Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4_terehina-li-fik / posobie

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

wELI^INA OTREZKA as RAWNA PRIRA]ENI@, KOTOROE POLU^ILA ORDINATA

KASATELXNOJ

rIS. 2.4.a

rIS. 2.4.b

oTREZOK sw I ESTX GEOMETRI^ESKIJ ANALOG TOJ BESKONE^NO MALOJ RAZ- NOSTI MEVDU PRIRA]ENIEM FUNKCII I EE DIFFERENCIALOM.

zAMETIM, ^TO NE OBQZATELXNO, ^TOBY PRIRA]ENIE FUNKCII BYLO BOLX[E DIFFERENCIALA. nA RISUNKE 2.4.b POKAZANA SITUACIQ, KOGDA PRIRA]E- NIE ORDINATY KASATELXNOJ BOLX[E PRIRA]ENIQ FUNKCII.

w F I Z I ^ E S K O M S M Y S L E DIFFERENCIAL FUNKCII RAWEN TOMU PRIRA]ENI@, KOTOROE POLU^ILA BY FUNKCIQ, ESLI BY NA U^ASTKE OT x0 DO x0 + x ONA IZMENQLASX BY S POSTOQNNOJ SKOROSTX@, RAWNOJ EE SKOROS-

TI W TO^KE x0: pROIZWODNAQ FUNKCII W \TOJ TO^KE y0(x0) ESTX SKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII W DANNOJ TO^KE.

dLQ NAHOVDENIQ DIFFERENCIALA FUNKCII NEOBHODIMO NAJTI PROIZ- WODNU@ \TOJ FUNKCII I UMNOVITX NA DIFFERENCIAL dx ILI PRIRA]E- NIE x NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. nAPRIMER,

y = x2	dy = d(x2) = (x2)0	dx = 2x dx
y = sin x	dy = d(sin x) = (sin x)0 dx = cos x dx
y = ex	dy = d(ex) = (ex)0	dx = ex dx:

nA OSNOWE TABLICY PROIZWODNYH MOVNO SOSTAWITX TABLICU DIFFEREN- CIALOW WSEH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. pRAWILA NAHOVDENIQ DIFFERENCI- ALOW TAKVE LEGKO POLU^A@TSQ IZ SOOTWETSTWU@]IH PRAWIL NAHOVDENIQ PROIZWODNYH. nAPRIMER,

1: d(C) = (C)0

dx = 0

2: d(u v) = (u v)0

dx = u0 dx + v0 dx = du dv

dx= du v+u dv:

3: d(u v) = (u v)0 dx= (u0

v+u v0) dx= u0 dx v+u v0

4: d u

v ; u

! =

5: d(C u) = C du

6: d

nAJTI DIFFERENCIALY FUNKCIJ.

1: y = ln cos px:

dy = y0

= (ln cos px)0

dx =

(

sin px)

2=3

dx:

cos p3 x

;

2: y = p

arcsin3 5x:

dx = (p

arcsin3 5x)0

dy =

= 0

arcsin3 5x + p

3 arcsin2 5x

dx:

q1 ; (5x)2

@2px

2.1.11. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) DIFFERENCIRUEMA W NEKOTOROJ TO^KE (ILI PROMEVUTKE). tOGDA yx0 = fx0 (x) ESTX PERWAQ PROIZWODNAQ ILI PRO-

IZWODNAQ PERWOGO PORQDKA \TOJ FUNKCII. |TA PROIZWODNAQ QWLQETSQ

FUNKCIEJ TOJ VE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ I, ESLI \TA FUNKCIQ DIF- FERENCIRUEMA, TO y00 = (yx0 )0x { WTORAQ PROIZWODNAQ ILI PROIZWODNAQ

WTOROGO PORQDKA DANNOJ FUNKCII. i T.D.

