4_terehina-li-fik / programma

federalxnoe agentstwo po obrazowani`

gOSUDARSTWENNOE OBRAZOWATELXNOE U^REVDENIE

WYS[EGO PROFESSIONALXNOGO OBRAZOWANIQ

tomskij politehni~eskij uniwersitet

utwervda`

dIREKTOR ido s.i. kA^IN

wys{aq matematika 2

rABO^AQ PROGRAMMA, METODI^ESKIE UKAZANIQ I KONTROLXNYE ZADANIQ DLQ STUDENTOW 1 KURSA

SPECIALXNOSTEJ 140203, 140205, 140211, 140604, 140610

INSTITUTA DISTANCIONNOGO OBRAZOWANIQ tpu

rASPREDELENIE U^EBNYH ^ASOW

tOMSK 2009

rabo~aq programma

PO DISCIPLINE "wYS[AQ MATEMATIKA-2"

1. dIFFERENCIALXNOE IS^ISLENIE FUNKCII ODNOJ I NESKOLX- KIH NEZAWISIMYH PEREMENNYH

1.1. pREDEL I NEPRERYWNOSTX FUNKCII

pREDMET ANALIZA. fUNKCIQ, SPOSOBY ZADANIQ. oSNOWNYE \LEMENTAR- NYE FUNKCII, IH GRAFIKI I OBLASTX OPREDELENIQ. gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII. pONQTIE SLOVNOJ I OBRATNOJ FUNKCII. bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLX[IE WELI^INY. pREDEL FUNKCII, EGO GEOMETRI^ESKIJ SMYSL. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMY O PREDELAH. zAME^ATELX- NYE PREDELY. sRAWNENIE BESKONE^NO MALYH WELI^IN. |KWIWALENTNYE BESKONE^NO MALYE WELI^INY, OSNOWNYE SOOTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI. nEOPREDELENNOSTI I METODY IH RASKRYTIQ. oDNOSTORONNIE PREDELY. nEPRERYWNOSTX W TO^KE I NA INTERWALE. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRY- WA. tEOREMY O NEPRERYWNYH FUNKCIQH.

1.2. pROIZWODNAQ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ

zADA^A O KASATELXNOJ. sREDNQQ I MGNOWENNAQ SKOROSTX. pRIRA]E- NIE ARGUMENTA I PRIRA]ENIE FUNKCII. pONQTIE PROIZWODNOJ FUNKCII. fIZI^ESKIJ I GEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ. sWQZX NEPRERYW- NOSTI I DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII. pRAWILA DIFFERENCIROWANIQ. tABLICA PROIZWODNYH. mETOD LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ. dIFFERENCIROWANIE NEQWNOJ, POKAZATELXNO-STEPENNOJ I PARAMETRI^ES- KI ZADANNOJ FUNKCII. dIFFERENCIAL FUNKCII, EGO MATEMATI^ESKIJ, GEOMETRI^ESKIJ I FIZI^ESKIJ SMYSL. sWOJSTWA DIFFERENCIALA, INWA- RIANTNOSTX EGO FORMY. pRIMENENIE DIFFERENCIALA K PRIBLIVENNYM WY^ISLENIQM. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW. tEO- REMY O DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIQH (fERMA, rOLLQ, lAGRANVA, kO- [I). pRAWILO lOPITALQ.

1.3. pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII NA INTERWALE. |KSTREMUMY. nEOB- HODIMOE I DOSTATO^NYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA FUNKCII. nAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII NA OTREZKE. zADA^I SMYS- LOWOGO SODERVANIQ. wYPUKLOSTX, WOGNUTOSTX KRIWOJ, TO^KI PEREGIBA,

3

NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIQ. aSIMPTOTY, PONQTIE, WIDY ASIMP- TOT. sHEMA OTYSKANIQ WERTIKALXNYH ASIMPTOT. nAHOVDENIE PARAMET- ROW NAKLONNYH ASIMPTOT. pOLNOE ISSLEDOWANIE FUNKCIJ I POSTROENIE GRAFIKOW. kASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ. gEOMETRI^ESKIE I FIZI- ^ESKIE PRILOVENIQ.

