Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4_terehina-li-fik / posobie

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

zADA^A 5. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNK- CIJ.

	1: y =	4x3	+ x4	:
			4
1)	oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 +1):

2) aSIMPTOTY.

wERTIKALXNYH ASIMPTOT NET, T.K. FUNKCIQ NEPRERYWNA NA WSEJ ^I- SLOWOJ OSI.

nAHODIM PARAMETRY NAKLONNYH ASIMPTOT y = kx + b:

k = lim

f(x)

= lim

4x3 + x4

NAKLONNOJ ASIMPTOTY TAKVE

NET.

x!1

)

|KSTREMUM.

1(12x2 + 4x3) = x2(3 + x)

= 0

PRI

x1 = 0

x2 =

;

6 1

x = ;3 { "

" min,

gRAFIK ZNAKOW

w TO^KE

GLADKIJ

TO^KE x = 0 { \KSTREMUMA NET.

zNA^ENIQ FUNKCII W TO^KAH: y(;3) =

;27=4

y(0) = 0:

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE x

(;3 +1):

fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x 2 (;1 ;3):

nANOSIM REZULXTATY ISSLEDOWANIQ NA \KSTREMUM NA \SKIZ.

4)tO^KI PEREGIBA.

y00	= (3x2 + x3)0 = 6x + 3x2 = 3x(x + 2):
y00	= 0 PRI x1 = 0 x2 =	;	2	y00	= :
					6 1
gRAFIK ZNAKOW y00				tO^KI x1 = 0 x2 = ;2 QWLQ@TSQ
TO^KAMI PEREGIBA. zNA^ENIQ FUNKCII W \TIH TO^KAH:
y(0) = 0 y(;2) = ;4:						(;2 0):
	fUNKCIQ WYPUKLA W INTERWALE x 2
	fUNKCIQ WOGNUTA W INTERWALE x 2					(;1 ;2) [ (0 +1):
						113

nANOSIM REZULXTATY NA \SKIZ.

sOEDINQQ OTDELXNYE \LEMENTY, STROIM GRAFIK FUNKCII.

rIS. 3.33.

2: y = ln (x2 + x + 1):

1) oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 +1):

2) aSIMPTOTY.

wERTIKALXNYH ASIMPTOT NET, T.K. FUNKCIQ NEPRERYWNA NA WSEJ ^I- SLOWOJ OSI.

nAHODIM PARAMETRY NAKLONNYH ASIMPTOT y = kx + b:

k = xlim f(x) = xlim ln(x2 + x + 1) = 1! =

2x +1

= lim

(ln(x2

+ x + 1))0

= lim

= 0:

(x)

(x2 + x + 1)

+ x + 1) =

b = lim [f(x)

;

kx] = lim f(x) = lim ln(x

x!1

)

NAKLONNOJ ASIMPTOTY NET .

|KSTREMUM.

2x + 1

= (ln(x2 + x + 1))0 =

+ x

+ 1

y0 = 0

x =

;

1=2 y0

x + x + 1 > 0:

PRI

6 1

TAK KAK WYRAVENIE 2

gRAFIK ZNAKOW y0

w TO^KE x = ;1=2{ "GLADKIJ" min.

zNA^ENIE FUNKCII W TO^KE: y(;1=2) = ln 34 ;0 3:

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE x 2 (;1=2 +1): fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x 2 (;1 ;1=2):

nANOSIM REZULXTATY ISSLEDOWANIQ NA \KSTREMUM NA \SKIZ.

114

tO^KI PEREGIBA.

2(x2 + x + 1) ; (2x + 1)2 =

1 ; 2x ; 2x2

y00

2x + 1

x2 + x + 1!

(x2 + x + 1)2

(x2

+ x + 1)2

= ;1 ; p

= ;1 + p

y00

= 0

PRI 1

;

2x2 = 0

)

y00

6 1

gRAFIK ZNAKOW y00

tO^KI x1

QWLQ@TSQ TO^KAMI PEREGIBA. zNA^ENIQ FUNKCII W TO^KAH PEREGIBA:
y(;1;p3 )	0 41	y(;1+p3)	0 39:
2		2
2		2					;1;p3 )		(;1+p3
fUNKCIQ WYPUKLA W INTERWALE x				2	(	;1	;1;p3 )	[	(;1+p3	+	1	):
fUNKCIQ WOGNUTA W INTERWALE x							2		2
							2		2
				2	(;1;p3 ;1+p3 ):
				2		2	2
						2	2

rIS. 3.34

nANOSIM REZULXTATY NA \SKIZ.

zAMETIM, ^TO GRAFIK FUNKCII PERESEKAET OSX OX PRI x = 0 T.K. y(0) = ln 1 = 0:

sOEDINQQ OTDELXNYE \LEMENTY, STROIM GRAFIK FUNKCII.