pROIZWODNAQ WTOROGO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWODNOJ PERWOGO PORQDKA. pROIZWODNAQ TRETXEGO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWOD- NOJ WTOROGO PORQDKA. pROIZWODNAQ n { GO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWODNOJ (n ; 1) { GO PORQDKA

y(n) = y(n ; 1) 0 :

fUNKCIQ NAZYWAETSQ n RAZ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE (ILI PROMEVUT- KE), ESLI W \TOJ TO^KE (ILI PROMEVUTKE) SU]ESTWU@T WSE EE PROIZWOD- NYE DO n { GO PORQDKA WKL@^ITELXNO.

pOWTORNOE DIFFERENCIROWANIE QWNYH FUNKCIJ

nAJTI PROIZWODNYE UKAZANNOGO PORQDKA

1: y = ln (3x2 + 4)	y00;?
y0 =	1	(3x2 + 4)0 =	6x

	3x2 + 4		3x2 + 4

y00 =

= 6 (3x2 + 4)

;

6x (6x)

;

18x2

3x2 + 4!

(3x2 + 4)2

oTMETIM, ^TO U DANNOJ FUNKCII OBLASTX OPREDELENIQ

D : x 2

(;1 +1), TAK KAK ARGUMENT LOGARIFMA ESTX WELI^INA POLO-

VITELXNAQ DLQ WSEH x: pERWAQ I WTORAQ PROIZWODNYE SU]ESTWU@T, TAK

KAK WYRAVENIE (3x2 + 4) 6= 0NI PRI KAKIH ZNA^ENIQH x:

y000;?

2: y = q(x ; 2)

y0 = (x;2)7=3 0 =

(x;2)4=3 y00

(x;2)1=3

= 3

(x;2)4=3!

(x ; 2)1=3 0

y000 = 9

(x ; 2);2=3

= 27

;

2)2

oTMETIM, ^TO U DANNOJ FUNKCII OBLASTX OPREDELENIQ

D : x 2

(;1 +1) PROIZWODNYE PERWOGO I WTOROGO PORQDKA TAKVE SU-

]ESTWU@T DLQ WSEH ZNA^ENIJ x: pROIZWODNAQ TRETXEGO PORQDKA W TO^KE

x = 2 OBRA]AETSQ W

1 T.E. MOVNO SKAZATX, ^TO DANNAQ FUKCIQ W TO^KE

x = 2 DIFFERENCIRUEMA TOLXKO DWAVDY, A PROIZWODNYE BOLEE WYSOKIH

PORQDKOW W TO^KE x = 2 NE SU]ESTWU@T (RAWNY BESKONE^NOSTI). wO WSEH

OSTALXNYH TO^KAH FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA BESKONE^NOE ^ISLO RAZ.

;?3x

3: y = x2

e;3x

y00

y0 = x

2 0 = 23xx e;

+ x

e; 3x

(;3) = (22 x ; 33xx

)

y00 = (2x

;

3x )

0 = (2

;

6x)

+(2x

;

)

( 3)=

)

;

= (2

; 6x

;

6x + 9x

= (9x

; 12x + 2)

dANNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA SKOLXKO UGODNO RAZ.

pOWTORNOE DIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI

8 x= x(t) pUSTX FUNKCIQ ZADANA PARAMETRI^ESKI < y = y(t)

pROIZWODNAQ PERWOGO PORQDKA NAHODITSQ PO FORMULE

t1 t t2:

yx0 = yt00 :

dLQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA PRIMENQEM \TU VE FOR- MULU, TOLXKO NA MESTO y W ^ISLITELE STAWITSQ POLU^ENNAQ PROIZWODNAQ

