Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4_terehina-li-fik / posobie

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

\TOJ TO^KE \KSTREMUMA NET.

iNTERWAL WOZRASTANIQ FUNKCII: x 2 (0 +1): iNTERWAL UBYWANIQ FUNKCII:

rIS. 3.22.

rIS. 3.23.

5) wY^ISLQEM ZNA^ENIE FUNKCII WO WSEH KRITI^ESKIH TO^KAH:

y(	;	3) =	;27	;	1 4 y(0) = 0
			e3

I NANOSIM \TI TO^KI NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX. pOSKOLXKU PROIZ-

WODNAQ W KRITI^ESKIH TO^KAH y0 = 0 KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII PROHODIT GORIZONTALXNO I W TO^KE x = ;3 \KSTREMUM "GLADKIJ."

3: y = 3(x ; 1)3

px2:

1) D(y) : x

2 (;1 +1):

2) nAHODIM PERWU@ PROIZWODNU@

3 2

1=3

3(x ; 1)

= 3

3(x ; 1)

x + (x ; 1) 3x; ! =

9x + 2x 2

9px2px + 2(x

;

; =

= 3(x

1)2

= 3(x

1)2

;

3px

;

3px

(11x ;

2)(x ; 1)

nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

= 0

)

(11x ; 2)(x

; 1)2 = 0

) x1 = 2=11 x2 = 1:

)

x3 = 0:

3) nANOSIM KRITI^ESKIE TO^KI NA ^ISLOWU@ PRQMU@ I OPREDELQEM ZNAK

y0(x) W OKRESTNOSTQH \TIH TO^EK (RIS.3.24).

: y0(1=11) =

x = 0 :

LEWA

: y0(;1) =

PRAWA

x = 2=11 :

SLEWA

: y0(1=11) =

SPRAWA

: y0(3=11) =

x = 1 :

: y0(3=11) =

: y0(+2) = :

SLEWA

SPRAWA

4) wYWODY:

pRI PEREHODE ^EREZ TO^KU x = 0 PROIZWODNAQ SMENILA

103

ZNAK S NA , PO\TOMU W TO^KE x = 0	; max:
pRI PEREHODE ^EREZ TO^KU x = 2=11	PROIZWODNAQ SMENILA ZNAK S

NA , PO\TOMU W TO^KE x = 2=11 ; min:

w OKRESTNOSTI TO^KI x = 1 ZNAK PROIZWODNOJ NE IZMENILSQ, ZNA^IT W \TOJ TO^KE \KSTREMUMA NET.

rIS. 3.24. rIS. 3.25.

5) wY^ISLQEM ZNA^ENIE FUNKCII WO WSEH KRITI^ESKIH TO^KAH:

y(0) = 0 y(2=11) ;0:5 y(1) = 0 I NANOSIM \TI TO^KI NA KO- ORDINATNU@ PLOSKOSTX. pOSKOLXKU PROIZWODNAQ W KRITI^ESKIH TO^KAH y0(2=11) = y0(1) = 0 KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII PROHODIT GORI- ZONTALXNO I W TO^KE x = 2=11 \KSTREMUM "GLADKIJ." w TO^KE x = 0 PROIZWODNAQ y0 = 1 I MAKSIMUM IMEET PIKOOBRAZNYJ HARAKTER.

4: y = 2x ; arcsin x:

D(y) : x 2 [;1 +1]:

nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

= 2p

= (2x

;

arcsin x)0

= 2

1 ; x2

; 1:

; p1

;

= 0 )

2p1 ; x2

; 1 = 0

) x2

= 3=4 x1 2 =

2 :

y0 = 1 )

x3 = ;1 x4 = 1:

zAMETIM, ^TO TO^KI x3 4 NE QWLQ@TSQ KRITI^ESKIMI, T.K. \TO GRANI^-

NYE TO^KI OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII.