3: y = x2 px + 1:

oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII

D(y) : x 2 [;1 +1):

aSIMPTOTY.

a) wERTIKALXNYE.

nAHODIM PREDEL FUNKCII NA GRANICE OBLASTI

OPREDELENIQ

lim x2

px + 1 = 0: tAK KAK PREDEL SU]ESTWUET, TO

x!;1+0

WERTIKALXNYH ASIMPTOT NET.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

f(x)

px + 1 =

k = lim

lim

lim x

x + 1

x!1

x!+1

nAKLONNOJ ASIMPTOTY NET.

115

|KSTREMUM.

= 2xp

+ x2

x + 1

= x(5x + 4)

x + 1

2px + 1

= 0 PRI x1 = 0

x2 = ;4=5

y0 = 1 PRI x3

= ;1 2 D(y):

gRAFIK ZNAKOW y0

w TO^KE x1 =

;4=5{ "GLADKIJ" max,

W TO^KE x2 = 0 { "GLADKIJ" min.

|KSTREMALXNYE ZNA^ENIQ FUNKCII: y(;4=5) 0:3 y(0) = 0:

w TO^KE x = ;1 ; GRANI^NOJ TO^KE OBLASTI OPREDELENIQ, \KSTREMUMA NET, GRAFIK FUNKCII PODHODIT K TO^KE (;1 0) WERTIKALXNO.

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE x 2 (;1 ;4=5) [ (0 1): fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x 2 (;4=5 0):

tO^KI PEREGIBA.

y00

= 0

5x2 + 4x

10 =

(10x + 4)

x + 1 ; (5x

+ 4x)

2px + 1

2px + 1 A

(x + 1)

(10x + 4)2(x

+ 1)

;

(5x2 + 4x)

15x2 + 24x + 8

4q(x + 1)

x + 1 (x + 1)

x1 = ;12 ; p

y00 = 0

15x2 + 24x

+ 8 = 0

D(y):

)

x2 = ;12 15+ p24 ;0 47 2 D(y)

y00 = 1 PRI x3 = ;1 2 D(y):

gRAFIK ZNAKOW

y00

tO^KA

;0 47

QWLQETSQ TO^

KOJ PEREGIBA.

: y(x2)

0 16:

zNA^ENIQ FUNKCII W TO^KE PEREGIBA

w TO^KE x3 NA GRANICE OBLASTI OPREDELENIQ PEREGIBA NET.

fUNKCIQ WYPUKLA W INTERWALE x 2 (;1

;12

15+ p24):

fUNKCIQ WOGNUTA W INTERWALE x 2 (

;12

15+

+1):

116

5) oTMETIM, ^TO DANNAQ FUNKCIQ NE QWLQETSQ ^ETNOJ ILI NE^ETNOJ, NE QWLQETSQ PERIODI^NOJ. sOEDINQQ OTDELXNYE \LEMENTY, STROIM GRAFIK FUNKCII (rIS.3.35)

rIS. 3.35.

4: y = x2=3e;x2=3:

oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 +1):

aSIMPTOTY.

a) wERTIKALXNYE.

wERTIKALXNYH ASIMPTOT NET, TAK KAK FUNKCIQ

OPREDELENA NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY

y = kx + b:

k = lim

f(x)

= lim

x2=3e;x2=3

= lim

= 0:

x!1 x

x!1

x!1 x1=3ex

2=3

b = lim [f(x)

;

kx] = lim x2=3e;x2=3 = lim

= 0:

x!1

x!1 ex

fUNKCIQ IMEET GORIZONTALXNU@ ASIMPTOTU y = 0:

u^ITYWAQ, ^TO ISHODNAQ FUNKCIQ POLOVITELXNA DLQ WSEH ZNA^ENIJ x GRAFIK FUNKCII PRIBLIVAETSQ K OSI OX SWERHU.