PERWOGO PORQDKA FUNK-

PERWOGO PORQDKA, T.E. yx0 , KOTORAQ DIFFERENCIRUETSQ PO t I DELITSQ NA

PROIZWODNU@ x PO t:

y00 = (yx0 )0t :

xx x0t

eSLI PONADOBITSQ NAJTI PROIZWODNU@ TRETXEGO PORQDKA, TO W ^ISLI- TELE FORMULY WMESTO PERWOJ PROIZWODNOJ PO x PODSTAWLQEM WTORU@ I NAHODIM OT NEE PROIZWODNU@ PO t I OPQTX DELIM NA PROIZWODNU@ x PO

t:aNALOGI^NO DLQ PROIZWODNYH x PO y

x0 =

x00

(x0 )0

y t

yt0

= t3 + t2 + 6t

nAJTI y00

= 5t

+ 3t + 2

< y

nAHODIM SNA^ALA PERWU@ PROIZWODNU@

(5t2 + 3t + 2)0

10t + 3

t =

xt0

(t3 + t2 + 6t)t0

3t2 + 2t + 6

(y0

nAHODIM WTORU@ PROIZWODNU@

y00

xt0

10(3t2

10t + 3

+ 2t + 6)

;

(10t + 3)(6t + 2)

(3t

+ 2t + 6!t

+ 2t + 6)

3t2 + 2t + 6

(t3 + t2

+ 6t)t0

= ;30t2

;

18t + 54:

(3t2 + 2t + 6)3

x = cos3 t

nAJTI x00

< y = sin t:

(cos3 t)0

3 cos2 t

(

;

sin t)

cos t

ctg t:

;sin t

;

yt0

(sin3 t)t0

3 sin2 t

cos t

(x0

(

;

ctg

x00

sin t

3 sin4 t cos t

yt0

(sin3 t)0

3 sin2 t

cos t

dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

rANNEE MY WWELI PONQTIE DIFFERENCIALA dy

CII, WYRAVENIE KOTOROGO TAKVE QWLQETSQ FUNKCIEJ. dIFFERENCIALOM WTOROGO PORQDKA NAZYWAETSQ DIFFERENCIAL OT DIFFERENCIALA PERWO- GO PORQDKA. oBOZNA^AETSQ d2y (^ITAETSQ "D\ DWA IGREK"). fORMULA

WY^ISLENIQ PERWOGO DIFFERENCIALA

dy = yx0 dx:

pOLU^IM FORMULU WY^ISLENIQ WTOROGO DIFFERENCIALA, S^ITAQ dx HOTQ I PROIZWOLXNOJ, NO NE ZAWISQ]EJ OT x WELI^INOJ

d2y = d(dy) = (dy)0		dx = (y0	dx)0		dx = y00	dx		dx = y00	dx2:
		x			xx			xx

iTAK, OKON^ATELXNO POLU^AEM FORMULU WY^ISLENIQ DIFFERENCIALA WTO- ROGO PORQDKA

d2y = y00 dx2:

tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY NAJTI DIFFERENCIAL WTOROGO PORQDKA, NUVNO NAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ FUNKCII I UMNOVITX EE NA dx2: aNALOGI^NO MOVNO OPREDELITX DIFFERENCIAL L@BOGO PORQDKA

d3y = y000 dx3 ::: dny = d(d(n;1)y) = y(n) dxn:

z A M E ^ A N I E. iZ FORMUL DLQ DIFFERENCIALOW POLU^A@TSQ WYRA- VENIQ DLQ PROIZWODNYH W WIDE

dy = y0

)

= dy :

d2y = y00

dx2

)

y00

d2y

dx2

dny

dny = y(n) dxn ) y(n) = dxn

d2y

dny

tAKIM OBRAZOM, WYRAVENIQ dx

dx2 ::: dxn QWLQ@TSQ E]E ODNIM SPO-

SOBOM OBOZNA^ENIQ PROIZWODNYH 1-GO, 2-GO,..., n - GO PORQDKOW.

pRIMERY.

nAJTI d2y SLEDU@]IH FUNKCIJ:

1: y = ln x:

dy = y0

dx = (ln x)0 dx = x1 dx = dxx

dx2

d2y = y00

dx2

dx2 = ;

dx2

= ; x2 :

