNKCII NE SODERVAT DRO- BEJ, ZNAMENATELX KOTORYH OBRA]ALSQ BY W NOLX W KAKOJ-LIBO TO^KE, NET OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ WYRAVENIJ POD ZNAKOM KORNQ ^ETNOJ STEPENI, POD ZNAKOM LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII I T. D., A IMENNO \TI MOMENTY I NADO U^ITYWATX PRI NAHOVDENII OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII

y = (x + 3) e;

;

y = e

y = x

; 4

y = px

y = x q(x ; 2)

y = px2 + x

+ 1

+ 4

y = x ; arctg x

y = x + sin 3x

y = ln (x2 + 9):

2: y = p

x ; 4

x ; 4 0:

oBLASTX OPREDELENIQ NAHODIM IZ USLOWIQ

tOGDA

D(y) : x 2 [4 +1)

rIS. 3.1.

3: y = px2 ; 4x + 3:

oBLASTX OPREDELENIQ D(y) NAHODITSQ IZ USLOWIQ: x2

; 4x + 3

0: nA-

HODIM KORNI KWADRATNOGO TREH^LENA I ZAPISYWAEM EGO W WIDE

(x ; 1)(x ; 3) 0:

oTKUDA SLEDUET, ^TO

D(y) : x 2 (;1 1] [ [3 +1):

rIS. 3.2.

4: y = ln(2x ; 1):

o^EWIDNO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ D(y)

NAHODITSQ IZ USLOWIQ:

2x ; 1 > 0 ) x > 1=2:

oTKUDA SLEDUET, ^TO

D(y) : x 2 (1=2 +1):

rIS. 3.3.

5: y = ln (4 ; x2):

oBLASTX OPREDELENIQ D(y) NAHODITSQ IZ USLOWIQ:

4 ; x2 > 0 ) (2 ; x)(2 + x) > 0:

oTME^AEM NA ^ISLOWOJ PRQMOJ

ZNA^ENIQ x = 2 x = ;2 I OPREDELQEM ZNAK WYRAVENIQ W KAVDOM INTERWALE. iTAK, OBLASTX OPREDELENIQ

D(y) : x 2 (;2 +2):

rIS. 3.4.

6: y =

lnxx:

o^EWIDNO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ D(y) NAHODITSQ IZ USLOWIJ: fx > 0 x 6=g0: oBLASTX OPREDELENIQ

D(y) : x 2 (0 +1):

7: y = ln x ; x1

! :

rIS. 3.5.

o^EWIDNO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ D(y) NAHODITSQ IZ USLOWIJ:

8 x

1 >

)

8 x2 ; 1

> 0

)

8 (x ; 1)(x + 1) > 0

; x

6= 0

6=:0

> x

= 0 x = 1 I

nA ^ISLOWOJ PRQMOJ OTMETIM ZNA^ENIQ x =

OPREDELIM ZNAK DROBI W KAVDOM INTERWALE. wYDELQEM TE INTERWALY, W

KOTORYH DROBX POLOVITELXNA I U^TEM, ^TO x

= 0 x

= 1:

oBLASTX OPREDELENIQ

D(y) : x 2 (;1 0) [ (1 +1):

rIS. 3.6.

x + 1

8: y = ln x ; 2:

o^EWIDNO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ D(y) NAHODITSQ IZ USLOWIJ:

x + 1

> 0

(x + 1)(x

;

2) > 0

8 x

;

)

8 x

= 2

6= 2

x = 2 I OPREDELIM

nA:^ISLOWOJ PRQMOJ OTMETIM ZNA^ENIQ x =

ZNAK DROBI W KAVDOM INTERWALE. wYDELQEM TE INTERWALY, W KOTORYH

6 ;

DROBX POLOVITELXNA I U^TEM, ^TO x

= 2 x

= 1:

oTKUDA SLEDUET,

^TO OBLASTX OPREDELENIQ

D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (2 +1):

x + 1

rIS. 3.7.

9: y = ln x ; 2 : , - dANNYJ PRIMER OTLI^AETSQ OT PREDYDU]EGO TEM ^TO ARGUMENT LOGA

RIFMA STOIT POD ZNAKOM MODULQ, A, ZNA^IT, DROBX MOVET PRINIMATX I OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ. pO\TOMU IZ OBLASTI OPREDELENIQ ISKL@^AEM TO^KI, W KOTORYH ZNAMENATELX DROBI OBRA]AETSQ W NOLX, T.E. x = 2 I ZNA^ENIE x = ;1, TAK KAK PRI \TOM POLU^IM ln 0 = 1:

oBLASTX OPREDELENIQ

D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (;1 2) [ (2 +1):

rIS. 3.8.