1.4. fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

pONQTIE FUNKCII NESKOLXKIH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. oBLASTX OPRE- DELENIQ. pREDEL I NEPRERYWNOSTX. ~ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCIJ, IH GEOMETRI^ESKIJ SMYSL. ~ASTNYE I POLNYJ DIFFERENCIALY FUNKCII. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII. pOLNAQ I ^ASTNAQ PROIZWODNYE. nE- QWNYE FUNKCII I IH DIFFERENCIROWANIE. pROIZWODNYE I DIFFEREN- CIALY WYS[IH PORQDKOW. iNWARIANTNOSTX FORMY POLNOGO DIFFEREN- CIALA. gEOMETRI^ESKIJ SMYSL POLNOGO DIFFERENCIALA FUNKCII DWUH PEREMENNYH. pRILOVENIE DIFFERENCIALA K PRIBLIVENNYM WY^ISLE- NIQM. |KSTREMUM FUNKCII DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH, PONQTIE, NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ. sEDLOWYE TO^KI. nAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII DWUH PEREMENNYH W ZAMKNUTOJ OBLAS- TI. kASATELXNAQ PLOSKOSTX I NORMALX K POWERHNOSTI. wEKTORNAQ FUNK- CIQ SKALQRNOGO ARGUMENTA. pONQTIE, DIFFERENCIROWANIE, KASATELXNAQ K PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ. sKALQRNYE POLQ. lINII I POWERHNOSTI UROWNQ. pROIZWODNAQ PO NAPRAWLENI@. wEKTOR { GRADIENT, EGO SWOJSTWA. fIZI^ESKIJ SMYSL WEKTORA{GRADIENTA. sWQZX GRADIENTA I PROIZWODNOJ PO NAPRAWLENI@.

kRATKIE UKAZANIQ K IZU^ENI@ DISCIPLINY I WYPOLNENI@ KONTROLXNYH ZADANIJ.

pRISTUPAQ K IZU^ENI@ DISCIPLINY "mATEMATI^ESKIJ ANALIZ," STU- DENT DOLVEN WNA^ALE OZNAKOMITXSQ S REKOMENDUEMOJ LITERATUROJ, KO- TORAQ UKAZANA W KRATKIH METODI^ESKIH UKAZANIQH K WYPOLNENI@ KAV- DOJ KONTROLXNOJ RABOTY DLQ OB]EGO OZNAKOMLENIQ I POLU^ENIQ NA- ^ALXNYH SWEDENIJ PO IZU^AEMYM RAZDELAM. sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA PONQTIQ, FORMULIROWKI SWOJSTW I TEOREM, RE[ENIE TIPO- WYH PRIMEROW I ZADA^. w PROCESSE DALXNEJ[EGO RE[ENIQ PREDLOVEN- NYH PRIMEROW I ZADA^ WARIANTA KONTROLXNYH RABOT SLEDUET E]< RAZ I BOLEE GLUBOKO RAZOBRATXSQ W WOPROSAH TEORII I POSTARATXSQ NAJTI

4

I ZAPOMNITX OTWETY NA PREDLOVENNYE K KAVDOJ TEME "WOPROSY DLQ SAMOPROWERKI".

w [5] I [6], NARQDU S KRATKIM IZLOVENIEM OSNOW TEORII, PRIWEDE- NO BOLX[OE KOLI^ESTWO METODI^ESKI RAZOBRANNYH PRIMEROW I ZADA^ PO KAVDOJ TEME. pOSOBIE MAKSIMALXNO PRIBLIVENO K ZADA^AM I CELQM DISTANTNOGO OBU^ENIQ I OKAVET SU]ESTWENNU@ POMO]X STUDENTU KAK W USWOENII TEORETI^ESKIH RAZDELOW KURSA, TAK I W WYPOLNENII KONTROLX- NYH RABOT.

lITERATURA

1.w.a. iLXIN, |.g. pOZNQK oSNOWY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.~ASTX

1.- m.: nAUKA, 1971.