2: y = sin2 x:

dx = sin 2x dx:

dy = y0

dx = (sin2 x)0dx

= 2 sin x cos x

d2y = y00

dx2 = (sin 2x)0

dx2 = 2 cos 2x dx2:

3: y = 4;x2 :	y0 = 4;x2 0 = 4;x2 ln 4 (;2x)
y00 = ;2 ln 4 x 4;x2 0 = ;2 ln 4 4;x2 +x 4;x2 ln 4 (;2x) :

d2y = y00 dx2 = 2 4;x2 ln 4 2x2 ln 4 ; 1 dx2:

2.1.12. zADA^I

zADA^A 1. pOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = x e;x2=2: UDOWLETWORQET URAWNENI@: x y0 = (1 ; x2) y:

A) nAJDEM PROIZWODNU@ DANNOJ FUNKCII

y0 = x e;x2=2 0 = (x)0 e;x2=2 + x e;x2=2 0 = = e;x2=2 + x e;x2=2 (;x) = e;x2=2 (1 ; x2):

b) pODSTAWIM WYRAVENIQ DLQ y I y0 W URAWNENIE

xe;x2=2 (1 ; x2) = (1 ; x2) x e;x2=2 :

c)rASKROEM SKOBKI I POLU^IM TOVDESTWO

x(1 ; x2) e;x2=2 x (1 ; x2) e;x2=2:

zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = cos 2x + 3 sin 2x

UDOWLETWORQET URAWNENI@: y00 + 4y = 0:

A) nAJDEM PROIZWODNYE DANNOJ FUNKCII

= (cos 2x + 3 sin 2x)0 = ;2 sin 2x + 6 cos 2x

y00

= ;4 cos 2x ; 12 sin 2x:

b) pODSTAWIM WYRAVENIQ DLQ y I y00 W URAWNENIE

(;4 cos 2x

; 12 sin 2x) + 4(cos 2x + 3 sin 2x) = 0:

c) rASKROEM SKOBKI I POLU^IM TOVDESTWO 0 0:

zADA^A 3. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ

FUNKCII

y = px2 + 3 W TO^KE

x0 = 1:

a) nAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII

(x2 + 3)0 =

2x =

+ 3

b) wY^ISLQEM ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PRI x = 1

y0	1		1			1
	= p		= p		=	2	:
		12 + 3		4

zADA^A 4. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII y = (x ; 1)px + 1 W TO^KE x0 = ;1:

nEOBHODIMO IMETX WWIDU, ^TO DANNAQ FUNKCIQ OPREDELENA TOLXKO DLQ ZNA^ENIJ x ;1:

a) nAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII

y0 = (x ; 1)0px + 1 + (x ; 1)(px + 1)0 = px + 1 + (x ; 1)

x + 1

+ (x

x + 1

2(x + 1) + (x

3x + 1

;

x + 1

b) wY^ISLQEM ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PRI x = ;1

= 3 (;1) + 1 =

;2 =

2p;1 + 1

w Y W O D: W TO^KE x = ;1

FUNKCIQ NEDIFFERENCIRUEMA.

zADA^A 5. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII

y = 8 x = a(t

; sin t)

W TO^KE t0 = =2:

< y

= a(1

; cos t)

fUNKCIQ ZADANA PARAMETRI^ESKI, NAHODIM EE PROIZWODNU@ (a = const).

y0	= yt0		= a(1 ; cos t)0 =	sin t	:

x		xt0	a(t ; sin t)0	1 ; cos t

pROIZWODNAQ ZAWISIT OT t PODSTAWLQEM W EE WYRAVENIE

ZNA^ENIE t0 = =2:
y0	=	sin( =2)	=	1	= 1:	iTAK,	y0 ( =2) = 1:


x		1 ; cos( =2)		1 ; 0			x
		1 ; cos( =2)		1 ; 0

gLAWA 3. priloveniq proizwodnoj

3.1. pRAWILO lOPITALQ

pROIZWODNYE MOVNO ISPOLXZOWATX PRI RASKRYTII NEOPREDELENNOSTEJ
WIDA	0	! I	1! : rASKRYTIE TAKIH NEOPREDELENNOSTEJ S PRIMENENIEM
	0		1

TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN, WYDELENIQ GLAW- NYH ^LENOW BESKONE^NO BOLX[IH WELI^IN I DRUGIH PRIEMOW UVE RAS-

SMATRIWALOSX NAMI. nO W RQDE SLU^AEW PRI WY^ISLENII PREDELOW, SODER- VA]IH \TI NEOPREDELENNOSTI, MOVET \FFEKTIWNO PRIMENQTXSQ PRAWILO lOPITALQ, SUTX KOTOROGO KRATKO MOVNO SFORMULIROWATX:

p R A W I L O l O P I T A L Q. pREDEL OTNO[ENIQ DWUH BESKONE^NO MALYH ILI DWUH BESKONE^NO BOLX[IH FUNKCIJ RAWEN PREDELU OTNO[ENIQ PROIZWODNYH \TIH FUNKCIJ, ESLI ON SU]ESTWUET

lim f(x)

x!x0 g(x)

= lim f0(x)

x!x0 g0(x)

pRI ISPOLXZOWANII PRAWILA lOPITALQ SLEDUET OBRATITX WNIMANIE NA SLEDU@]EE:

1.pERED TEM, KAK PRIMENITX PRAWILO lOPITALQ NEOBHODIMO TWERDO UBEDITXSQ W NALI^II NEOPREDELENNOSTEJ UKAZANNYH WIDOW.

2.pRAWILO GOWORIT O TOM, ^TO NUVNO DIFFERENCIROWATX NE WS@ DROBX, A OTDELXNO ^ISLITELX I ZNAMENATELX.

3.k PRAWILU lOPITALQ IMEET SMYSL OBRA]ATXSQ W TEH SLU^AQH, KOG- DA PROIZWODNYE ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ NAHODQTSQ NE SLI[KOM SLOV- NO I NE PRIWODQT K GROMOZDKIM WYRAVENIQM.

4.eSLI POSLE ODNOKRATNOGO PRIMENENIQ PRAWILA lOPITALQ, NEOPRE- DELENNOSTX SOHRANILASX, TO MOVNO PRIMENQTX EGO POWTORNO DO TEH POR, POKA NEOPREDELENNOSTX NE IS^EZNET, NA KAVDOM \TAPE PROWODQ UPRO]E- NIE WYRAVENIJ. rASSMOTRIM PRIMERY.

1: lim x3 ;

2x + 1

= lim

(x3 ; 2x + 1)0 = lim

3x2

;

2 =

;

(x3

;

3x2

;

2: lim ctg (x ;

;

2 = t

= lim ctg t

ln(x

;

ln t

(ctg t)0

= lim

= lim sin2 t

= lim

sin t

= lim

(ln t)0

;sin2 t!

;t2

t!0

= lim

;

t!0

;t !

; p

(x2

; p

lim

= lim

4)0

+ 15

x!1 px2

x!1

(px2 + 15

;

2x ;

;

3=2 = 6:

= lim

1=4

x2 + 15

lim x3

;

6x + 6 sin x

= lim (x3 ;

6x + 6 sin x)0 =

x!0

(x5)0

= lim

3x2 ;

6 + 6 cos x =

= lim (3x2 ; 6 + 6 cos x)0

x!0

5x4

x!0

(5x4)0

= lim

6x ; 6 sin x

= lim (6x ; 6 sin x)0

= lim

6 ;

6 cos x

x!0

20x3

x!0

(20x3)0

x!0

60x2

= lim

(6 ;