3). nANOSIM KRITI^ESKIE TO^KI x1 2 =

NA ^ISLOWU@ PRQMU@, S

U^ETOM OBLASTI OPREDELENIQ, I OPREDELQEM ZNAK y0(x) W OKRESTNOSTQH

\TIH TO^EK. (rIS.3.26)

4) wYWODY: W TO^KE x = p

;max W TO^KE x = ;p

=2;min: pRI-

^EM \TI \KSTREMUMY "GLADKIE".

tAK KAK NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ PROIZWODNAQ y0( 1) = 1

104

TO GRAFIK FUNKCII PODHODIT K KONCEWYM TO^KAM WERTIKALXNO.

fUNKCIQ WOZRASTAET DLQ: x 2 (;p3 p3 ):

2p3 2 p3

fUNKCIQ UBYWAET DLQ: x 2 [;1 ; 2 ) [ ( 2 1]:

5). wY^ISLQEM ZNA^ENIE FUNKCII WO WSEH KRITI^ESKIH TO^KAH:
y( p3=2) 0 68 y( 1)	0 43:

rIS. 3.26

rIS. 3.27

5: y = x ; x3 :

D(y) : x 2 (;1 0) [ (0 +1):

. y0 = ;

nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

y0 = 0 )

; x2) = 0

) x1 2 = 1:

y0 =

1 )

= 0

)

x3 = 0

D(y):

gRAFIK ZNAKOW PROIZWODNOJ.

wYWODY:

W TO^KE x1 = 1

; max W TO^-

KE x2 = ;1

; min: pRI^EM OBA \KSTREMU-

GLADKIE

TAK KAK

y0( 1) = 0:

w TO^KE

x3 = 0 \KSTREMUMA NET, \TO TO^KA RAZRYWA.

fUNKCIQ

WOZRASTAET

W INTERWALE

(;1 0) [ (0

1):

fUNKCIQ

UBYWAET

INTERWALE

(;1 ;1)

[

(1 +1):

W TO^KAH y(1)

zNA^ENIQ

FUNKCII

y(;1) = ;2:

3(1 ; x2) = x4 :

rIS. 3.28.

105

6: y = (x + 2)2 :

1)D(y) : x 2 (;1 ;2) [ (;2 +1):

2)nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

y0 = 3x2(x + 2)2 ; x3

2(x + 2)

= x2(x + 6):

(x + 2)4

(x + 2)3

y0 = 0 ) x2 (x + 6) = 0 ) x1 = 0 x2 = ;6:

y0 =

1 )

(x + 2)3 = 0

)

x3 =

;

D(y):

gRAFIK ZNAKOW PROIZWODNOJ

wYWODY:

W TO^KE x2 = ;6 -. "GLADKIJ" max,

W TO^KE x1

= 0 \K-

STREMUMA NET. w TO^KE x3 = ;2 \KSTREMUMA NET,

T.K. \TO TO^KA RAZRYWA.

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE x

(;1 ;6)

[ (;2 +1).

fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x

(;6 ;2):

rIS. 3.29.

zNA^ENIQ FUNKCII W KRITI^ESKIH

TO^KAH y(;6) = ;27=4

y(0) = 0:

7: y = x ln x + x:

D(y) : x

2 (0 +1):

nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

y0 = (x ln x + x)0 = 1

ln x + x

x1 + 1 = ln x + 2:

y0 = 0 ) ln x + 2 = 0 ) ln x = ;2 ) x1 = e;2:

y0 =

1 )

ln x =

1 )

= 0

D(y):

gRAFIK ZNAKOW PROIZWODNOJ

106

4)	wYWODY: W TO^KE x1 = e;2 - "GLADKIJ"
min, W TO^KE x2 = 0 \KSTREMUMA NET.			x 2
fUNKCIQ WOZRASTAET		W INTERWALE
(1=e2 +1).			1=e2):
fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE x 2 (0
5)	zNA^ENIE FUNKCII W KRITI^ESKOJ TO^-			rIS. 3.30.
KE	y(e;2) ;0 135:

w GRANI^NOJ TO^KE OBLASTI OPREDELENIQ x = 0 PREDEL FUNKCII MY WY-
^ISLQLI, KOGDA RASSMATRIWALI WOPROS OB ASIMPTOTAH
lim (x ln x + x) = 0.		pREDEL PRIZWODNOJ W \TOJ TO^KE RAWEN BESKONE^-
x!+0
NOSTI. pOWEDENIE FUNKCII W OKRESTNOSTQH HARAKTERNYH TO^EK POKAZANO
NA RISUNKE 3.30.
	8: y = ln(x2 ; 1) + 2x:

1)D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (+1 +1):

2)nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI.