3)	\|KSTREMUM.
y0	= 2x;1=3e;x2=3 + x2=3e;x2=3	2x	!	=	2e;x2=3	(1	; x2):
	3	; 3	!		3px
						3
y0	= 0 PRI x1 = ;1 x2 = 1	y0 = 1 PRI x3				= 0 2 D(y):
gRAFIK ZNAKOW y0		.

w TO^KAH x1 = ;1 x2 = 1 - "GLADKIJ" max, (TAK KAK PROIZWODNAQ W NIH RAWNA NUL@), W TO^KE x3 = 0 - "OSTRYJ" min (TAK KAK PROIZWODNAQ W \TOJ TO^KE BESKONE^NAQ).

zNA^ENIE FUNKCII W TO^KAH	: y( 1) = e;	1=3	y(0) = 0:

117

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE x 2 (;1 ;1) [ (0 1):

fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x 2 (;1 0) [ (1 +1): nANOSIM REZULXTATY ISSLEDOWANIQ NA \KSTREMUM NA \SKIZ.

4)tO^KI PEREGIBA.

y00

2e;x2=3(1

; x2)

0 =

e;x2

2x4

; 7x2

; 1:

PRI

y00

= 0

; 7x

; 1 = 0:

rE[AQ BIKWADRATNOE URAWNENIE I OTBRASYWAQ POSTORONNIE KORNI, PO-

LU^IM x1 2 1 9 2 D(y)	y00 = 1 PRI x3 = 0 2 D(y):
gRAFIK ZNAKOW y00
tO^KI x1 ;1 9 I x2 1 9	QWLQ@TSQ TO^KAMI PEREGIBA.
zNA^ENIQ FUNKCII W TO^KAH PEREGIBA		: y(x1 2) 0 2:

w TO^KE x3 = 0 PEREGIBA NET, TAK KAK NE IZMENILSQ ZNAK WTOROJ PROIZ- WODNOJ.

fUNKCIQ WYPUKLA W INTERWALE x 2 ( ;1 9 1 9):

5) fUNKCIQ WOGNUTA, W x 2 (;1 ;1 9) [ ( 1 9 , +1): x oTMETIM ^TO DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ^ETNOJ TAK KAK WHODIT W

OBA SOMNOVITELQ W ^ETNOJ STEPENI, PO\TOMU GRAFIK FUNKCII SIMMET- RI^EN OTNOSITELXNO OSI ORDINAT.

rIS. 3.36.

5: y = 3 ; x2 :

1) D(y): O^EWIDNO, ^TO FUNKCIQ TERPIT RAZRYW W TO^KAH x = ;p3 x = p3:

D(y) : x 2 (;1 ;p3) [ (;p3 p3) [ (p3 +1):

118

2) aSIMPTOTY. a) wERTIKALXNYE.

iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWOW. nAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY, DLQ ^E-

GO PEREPI[EM FUNKCI@ W WIDE y =

(

3 ; x)(

3 + x)

lim

;

3p3

= +

(p3 x)(p3 + x)

;

2p3 ( 0)

; x3

;

3p;3

lim

(p3

x)(p3 + x)

p3+0

2p3

(+0)

;x3

3p3

lim

= +

(p3

;

x)(p3 + x)

(+0)

2p3

p3 0

;

lim

3p3

(p3

;

x)(p3 + x)

(

;

2p3

p3+0

w TO^KAH x =

p3 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW, PO\TOMU PRQ-

MYE x = ;

x =

3 { WERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY

y = kx + b:

k = lim

f(x)

= lim

x!1 x

x!1 (3 ; x2)

x!1 ;x3

b= lim [f(x)

;

kx] = lim

+ x

= lim

+ 3x ; x

= 0:

;

uRAWNENIE NAKLONNOJ ASIMPTOTY y = ;x:

|KSTREMUM.

= 3x2(3 ; x2) ; x3(;2x)

= ;x2(x2 ; 9)

; x2

(3 ; x2)2

; x2)2

3 y0 =

PRI

= 0 x2 3 =

PRI

x =

D(y):

= 0

gRAFIK ZNAKOW y0

w TO^KE x1 = 0;

\KSTREMUMA NET,

W TO^KE x2 = ;3; "GLADKIJ" min, W

TO^KE x3 = 3;

"GLADKIJ" max.

y(;3) = 4 5

y(3) = ;4 5:

zNA^ENIQ FUNKCII W TO^KAH: y(0) = 0

tO^KI PEREGIBA.

y00

;x2(x2 ;

0 = 6x(x2 + 9):

)

PRI(3 ; x

;PRIx )

y00

y00 =

x =

D(y):

= 0

x = 0

119

gRAFIK ZNAKOW y00

TO^KA x = 0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA. zNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE y(0) = 0:

tO^KI x = p3 NE QWLQ@TSQ TO^KAMI PEREGIBA, HOTQ S FORMALXNOJ STORONY, WTORAQ PROIZWODNAQ MENQET W NIH SWOJ ZNAK. tO^KI RAZRYWA FUNKCII NE MOGUT WYSTUPATX NI W ROLI \KSTREMALXNYH TO^EK, NI W ROLI TO^EK PEREGIBA.

