4_terehina-li-fik / posobie
.PDFrIS. 1.13.
1-AQ T E O R E M A bOLXCANO-kO[I (O NULQH FUNKCII). nEPRERYWNAQ FUNKCIQ, MENQQ ZNAK, PROHODIT ^EREZ NOLX.
iLI: fUNKCIQ f(x) NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOM PROMEVUTKE [a b]
I PRINIMA@]AQ NA KONCAH \TOGO PROMEVUTKA ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, HO- TQ BY ODIN RAZ OBRA]AETSQ W NOLX WNUTRI INTERWALA.
|
|
tEOREMA UTWERVDAET, ^TO, ESLI, NAPRIMER, |
|
|
NA LEWOM KONCE PROMEVUTKA ZNA^ENIE FUNK- |
|
|
CII OTRICATELXNO, T.E. f(a) < 0 A NA PRAWOM |
|
|
KONCE PROMEVUTKA ZNA^ENIE FUNKCII POLO- |
|
|
VITELXNO, T.E. f(b) > 0 TO MEVDU TO^KA- |
|
|
MI a I b OBQZATELXNO NAJDETSQ HOTQ BY ODNA |
|
|
TO^KA c ZNA^ENIE FUNKCII W KOTOROJ BUDET |
|
rIS. 1.14. |
RAWNO NUL@: |
|
|
f(c) = 0 (RIS. 1.14). |
2-AQ |
T E O R E M A bOLXCANO-kO[I (O PROMEVUTO^NYH ZNA^E- |
|
NIQ FUNKCII). |
fUNKCIQ f(x) NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOM PROMEVUT- |
|
KE [a |
b] PRINIMAET WNUTRI \TOGO INTERWALA HOTQ BY ODIN RAZ L@BOE |
ZNA^ENIE, ZAKL@^ENNOE MEVDU EE ZNA^ENIQMI NA KONCAH INTERWALA.
tEOREMA UTWERVDAET, ^TO NEPRERYWNAQ W INTERWALE FUNKCIQ, PEREHODQ OT ODNOGO SWOEGO ZNA^ENIQ K DRUGOMU, OBQZATELXNO PROHODIT ^EREZ WSE PROMEVUTO^NYE ZNA^ENIQ.
mOVNO SKAZATX, ^TO NEPRERYWNAQ W INTERWALE FUNKCIQ PRINIMAET W \TOM INTERWALE HOTQ BY ODIN RAZ L@BOE ZNA^ENIE, ZAKL@^ENNOE MEVDU EE NAIBOLX[IM I NAIMENX[IM ZNA^ENIQMI
53
gLAWA 2. proizwodnaq funkcii
dIFFERENCIROWANIEM NAZYWAETSQ OPERACIQ NAHOVDENIQ PROIZWOD- NOJ FUNKCII. k PONQTI@ PROIZWODNOJ PRIWODQT MNOGIE ZADA^I ESTES- TWOZNANIQ: ZADA^A O SKOROSTI PRQMOLINEJNOGO DWIVENIQ, SKOROSTI HI- MI^ESKOJ REAKCII, PLOTNOSTI SREDY, TEPLOEMKOSTI TELA. wSE \TI HA- RAKTERISTIKI SWQZANY SO SKOROSTX@ IZMENENIQ FUNKCII, OPISYWA@]EJ NEKOTORYJ PROCESS. sKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII MOVNO OPREDELITX S POMO]X@ POSLEDOWATELXNOSTI DEJSTWIJ, KOTORAQ OSU]ESTWLQETSQ NEZA- WISIMO OT KONKRETNOGO FIZI^ESKOGO SMYSLA.
2.1. dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ
2.1.1. pONQTIE PROIZWODNOJ
pUSTX W PROMEVUTKE [a b] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ
y = f(x) I x0 { NEKOTORAQ TO^KA W \TOM PROMEVUTKE. |
|
||
1. dADIM ZNA^ENI@ ARGUMENTA x0 PRI- |
|
||
RA]ENIE x T.E. PEREMESTIMSQ IZ TO^KI |
|
||
x0 W TO^KU x0 |
+ x OSTAWAQSX W PREDE- |
|
|
LAH ZADANNOGO PROMEVUTKA [a b]. zNA^ENI@ |
|
||
FUNKCII W NA^ALXNOJ TO^KE x0 SOOTWETSTWU- |
|
||
ET ^ISLO y0 = |
f(x0): zNA^ENI@ FUNKCII W |
rIS. 2.1. |
|
TO^KE x0 + x SOOTWETSTWUET y = f(x0+ x:) |
|||
|
2.sOSTAWIM PRIRA]ENIE FUNKCII y = f(x0 + x) ; f(x0) KAK RAZNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII W KONE^NOJ I NA^ALXNOJ TO^KAH.
3.rAZDELIM PRIRA]ENIE FUNKCII NA PRIRA]ENIE ARGUMENTA I PO-
LU^IM OTNO[ENIE
xy = f(x0 + xx) ; f(x0)
4. nAHODIM PREDEL OTNO[ENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@
ARGUMENTA |
|
|
|
|
lim |
y |
= lim |
f(x0 + x) |
; f(x0): |
x!0 |
x |
x!0 |
x |
|
|TOT PREDEL I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 I OBOZNA^AETSQ
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o P R E D E L E N I E. pROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) NAZYWAETSQ PREDEL OTNO[ENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA PRI STREMLE- NII \TOGO PRIRA]ENIQ K NUL@
yx0 (x0) = lim y
x!0 x
(W PREDPOLOVENII, ^TO PREDEL \TOT SU]ESTWUET).
eSLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET, SU]ESTWUET I PROIZWODNAQ W TO^KE x0, I FUNKCIQ NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W DANNOJ TO^KE. fUNKCIQ NA- ZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W PROMEVUTKE, ESLI ONA DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA.