= (ln(x2

;

1) + 2x)0

+ 2 = 2x2 + 2x ; 2:

x2 ; 1

1+p

D(y)

= ;

= 0

)

2x2 + 2x

;

2 = 0

)

1 2p

= ; ;

1 62

D(y)

< x2

;

1 )

;

1 = 0

)

x1 2 =

D(>y):

tAKIM OBRAZOM, W DANNOM SLU^AE WSEGO ODNA TO^KA, W KOTOROJ WOZMOVEN

\KSTREMUM x2

;1 62. tEM NE MENEE, NA GRAFIK ZNAKOW PROIZWODNOJ

NANOSIM I GRANI^NYE TO^KI OBLASTI OPREDELENIQ.

gRAFIK ZNAKOW PROIZWODNOJ

wYWODY:

W TO^KE x2 ;1 62;

"GLADKIJ" max.

fUNKCIQ WOZRASTAET W INTERWALE

x 2 (;1

;1 62) [

+1):

fUNKCIQ UBYWAET W INTERWALE

x 2 ( ;1 62

;1):

zNA^ENIE FUNKCII

rIS. 3.31.

W TO^KE y(x2) ;2 76:

107

3.2.4. wYPUKLOSTX, WOGNUTOSTX. tO^KI PEREGIBA pONQTIQ WYPUKLOSTI, WOGNUTOSTI KRIWOJ

o P R E D E L E N I E. kRIWAQ NAZYWAETSQ W Y P U K L O J	W INTERWALE,
ESLI WSE EE TO^KI LEVAT NIVE L@BOJ KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K \TOJ
KRIWOJ W DANNOM INTERWALE (RIS. 3.32-1)
o P R E D E L E N I E. kRIWAQ NAZYWAETSQ W O G N U T O J	W INTERWALE,

ESLI WSE EE TO^KI LEVAT WY[E L@BOJ KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K \TOJ KRIWOJ W DANNOM INTERWALE (RIS. 3.32-2).

o P R E D E L E N I E. tO^KI NA KRIWOJ, RAZDELQ@]IE U^ASTKI WYPUK- LOSTI I WOGNUTOSTI, NAZYWA@TSQ TO^KAMI PEREGIBA (RIS. 3.32-3, 3.32-4).

rIS. 3.32-1. rIS. 3.32-2.

rIS. 3.32-3. rIS. 3.32-4.

eSLI INFORMACI@ OB INTERWALAH WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII, NALI^II TO^EK \KSTREMUMA MY POLU^AEM IZ EE PERWOJ PROIZWODNOJ, TO INFORMACI@ OB INTERWALAH WYPUKLOSTI, WOGNUTOSTI I TO^KAH PEREGI- BA MOVNO POLU^ITX TOLXKO IZ WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII.

dOSTATO^NYE USLOWIQ WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) { DWAVDY DIFFERENCIRUEMA W INTERWALE [a b],

TOGDA	:	ESLI WTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII		y00(x) < 0 8x 2 [a b],		TO LI	-

NIQ, QWLQ@]AQSQ GRAFIKOM FUNKCII y = f(x) W Y P U K L A					W DANNOM
INTERWALE,
ESLI WTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII			y00(x) > 0 8x 2 [a b],		TO LINIQ		,

QWLQ@]AQSQ GRAFIKOM FUNKCII y = f(x)				W O G N U T A	W DANNOM

INTERWALE.

108

PEREGIBA.

zADA^A 4. nAJTI INTERWALY WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI GRAFIKA FUNK- CII I TO^EK PEREGIBA.

GRANI^NYE TO^KI OBLASTI

dOSTATO^NYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ TO^EK PEREGIBA

dLQ TOGO, ^TOBY TO^KA S ABSCISSOJ x0 QWLQLASX TO^KOJ PEREGIBA GRA- FIKA FUNKCII y = f(x)

N E O B H O D I M O, ^TOBY WTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII W \TOJ TO^KE y00(x0) = 0 LIBO y00(x0) = 1 LIBO y00(x0) { NE SU]ESTWOWALA

D O S T A T O ^ N O, ^TOBY WTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII PRI PEREHODE ^EREZ \TU TO^KU MENQLA SWOJ ZNAK.

sHEMA NAHOVDENIQ TO^EK PEREGIBA

1)nAHODIM OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y):

2)nAHODIM PERWU@ I SLEDOM WTORU@ PROIZWODNYE FUNKCII I IZ

USLOWIJ

y00

(x0) = 0 y00

(x0) = 1 y00

(x0) {

NE SU]ESTWUET OPREDELQEM

ABSCISSY TO^EK WOZMOVNOGO PEREGIBA.

3)nANOSIM ABSCISSY POLU^ENNYH TO^EK I TO^EK RAZRYWA FUNKCII (ESLI ONI ESTX) NA ^ISLOWU@ OSX I OPREDELQEM ZNAK WTOROJ PROIZWODNOJ W OKRESTNOSTQH KAVDOJ IZ \TIH TO^EK.