10: y = (x + 1)2 :

iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIE x = ;1 PRI KOTOROM ZNAMENATELX DROBI OBRA]AETSQ W NOLX. iTAK,

	D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (;1 +1):
			x		; 1			rIS. 3.9.
	11:	y =				:
			x2
					; 9

iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIQ x = ;3 x = 3
PRI KOTORYH ZNAMENATELX DROBI (x2 ; 9) = (x ; 3)(x + 3) OBRA]AETSQ W
NOLX. iTAK,
D(y) : x 2 (;1 ;3) [								(;3 +3) [ (3 +1):
		y = 2x ; 9:						rIS. 3.10.
	12:
			x3		+ 8
iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIE x = ;2 PRI KO-
TOROM ZNAMENATELX DROBI (x3 + 8) = (x + 2)(x2 ; 4x + 4) OBRA]AETSQ
W NOLX. wYRAVENIE (x2								; 4x + 4) NE OBRA]AETSQ W NOLX NI PRI KAKIH
ZNA^ENIQH x: iTAK,
	D(y) : x 2 (;1 ;2) [ (;2 +1):
					4x			rIS. 3.11.
	13: y = p						:

				9 ; x2
oBLASTX OPREDELENIQ NAHODIM IZ USLOWIQ
	9 ; x2 > 0				)		(3 ; x)(3 + x) > 0:

(zDESX TAKVE ISKL@^ENY ZNA^ENIQ x = 3:) iTAK,

D(y) : x 2 (;3 +3):

rIS. 3.12.

14: y = arctgx ; 5:

iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIE x = 5 PRI KO- TOROM ZNAMENATELX DROBI OBRA]AETSQ W NOLX. iTAK,

D(y) : x 2 (;1 5) [ (5 +1):

15: y = ex + 4 :

rIS. 3.13.

iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIE x = ;4 PRI KOTOROM ZNAMENATELX DROBI OBRA]AETSQ W NOLX. iTAK,

D(y) : x 2 (;1 ;4) [ (;4 +1):

rIS. 3.14.

16: y = ex ; 1:

iZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII ISKL@^AEM ZNA^ENIE x = 0 PRI KO- TOROM ZNAMENATELX DROBI OBRA]AETSQ W NOLX (ex = 1 PRI x = 0).

D(y) : x 2 (;1 0) [ (0 +1):17: y = arcsin 2x ; 5x:

rIS. 3.15.

aRGUMENT ARKSINUSA PO ABSOL@TNOJ WELI^INE NE DOLVEN PREWY[ATX EDINICY

j 2x j 1 ), ;1 2x 1 ) ;1=2 x 1=2:

tAKIM OBRAZOM FUNKCIQ OPREDELENA W INTERWALE

D(y) : x 2 " ;12 12 #

rIS. 3.16.

3.2.2. aSIMPTOTY

o P R E D E L E N I E. pRQMAQ NAZYWAETSQ ASIMPTOTOJ DANNOJ KRIWOJ, ESLI RASSTOQNIE OT TEKU]EJ TO^KI KRIWOJ DO PRQMOJ STREMITSQ K NUL@ PRI UDALENII TO^KI PO KRIWOJ W BESKONE^NOSTX.

aSIMPTOTY DELQTSQ NA DWA TIPA:

1.wERTIKALXNYE ASIMPTOTY (x = x0).

2.nAKLONNYE ASIMPTOTY (y = kx+b) (^ASTNYM SLU^AEM NAKLONNYH QWLQ@TSQ GORIZONTALXNYE ASIMTOTY (y = b)).

rIS. 3.17.

nAHOVDENIE WERTIKALXNYH ASIMPTOT

o P R E D E L E N I E. wERTIKALXNAQ PRQMAQ x = x0 QWLQETSQ WER- TIKALXNOJ ASIMPTOTOJ GRAFIKA FUNKCII y = f(x) ESLI HOTQ BY ODIN IZ ODNOSTORONNIH PREDELOW FUNKCII RAWEN BESKONE^NOSTI

lim	f(x) =	1	ILI	lim f(x) =	1	:
x!x0;0		1		x!x0+0	1

|TA SITUACIQ WOZMOVNA, ESLI TO^KA x0 QWLQETSQ LIBO TO^KOJ BESKO- NE^NOGO RAZRYWA FUNKCII (TO^KOJ RAZRYWA 2-GO RODA), LIBO GRANI^NOJ TO^KOJ OBLASTI OPREDELENIQ, W KOTOROJ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W BESKO- NE^NOSTX.

sHEMA NAHOVDENIQ WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY:

1.nAHODIM OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII.