2.n.s. pISKUNOW dIFFERENCIALXNOE I INTEGRALXNOE IS^ISLENIQ DLQ WTUZOW. - m.: nAUKA, 1978.

3.a.f. bERMANT, i.g. aRAMANOWI^ kRATKIJ KURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. - m.: nAUKA 1971.

4.p.e. dANKO, a.g. pOPOW, t.q. kOVEWNIKOWA wYS[AQ MATEMATIKA W UPRAVNENIQH I ZADA^AH, ^ASTX 1. - m.: wYS[. [K., 1980, ^ASTX 2.- m.: wYS[. [K., 1986.

5.l.i. tEREHINA, i.i. fIKS wYS[AQ MATEMATIKA, ^ASTX 2. pRE-

DEL, NEPRERYWNOSTX. pROIZWODNAQ. pRILOVENIQ PROIZWODNOJ. FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH. u^EBNOE POSOBIE, -tOMSK, 2006.

6. l.i. tEREHINA, i.i. fIKS mATEMATI^ESKIJ ANALIZ, ^ASTX 1. u^EBNOE POSOBIE, -tOMSK, 2004.

5

kONTROLXNAQ RABOTA N 5. pREDEL. nEPRERYWNOSTX

zADA^A 1, 2. wY^ISLENIE PREDELOW, SOSTAWLENIE \KWIWALENTNYH.

wOPROSY DLQ SAMOPROWERKI

1. sFORMULIRUJTE OPREDELENIQ BESKONE^NO MALOJ I BESKONE^NO BOLX- I x ! 1: pRIWEDITE GRAFI^ESKU@ ILL@ST-

2.sFORMULIRUJTE OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE I NA BES- KONE^NOSTI. sFORMULIRUJTE OSNOWNYE TEOREMY O PREDELAH.

3.dAJTE OPREDELENIE PREDELA ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

4.zAPI[ITE FORMULY 1-GO I 2-GO ZAME^ATELXNYH PREDELOW.

5.kAK SRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE WELI^INY? ~TO TAKOE OTNO- SITELXNYJ PORQDOK MALOSTI?

6.w KAKOM SLU^AE BESKONE^NO MALYE BUDUT \KWIWALENTNY? pRIWEDI- TE PRIMERY NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@]IHSQ SOOTNO[ENIJ \KWIWALENT- NOSTI.

7.pERE^ISLITE WSE WIDY NEOPREDELENNOSTEJ. kAKIE PRIEMY ISPOLX- ZU@TSQ DLQ RASKRYTIQ NEOPREDELENNOSTEJ?

8.~TO TAKOE ODNOSTORONNIE PREDELY FUNKCII W TO^KE. pRIWEDITE PRIMERY WY^ISLENIQ TAKIH PREDELOW.

9.sFORMULIRUJTE RAZLI^NYE USLOWIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII W TO^KE I NA INTERWALE. kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T FUNKCII, NEPRE- RYWNYE W TO^KE?

10.kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T FUNKCII, NEPRERYWNYE W ZAMKNU- TOM PROMEVUTKE? pROILL@STRIRUJTE GRAFI^ESKI \TI SWOJSTWA.

11.~TO PONIMA@T POD RAZRYWOM FUNKCII W TO^KE? kAKIE TIPY RAZ- RYWOW SLEDUET RAZLI^ATX? pRIWEDITE OPREDELENIQ KAVDOGO TIPA RAZ- RYWA I IH GEOMETRI^ESKU@ ILL@STRACI@

6

kONTROLXNAQ RABOTA N 6 pROIZWODNAQ

zADA^I 1-4. nAHOVDENIE PROIZWODNYH I DIFFERENCIALOW FUNKCIJ. lITERATURA [1], GLAWA IV [2], GLAWA III [3], GLAWA III [6], c. 52-

75 [4], ^. 1, c. 165-181 [5] GLAWA 2, P. 2.1.

zADA^A 5. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ S ISPOLXZOWANIEM PRAWILA lOPITALQ.

lITERATURA [1], GLAWA VIII, S. 261-267 [2], GLAWA V [3], GLAWA IV, S. 192-198 [6] c.76-78 [4], ^. 1, S.185-188 [5], GLAWA 3, P.3.1.

wOPROSY DLQ SAMOPROWERKI

1.sFORMULIRUJTE OPREDELENIE PROIZWODNOJ. w ^EM SOSTOIT GEOMET- RI^ESKIJ I FIZI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ?