4)pO SMENE ZNAKA WTOROJ PROIZWODOJ DELAEM WYWOD O NALI^II ILI OTSUTSTWII PEREGIBA W OTME^ENNYH TO^KAH.

5)wY^ISLQEM ZNA^ENIQ FUNKCII W OTME^ENNYH TO^KAH.

z A M E ^ A N I E. 1. pARALLELXNO OTYSKANI@ TO^EK PEREGIBA PO ZNAKU WTOROJ PROIZWODNOJ OPREDELQEM INTERWALY WYPUKLOSTI I WOGNUTOS- TI KRIWOJ y = f(x).

z A M E ^ A N I E. 2. tO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ TERPIT RAZRYW, ILI OPREDELENIQ NE MOGUT QWLQTXSQ TO^KAMI

1: y = x2 + 4:

1) oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 +1):

109

3) nANOSIM TO^KI x1 x2 x3

y0 = (x2 + 4) ; x

2x =

4 ; x2

(x2 + 4)2

y00

= 0

42; x2 2

10 =

;2x(x2 + 4)2 ; (42 ; x42) 2 (x2 + 4) 2x =

(x + 4)

= ;2x(x

+ 4)

; 4x(4 ; x ) = 2x(x

; 12)

(x2 + 4)3

(x2

+ 4)3

y00

) x1 = 0 x2 = +p

= 2p

x3 = ;2p

= 0

tO^EK, W KOTORYH y00

= 1 NET.

NA ^ISLOWU@ PRQMU@ I OPREDELQEM ZNAK WTOROJ PROIZWODNOJ W OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH, TAK VE, KAK MY DE- LALI \TO PRI ISSLEDOWANII NA \KSTREMUM.

sTROIM GRAFIK ZNAKOW y00

4) wYWODY : PRI PEREHODE ^EREZ KAVDU@ IZ OTME^ENNYH TO^EK WTORAQ PROIZWODNAQ SMENILA ZNAK, T.E. IZMENILSQ HARAKTER POWEDENIQ FUNKCII S WYPUKLOSTI NA WOGNUTOSTX I NAOBOROT.

tO^KI S ABSCISSAMI x1 = 0 x2 = 2p3 x3 = ;2p3 QWLQ@TSQ TO^KAMI PEREGIBA.

iNTERWALY WYPUKLOSTI GRAFIKA: x 2 (;1 ;2p3) [ (0 2p3): iNTERWALY WOGNUTOSTI GRAFIKA: x 2 (;2p3 0) [ (2p3 +1):

5) nAHODIM ORDINATY TO^EK PEREGIBA

y(2p3) =

y(0) = 0

0:2

y(;2p3) = ; 8

;0:2:

x + 1

2: y = ln x + 2:

1) D(y) : x 2 (;1

;2) [ (;1 +1):

2)y0 =

y00 =

;(2x + 3)

(x + 1)(x + 2)

(x + 1)2(x + 2)2

y00

= 0

PRI x1

;

3=2

D(y),

y00

PRI

x3 =

D(y):

x2 =

;

D(y)

;

110

y = f(x).

3) tAKIM OBRAZOM, GRAFIK FUNKCII NE IMEET TO^EK PEREGIBA. dLQ OPRE- DELENIQ INTERWALOW WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI NANESEM NA ^ISLOWU@ PRQMU@ GRANI^NYE TO^KI OBLASTI OPREDELENIQ.

sTROIM GRAFIK ZNAKOW y00

4) iNTERWAL WYPUKLOSTI: x 2 (;1 +1): iNTERWAL WOGNUTOSTI: x 2 (;1 ;2):

pEREHODQ K WOPROSU O POLNOM ISSLEDOWANII FUNKCIJ I POSTROENII IH GRAFIKOW, OTMETIM, ^TO NARQDU S RASSMOTRENNYMI WY[E \TAPAMI IS- SLEDOWANIQ FUNKCII NE SLEDUET ZABYWATX I OB \LEMENTARNYH SWOJSTWAH, K KOTORYM SLEDUET OTNESTI: NULI FUNKCII, ^ETNOSTX I NE^ETNOSTX, PE- RIODI^NOSTX FUNKCII.

nULI FUNKCII

nULEM FUNKCII NAZYWAETSQ ZNA^ENIE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, OBRA]A@- ]EE FUNKCI@ W NULX. t.E., ESLI f(x1) = 0, TO x = x1 ESTX NULX FUNKCII w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE NULX FUNKCII ESTX ABSCISSA TO^KI

PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSX@ ABSCISS. tAK, NULQMI SLEDU@]IH FUNKCIJ SLUVAT:

	3		3	2		x1	= +2
			p
1) y = ln(x		; 7) x = 2	2) y = arcsin x		; 4	x2	= ;2:

~ETNOSTX, NE^ETNOSTX FUNKCII

fUNKCIQ y = f(x) NAZYWAETSQ "^ETNOJ", ESLI PRI SMENE ZNAKA ARGUMENTA FUNKCIQ NE IZMENQETSQ NI PO WELI^INE, NI PO ZNAKU, T.E.

f(;x) = f(x) I "NE^ETNOJ", ESLI PRI SMENE ZNAKA ARGUMENTA MENQETSQ
NA PROTIWOPOLOVNYJ I ZNAK FUNKCII f(;x) = ;f(x). w GEOMETRI^ESKOM
SMYSLE SKAZANNOE OZNA^AET, ^TO GRAFIK ^ETNOJ FUNKCII SIMMETRI^EN
OTNOSITELXNO OSI OY , A GRAFIK NE^ETNOJ OTNOSITELXNO NA^ALA KOOR-
DINAT. tAK FUNKCII:		x3
1) y = ln(x2 ; 7) ; ^ETNAQ
	2) y =		; NE^ETNAQ:
		x2 + 1
pERIODI^NOSTX FUNKCII

fUNKCIQ NAZYWAETSQ PERIODI^NOJ S PERIODOM T , ESLI DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x 2 D(y) WYPOLNQETSQ RAWENSTWO f(x + T ) = f(x):

k PERIODI^ESKIM OTNOSQTSQ WSE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.

111

3.2.5. sHEMA POLNOGO ISSLEDOWANIQ FUNKCIJ

1.nAHODIM OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y)

2.nAHODIM ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII

wERTIKALXNYE ASIMPTOTY x = x0

PRI^EM

lim f(x) = 1

x!x0 0

nAKLONNYE ASIMPTOTY

y = kx + b k = lim f(x)

x! 1 x

b = lim [ f(x) ; kx ]

x! 1

3.|KSTREMUM FUNKCII, INTERWALY MONOTONNOSTI

nAHODIM PERWU@ PROIZWODNU@ FUNKCII, KRITI^ESKIE TO^KI, OPREDELQEM ZNAKI PERWOJ PRO- IZWODNOJ W POLU^ENNYH INTERWALAH, NAHODIM TO^KI \KSTREMUMA, PROMEVUTKI WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII

pROMEVUTKI WOZRASTANIQ FUNKCII:	pROMEVUTKI UBYWANIQ FUNKCII :
y0(x) > 0 DLQ WSEH x 2 (a b)	y0(x) < 0	DLQ WSEH	x 2 (a b)
mAKSIMUM FUNKCII:	mINIMUM FUNKCII:
max W x0 2 D(y)	min W x0	2 D(y)
y0(x0) = 0 y0(x0) = 1	y0(x0) = 0	y0(x0) =	1
NE SU]ESTW.	NE SU]ESTW.
y0(x) MENQET ZNAK S NA	y0(x) MENQET ZNAK S		NA
y0(x) MENQET ZNAK S NA			NA

4. tO^KI PEREGIBA, INTERWALY WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI

nAHODIM WTORU@ PROIZWODNU@ FUNKCII, TO^KI, W KOTORYH WOZMOVEN PEREGIB, OPREDELQEM ZNAKI WTOROJ PROIZWODNOJ W POLU^ENNYH INTERWALAH, NAHODIM TO^KI PEREGIBA, PROMEVUTKI WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI GRAFIKA FUNKCII

y00	wYPUKLOSTX :			2 (a b)	y00(x)	wOGNUTOSTX :			2 (a b)
	(x) < 0	DLQ WSEH	x			> 0	DLQ WSEH	x

			pEREGIB W x0 2 D(y)
		y00(x0) = 0		y00(x0) = 1	NE SU]ESTW.
	y00(x) MENQET ZNAK S NA				ILI	S NA

5. dOPOLNITELXNYE ISSLEDOWANIQ ( NULI FUNKCII, PERIODI^NOSTX,

^ETNOSTX, NE^ETNOSTX)

112

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4_terehina-li-fik

#
30.05.2015516.46 Кб13main.pdf
#
30.05.2015444.12 Кб13main_uch_posobie.pdf
#
30.05.20152.22 Mб14posobie.PDF
#
30.05.2015700.17 Кб14programma.pdf