2.eSLI TO^KA x0 QWLQETSQ TO^KOJ RAZRYWA FUNKCII ILI GRANI^NOJ TO^KOJ OBLASTI OPREDELENIQ, TO NAHODIM ODNOSTORONNIE PREDELY FUNK-

CII PRI x ! x0 ; 0 I x ! x0 + 0:

3. eSLI HOTQ BY ODIN IZ ODNOSTORONNIH PREDELOW OKAVETSQ RAWNYM BESKONE^NOSTI, TO PRQMAQ x = x0 QWLQETSQ WERTIKALXNOJ ASIMPTOTOJ GRAFIKA FUNKCII.

nAHOVDENIQ NAKLONNOJ ASIMPTOTY

pREDPOLOVIM, ^TO URAWNENIE y = kx + b QWLQETSQ URAWNENIEM NAKLON- NOJ ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII y = f(x): tOGDA PARAMETRY k I b NAHODQTSQ PO FORMULAM

dLQ LEWOJ ASIMPTOTY

dLQ PRAWOJ ASIMPTOTY

k =

lim

f(x)

k =

lim

f(x)

b =

x!;1

kx ]

b =

x!+1

kx ] :

lim [ f(x)

;

lim [ f(x)

;

x!;1

x!+1

k NAKLONNOJ

zAMETIM, ^TO SNA^ALA NAHODQT UGLOWOJ KO\FFICIENT

ASIMPTOTY, A ZATEM SWOBODNYJ ^LEN b. eSLI HOTQ BY ODIN IZ \TIH PA- RAMETROW OKAVETSQ RAWNYM BESKONE^NOSTI ILI NE BUDET SU]ESTWOWATX, TO DELAETSQ WYWOD OB OTSUTSTWII SOOTWETSTWU@]EJ NAKLONNOJ ASIMP- TOTY.

eSLI UGLOWOJ KO\FFICIENT k = 0, TO WOZMOVNO SU]ESTWOWANIE GO-

RIZONTALXNOJ ASIMPTOTY, URAWNENIE KOTOROJ
y = b PRI^EM b =	lim	f(x):
	x! 1
z A M E ^ A N I E.	w TEH SLU^AQH, KOGDA PREDEL NE ZAWISIT OT
TOGO, STREMITSQ x K (+1) ILI K (;1), POLU^AEM ODNU NAKLONNU@
ASIMPTOTU
y = kx + b k = lim	f(x)	b = lim [ f(x)	;	kx ] :
x!1	x	x!1	;

zADA^A 2. nAJTI WSE ASIMPTOTY GRAFIKOW FUNKCIJ.

1: y = 3x2 + x + 2: x ; 4

a) i]EM WERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

w OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII NE WHODIT TO^KA x = 4

D(y) : x 2 (;1 4) [ (4 +1): x = 4:

iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWA FUNKCII W TO^KE dLQ \TOGO NAJDEM

ODNOSTORONNIE PREDELY
lim	3x2 + x + 2		=	48 + 4 + 2	=	54	=	;1
lim		2x ; 4	=	4 ; 0 ; 4	=	;0	=
x!4;0		2x ; 4		4 ; 0 ; 4		;0
lim	3x	+ x + 2	=	48 + 4 + 2	=	54	= +		1	:
x!4+0		x ; 4		4 + 0 ; 4		+0			1

wYWOD: W TO^KE x = 4 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW I x = 4 ; URAWNENIE WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY.

b) nAHODIM URAWNENIE NAKLONNOJ ASIMPTOTY. pUSTX y = kx + b ESTX

ISKOMOE URAWNENIE ASIMPTOTY. tOGDA:

k =

lim

(x)

lim

3x2 + x + 2

lim

3x2

= 3:

x! 1

(x ; 4)x

x! 1 x2

3 =

b =

lim

[ f(x)

;

kx ] =

lim

2 3x

+ x + 2

;

x! 1

2x! 1

x ; 4

lim 3x

+ x + 2 ;

+ 12x =

lim

13x + 2

= 13:

x! 1

x ; 4

x! 1

x ; 4

iTAK, URAWNENIE NAKLONNOJ ASIMPTOTY y = 3x + 13:

1; 3x2

2: y = 1 ; x2 :

a) i]EM WERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

w OBLASTX OPREDELENIQ NE WHODQT TO^KI x = 1 x = ;1 D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (;1 +1) [ (1 +1):

iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWA FUNKCII W \TIH TO^KAH. dLQ \TOGO NAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY

lim

; 3x2

; 3

;

x)(1 + x)