2.kAKAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE? NA INTER- WALE? kAK SWQZANY PONQTIQ "NEPRERYWNOSTI" I "DIFFERENCIRUEMOSTI" FUNKCII W TO^KE? pRIWEDITE GRAFI^ESKIE PRIMERY FUNKCIJ, NEPRE- RYWNYH, NO NE DIFFERENCIRUEMYH W TO^KE. kAK ZAPISYWAETSQ PRIRA- ]ENIE DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII?

3.zAPI[ITE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SUMMY, PROIZWEDENIQ, ^ASTNOGO DWUH FUNKCIJ.

4.zAPI[ITE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ I OBRATNOJ FUNK- CIJ, PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ FUNKCII.

5.oPI[ITE PRIEM LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ. kOGDA ON PRIMENQETSQ?

6.oPI[ITE PRIEM DIFFERENCIROWANIQ NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII.

7.zAPI[ITE PROIZWODNYE OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ.

8.~TO TAKOE DIFFERENCIAL FUNKCII? kAK ON SWQZAN S EE PRIRA]E- NIEM? kAKOW EGO GEOMETRI^ESKIJ I FIZI^ESKIJ SMYSL?

9.kAK NAHODQTSQ PROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW?

10.kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII (CFOR- MULIRUJTE I PROILL@STRIRUJTE GRAFI^ESKI TEOREMY fERMA, rOLLQ, lAGRANVA, kO[I).

7

kONTROLXNAQ RABOTA N 7. pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

zADA^I 1-3. iSSLEDOWANIE FUNKCII S POMO]X@ PROIZWODNYH I PO- STROENIE GRAFIKOW.

lITERATURA [1], GLAWA IX, S. 291-304 [2], GLAWA V [3], GLAWA IV, S. 165-192 [6] c.78-118 [4], ^. 1, c. 189-197 [5], GLAWA 3, P. 3.2.

zADA^A 4. sOSTAWLENIE URAWNENIJ KASATELXNOJ I NORMALI K KRIWOJ. lITERATURA [3], GLAWA III, STR. 139-146 [6] c.124-125 [4], ^. 1, c.

175-177 [5], GL. 3, P. 3.3 .

zADA^A 5. nAHOVDENIE NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ FUNK- CII W INTERWALE.

lITERATURA [3], GLAWA III, STR. 183-186 [6] c.119 [4], ^. 1, cTR. 191-192 [5], GLAWA 3, P. 3.2.6.

wOPROSY DLQ SAMOPROWERKI

1.sFORMULIRUJTE OPREDELENIQ WOZRASTA@]EJ I UBYWA@]EJ NA IN- TERWALE FUNKCII.

2.sFORMULIRUJTE NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIQ WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII W INTERWALE. pOQSNITE IH GRAFI^ESKI.

3.~TO TAKOE \KSTREMUM FUNKCII? kAKIE SU]ESTWU@T WIDY \KSTRE- MUMOW?

4.sFORMULIRUJTE NEOBHODIMYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA FUNKCII W TO^KE. pRIWEDITE GRAFI^ESKIE PRIMERY.

5.sFORMULIRUJTE 1-OE I 2-OE DOSTATO^NYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA.

6.iZLOVITE SHEMU ISSLEDOWANIQ FUNKCII NA \KSTREMUM.

7.iZLOVITE SHEMU NAHOVDENIQ NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^E- NIQ FUNKCII W INTERWALE.

8.dAJTE OPREDELENIQ WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI KRIWOJ W INTERWALE, TO^EK PEREGIBA. pROILL@STRIRUJTE GEOMETRI^ESKI.

9.sFORMULIRUJTE DOSTATO^NYE USLOWIQ WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI KRIWOJ W INTERWALE.