5) oTMETIM, ^TO DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ NE^ETNOJ, I EE GRAFIK SIMMETRI^EN OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT.

rIS. 3.37.

ln x

6: y = px :

1)oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (0 +1):

2)aSIMPTOTY.

a) wERTIKALXNYE. iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA GRANICE OBLAS- TI OPREDELENIQ. nAJDEM ODNOSTORONNIJ PREDEL

lim

= ln(+0) =

;1 =

x!+0 px

(+0)

pRQMAQ x = 0 { WERTIKALXNAQ ASIMPTOTA.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

k =

lim

f(x) =

lim

ln x

lim

1=x

lim

= 0:

x!+1

x!+1 xpx

x!+1

3x px

b =

lim [f(x)

;

kx] =

lim

= ln

= 1

lim

1=x

= 0:

x!+1

x!+1 1=(2px)

fUNKCIQ IMEET PRAWU@ GORIZONTALXNU@ ASIMPTOTU y = 0.

120

|KSTREMUM.

1 p

0 =

; ln x

2px

= 2 ; ln x:

y0 =

0 px

(px)2

2xpx

= 0

y0 =

x = 0

D(y):

ln x = 2 x = e

PRI

gRAFIK ZNAKOW y0

w TO^KE x = e2 { "GLADKIJ" max.

zNA^ENIE FUNKCII W TO^KE max: y(e2) = 2e 0 74:

;

ln x

(3 ln x

3 ln x

tO^KI PEREGIBA. y00

;

8=3

4x3

4x5=2

y00

= 0

0 2xpx 1

PRI

3 ln x = 8 =) x = e :

y00

x = 0

D(y):

PRI

gRAFIK ZNAKOW y00

x = e8=3 { TO^KA PEREGIBA.

zNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE y(e8=3) =

3e4=3

sTROIM GRAFIK FUNKCII

rIS. 3.38.

1
7: y =		:
	ex ; 1

1)fUNKCIQ OPREDELENA W INTERWALE: x 2 (;1 0) [ (0 +1):

2)aSIMPTOTY.

a)wERTIKALXNYE. iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWA FUNKCII W TO^KE

x = 0.

121

nAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY

lim

;

= lim

1 =

x! 0 ex ; 1

x! 0 x

w TO^KE x = 0

FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW, PO\TOMU x = 0 {

WERTIKALXNAQ ASIMPTOTA.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

k =

lim

f(x) =

lim

= 0:

x! 1

x! 1 x(ex ; 1)

= 8

lim [f(x)

;

kx] =

lim

0 x ! +1

e 1;1

x! 1

x! 1 e

;1 x

! ;1:

fUNKCIQ IMEET PRAWU@ GORIZONTALXNU@ ASIMPTOTU

y = 0

I LEWU@ GO-

RIZONTALXNU@

y = ;1:

|KSTREMUM

. y0 = ex ; 1! = (ex;; 1)2 < 0:

pROIZWODNAQ OTRICATELXNA DLQ WSEH ZNA^ENIJ x IZ OBLASTI OPREDELE- NIQ, PO\TOMU DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ UBYWA@]EJ WS@DU. |KSTREMUMA FUNKCIQ NE IMEET.

4) tO^KI PEREGIBA. y00

y00 6= 0NI PRI KAKIH x gRAFIK ZNAKOW y00

= 0

ex(ex + 1)

; 1)

y00

x = 0

D(y):

PRI

w TO^KE RAZRYWA x = 0 WTORAQ PROIZWODNAQ MENQET SWOJ ZNAK I SLE- WA OT TO^KI x = 0 KRIWAQ WYPUKLAQ, A SPRAWA WOGNUTAQ. nO SAMA TO^KA x = 0 NE QWLQETSQ, PRI \TOM, TO^KOJ PEREGIBA.

5) gRAFIK FUNKCII POKAZAN NA RISUNKE.

rIS. 3.39.

122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4_terehina-li-fik

#
30.05.2015516.46 Кб13main.pdf
#
30.05.2015444.12 Кб13main_uch_posobie.pdf
#
30.05.20152.22 Mб14posobie.PDF
#
30.05.2015700.17 Кб14programma.pdf