;

0))(1 + (1

;

0))

(+0)

;

lim

; 3x

; 3

= +

x)(1 + x)

(1 + 0))(1 + (1 + 0))

x!1+0

;

(

;

lim

1 ;

3x2

; 3

= +

0 (1

(

;

x)(1 + x)

(1 + 1 + 0)(1

;

lim

;

; 3

x!;1+0 (1 ; x)(1 + x)

(1 + 1 ; 0)(1 ; 1 + 0)

2 (+0)

wYWOD: W TO^KAH x = 1 x = ;1 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZ-

RYW I x = 1

x = ;1 { URAWNENIQ WERTIKALXNYH ASIMPTOT.

b) nAHODIM PARAMETRY NAKLONNOJ ASIMPTOTY

y = kx + b:

f(x)

1 ; 3x22

;

3x2

= xlim ;

3x2

k = xlim

= xlim

1 ; x

= xlim

3 = 0:

(1 ; x

2!1 ;x

b = lim [ f(x)

;

] = lim

f(x) = lim

; 3x

= 3:

x!1

x!1 1 ; x2

tAK KAK

k = 0

b = 3 TO DANNAQ FUNKCIQ IMEET GORIZONTALXNU@

ASIMPTOTU

y = 3:

3: y = arctg

x + 3

wERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

w OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII NE WHODIT TO^KA x = ;3 D(y) : x 2 (;1 ;3) [ (;3 +1):

iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWA FUNKCII W \TOJ TO^KE. dLQ \TOGO NAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY

lim

arctg

=arctg

= arctg

=arctg(

) =

x + 3

;3 ; 0 + 3

x!;3;0

lim

arctg

=arctg

= arctg(+

) =

x!;3+0

x + 3

;3 + 0 + 3

wYWOD: W TO^KE x = ;3 FUNKCIQ TERPIT RAZRYW 1-GO RODA (KONE^NYJ

SKA^OK), ZNA^IT WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY NET.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY

y = kx + b:

f(x)

arctg

arctg 0

k = lim

= lim

x+3

= 0:

x!1 x

x!1

b = lim [ f(x)

;

kx ] = lim arctg

= arctg 0 = 0:

x!1

x + 3

tAK KAK k = 0 b = 0 TO DANNAQ FUNKCIQ IMEET GORIZONTALXNU@ ASIMPTOTU y = 0, T.E. GORIZONTALXNOJ ASIMPTOTOJ QWLQETSQ OSX OX.

4: y = x ; ln x:

a) wERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (0 +1):

iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA GRANICE OBLASTI OPREDELENIQ. nAJ- DEM ODNOSTORONNIJ PREDEL

lim (x ; ln x) = 0 ; ln(+0) = 0 ; (;1) = +1:

x!+0

wYWOD: ODNOSTORONNIJ PREDEL RAWEN BESKONE^NOSTI, PO\TOMU x = 0 ; URAWNENIE WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY

y = kx + b

k =

lim

f(x)

lim

x ; ln x

lim

;

ln x

= 1

;

0 = 1:

x!+1

zDESX BYLO ISPOLXZOWANO PRAWILO lOPITALQ.

lim

ln x = 1

lim (ln x)0

lim

1=x

lim

= 0:

x!+1

(x)0

x!+1

x!+1 x

lim

[f(x)1 kx] = lim (x

;

ln x

;

x) =

lim (

ln x) =

x!+1

;

x!+1

x!+1 ;

tAK KAK b = ;1, TO NAKLONNOJ ASIMPTOTY NET.

y = x ln x:

wERTIKALXNYE ASIMPTOTY. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) :

x 2

(0 +1):

iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA GRANICE OBLASTI OPREDELENIQ. nAJ-

DEM ODNOSTORONNIJ PREDEL

(ln x)0 =

lim (x ln x) = (0

) = lim

ln x

= lim

1=x

(1=x)0

1=x

= lim

= 0:

x!+0 ;1=x2

x!+0

x!+0 ;1

wYWOD: ODNOSTORONNIJ PREDEL NE RAWEN BESKONE^NOSTI, PO\TOMU DAN- NAQ FUNKCIQ NE IMEET WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4_terehina-li-fik

#
30.05.2015516.46 Кб13main.pdf
#
30.05.2015444.12 Кб13main_uch_posobie.pdf
#
30.05.20152.22 Mб14posobie.PDF
#
30.05.2015700.17 Кб14programma.pdf