10. sFORMULIRUJTE NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIQ SU]ESTWO-

WANIQ TO^EK PEREGIBA. iZLOVITE SHEMU OTYSKANIQ TO^EK PEREGIBA. 11. ~TO NAZYWAETSQ ASIMPTOTOJ KRIWOJ? uKAVITE WIDY ASIMPTOT.

8

12.iZLOVITE SHEMU OTYSKANIQ WERTIKALXNYH ASIMPTOT.

13.zAPI[ITE URAWNENIE NAKLONNOJ ASIMPTOTY I FORMULY NAHOVDE- NIQ PARAMETROW \TOGO URAWNENIQ. w KAKIH SLU^AQH MOVNO GOWORITX OB OTSUTSTWII U KRIWOJ NAKLONNOJ ASIMPTOTY?

14.dAJTE OPREDELENIQ I ZAPI[ITE URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K KRIWOJ.

15.w ^EM SOSTOIT PRAWILO lOPITALQ? dLQ RASKRYTIQ KAKIH NEOPRE- DELENNOSTEJ ONO PRIMENQETSQ?

kONTROLXNAQ RABOTA N 8. fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

zADA^I 1-6. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII. ~ASTNYE PROIZWODNYE I DIFFERENCIAL FUNKCII.

lITERATURA [1], S. 457-461, 477-500 [2], GLAWA VIII [3], GLAWA VII, c. 341-368 [6] c.126-142 [4], ^. 1, c. 208-219 [5], GLAWA 4, P.4.1.

zADA^A 7. |KSTREMUM FUNKCII DWUH PEREMENNYH.

lITERATURA [1], GLAWA XIV, S. 502-510 [2], GLAWA VIII [3], GLAWA VII, c. 387-398 [6] c.144-147 [4], ^. 1, c. 219-224 [5], GLAWA 4, P.P. 4.1-4.2.

wOPROSY DLQ SAMOPROWERKI

1.dAJTE PONQTIE FUNKCII DWUH (I BOLEE) NEZAWISIMYH PEREMENNYH, OBLASTI OPREDELENIQ TAKOJ FUNKCII. ~TO QWLQETSQ GRAFIKOM FUNKCII DWUH PEREMENNYH?

2.dAJTE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH W TO^KE I W OBLASTI. pRIWEDITE PRIMERY RAZRYWNYH FUNK- CIJ.

3.sFORMULIRUJTE OPREDELENIE ^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH PO KAVDOJ IZ NIH. w ^EM SOSTOIT GEOMETRI- ^ESKIJ SMYSL ^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII.

4.sFORMULIRUJTE OPREDELENIE ^ASTNOGO PRIRA]ENIQ I ^ASTNOGO DIFFERENCIALA FUNKCII. oPREDELENIE POLNOGO PRIRA]ENIQ I POLNOGO DIFFERENCIALA.

5.kAK NAHODQTSQ ^ASTNYE PROIZWODNYE WYS[EGO PORQDKA? sFORMU- LIRUJTE USLOWIQ RAWENSTWA SME[ANNYH PROIZWODNYH. dIFFERENCIALY

9

WYS[IH PORQDKOW I FORMULY IH NAHOVDENIQ.

9.dAJTE PONQTIE SLOVNOJ FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH. zA- PI[ITE FORMULY DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII . zAPI[ITE FORMULY DIFFERENCIROWANIQ NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII .

10.~TO TAKOE KASATELXNAQ PLOSKOSTX I NORMALX K POWERHNOSTI? zA- PI[ITE URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERHNOSTI,

ZADANNOJ URAWNENIEM W S : F (x y z) = 0 I S : z = f(x y).

11. CFORMULIRUJTE OPREDELENIE \KSTREMUMA FUNKCII DWUH PEREMEN- NYH. kAKOWY NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ \K- STREMUMA FUNKCII DWUH PEREMENNYH?

13. iZLOVITE SHEMU NAHOVDENIQ NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^E- NIJ FUNKCII W ZAMKNUTOJ OBLASTI.

10