6 cos x)0

= lim

6 sin x = lim

x!0

(60x2)0

x!0

120x

x!0

120x

pRI RASKRYTII NEOPREDELENNOSTEJ SLEDUET SO^ETATX PRIMENENIE PRA- WILA lOPITALQ S ISPOLXZOWANIEM TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN, ^TOBY UPROSTITX ISHODNOE WYRAVENIE. nAPRIMER, PRI RE[ENII PREDELOW, WKL@^A@]IH MNOVITELI WIDA tg5 x sin6 2x

ctg x ISPOLXZOWANIE PRAWILO lOPITALQ ZNA^ITELXNO UPROSTITSQ, ESLI PREDWARITELXNO ZAMENITX IH NA \KWIWALENTNYE

PRI x ! 0 : tg5 x x5 sin6 2x (2x)6 ctg x =	cos x	1
PRI x ! 0 : tg5 x x5 sin6 2x (2x)6 ctg x =	sin x	x	:

pRIMENENIE PRAWILA lOPITALQ PRI RASKRYTII NEOPREDELENNOSTEJ DRU- GIH WIDOW TREBUET PREDWARITELXNOGO PREOBRAZOWANIQ ISHODNOGO WYRA- VENIQ. w NEOPREDELENNOSTQH WIDA (1 ; 1) RAZNOSTX DWUH WYRAVENIJ NUVNO ZAPISATX W WIDE DROBI (^A]E WSEGO DOSTATO^NO PRIWESTI WSE WY- RAVENIE K OB]EMU ZNAMENATEL@)

lim

= (

) = lim

ln x ; x + 1

; ln x

1 ; 1

;

ln x

= lim

(x ln x

; x + 1)0

= lim

ln x + x

; 1 = lim

ln x

x!1

((x ;

ln x)0

x!1

ln x +

(x ; 1)

x!1 x ln x + x ; 1

ln x)0

ln x + x

0 + 1

= lim

(x ln x + x ; 1)0

x!1

1 ln x + x

+ 1

0 + 1 + 1

w NEOPREDELENNOSTQH WIDA

1) NEOBHODIMO PROIZWEDENIE TAKVE ZA-

PISATX W WIDE DROBI, PEREWEDQ ODNU IZ FUNKCIJ-SOMNOVITELEJ W ZNAME-

NATELX. nAPRIMER

lim ln x

ln(x

;

1) = (0

) = lim ln(x

; 1)

(1= ln x)

1))0 = lim

(ln(x ;

= lim

x ;

= lim

x ;

(1= ln x)0

;ln2 x

; ln2 x

;2 ln x

= lim

= 0:

x!1

(x ; 1)

x!1

(ln x)0

lim

ln x = (0

) =

lim

ln x

lim

(1=x2)

(1=x2)0

! 1=x

lim

= 0.

(;2=x3)

(;2x)

x!+0

z A M E ^ A N I E.

s POMO]X@ PRAWILA lOPITALQ MOVNO POKAZATX,

^TO

lim

ln x= 0

DLQ L@BOGO k > 0

x!+0

lim

e;x =

lim

= 0

DLQ L@BOGO n:

x!+1

x!+1 ex

zNANIE \TIH SOOTNO[ENIJ W RQDE SLU^AEW ZNA^ITELXNO UPRO]AET RAS- KRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ, oSOBENNO WIDA (11) 00 10 :

3.2. iSSLEDOWANIE I POSTROENIE GRAFIKOW FUNKCIJ

iSSLEDOWANIE FUNKCII QWLQETSQ ODNIM IZ WAVNEJ[IH PRILOVENIJ TEORII PREDELOW, NEPRERYWNOSTI FUNKCII I PROIZWODNYH. pRI ANALIZE FUNKCII I POSTROENII EE GRAFIKA ^A]E WSEGO OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^- NO ZNATX TOLXKO TAKIE PROSTEJ[IE SWOJSTWA FUNKCIJ, KAK MONOTON-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4_terehina-li-fik

#
30.05.2015516.46 Кб13main.pdf
#
30.05.2015444.12 Кб13main_uch_posobie.pdf
#
30.05.20152.22 Mб14posobie.PDF
#
30.05.2015700.17 Кб14programma.pdf