eSLI FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO ONA I NEPRERYWNA W \TOJ TO^KE. nO IZ NEPRERYWOSTI FUNKCII W TO^KE NE SLEDUET DIFFERENCIRU- EMOSTX (SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ) W TO^KE. pO\TOMU PRI PRIMENENII PROIZWODNOJ W KONKRETNOJ ZADA^E NEOBHODIMO U^ITYWATX OBLASTX OPRE- DELENIQ KAK SAMOJ FUNKCII, TAK I EE PROIZWODNOJ.
gEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ FUNKCII.
o P R E D E L E N I E. kASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^- KE M0 NAZYWAETSQ PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ M0M PRI STREMLENII TO^KI M PO KRIWOJ K TO^KE M0: (rIS. 2.2.)
zNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE yx0 (x0) ESTX UGLOWOJ KO\F- FICIENT KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K GRAFIKU FUNKCII W DANNOJ TO^-
KE (rIS. 2.2.)
yx0 (x0) = tg ' = kKAS:
rIS. 2.2.
dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII W TO^KE S GEOMETRI^ESKOJ TO^KI ZRE- NIQ OZNA^AET, ^TO K GRAFIKU FUNKCII W DANNOJ TO^KE MOVNO PROWES- TI EDINSTWENNU@ NEWERTIKALXNU@ KASATELXNU@ (RIS. 2.3,A). eSLI FUNKCIQ NEDIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO \TO OZNA^AET, ^TO KASATELX-
55
NAQ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE PROHODIT WERTIKALXNO (RIS. 2.3,b, S)
(' = =2 ) yx0 (x0) = tg = kKAS: = 1), ILI W TO^KE K GRAFIKU FUNK- CII MOVNO PROWESTI BOLX[E, ^EM ODNU KASATELXNU@ (RIS.2.3,d) (PRO-
IZWODNAQ NE SU]ESTWUET). iZ RISUNKOW 2.3,b), 2.3,c) I 2.3,d) WIDNO, ^TO FUNKCII W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE, HOTQ I NEPRERYWNY, NO NEDIFFE- RENCIRUEMY.
rIS. 2.3.
fIZI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ. zNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W
TO^KE ESTX MGNOWENNAQ SKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII W DANNOJ TO^KE.
mEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ. pROIZWODNAQ OT PROJDENNOGO
PUTI S(t) PO WREMENI t ESTX MGNOWENNAQ SKOROSTX PRQMOLINEJNOGO DWIVENIQ W DANNYJ MOMENT WREMENI t0
v(t0) = St0(t0) = lim S(t0 + t) ; S(t0):
t!0 t
sKOROSTX DWIVENIQ W OPREDELENNYJ MOMENT WREMENI TAKVE MOVNO OPRE- DELITX PO UGLOWOMU KO\FFICIENTU KASATELXNOJ K GRAFIKU ZAWISIMOSTI WELI^INY PROJDENNOGO PUTI S(t) OT WREMENI t.
tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ OSNOWANA NA OSNOWNYH PRAWILAH I FOR- MULAH DIFFERENCIROWANIQ (TABLICE PROIZWODNYH OSNOWNYH \LEMENTAR- NYH FUNKCIJ). tABLICA PROIZWODNYH PRIWEDENA W DWUH WARIANTAH:
1) DLQ PROSTOJ FUNKCII (T.E. FUNKCII, SOSTOQ]EJ IZ KOMBINACII OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ, SOEDINENNYH ZNAKAMI ARIFMETI^ES- KIH DEJSTWIJ) I
2) DLQ SLOVNYH FUNKCIJ, ARGUMENTAMI KOTORYH QWLQETSQ TAKVE DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ U(x) GDE ISPOLXZUETSQ PRAWILO DIFFE- RENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII (y[U(x)])0 = yU0 U0(x):
56
2.1.2. oSNOWNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ
1: ( C )0 |
= |
0 |
|
|
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|
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|
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|
|
0 |
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||||
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
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6: [y(U(x))] = y0 |
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U0 |
||||
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|
u |
x |
|||||
2: ( C U )0 |
= C U0 |
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||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||
3: ( U |
|
|
V ) = |
U0 |
|
V |
0 |
|
|
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|
|
1 |
|
|
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|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
(y) = |
|
|
|
|
|||
4: ( U |
|
0 |
|
|
|
|
V + U |
|
V |
y |
yx0 (x) |
|
|
|
||||||||
|
V ) = U |
|
|
|
7: x0 |
|
|
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||||||||||||
5: |
U |
! |
= |
U0V |
; |
U V 0 |
|
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|||||
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||||||||
V |
|
V 2 |
|
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8: y0(x) = y(x) (ln y(x))0 |
||||||||||||||
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|||||||||||||
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|||||||
|
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|
9: UV 0 = V UV ;1 U0 + UV ln U V 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
10: 8 x = x(t) |
|
|
|
y0(x) = y0(t) |
y00(x) = y00(t)x0(t) |
; x300(t)y0(t) |
||||||||||||||||
|
< y |
= y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
x0(t) |
|
|
(x0 |
(t)) |
||||||||
|
: |
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2.1.3. tABLICA PROIZWODNYH OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ
1: |
|
xk |
0 |
|
= k xk;1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|||
2: px0 |
|
|
|
|
|||||||||
= |
2p |
|
|
||||||||||
x |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
3: |
|
x! |
|
= ; |
|
|
|
||||||
|
|
x 2 |
|||||||||||
4: (ax)0 |
= ax ln a |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5: |
(ex) = ex |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
||||
6: |
(logax) = |
|
|||||||||||
x ln a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
7: |
(ln x) = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
||||
8: (sin x) |
= cos x |
||||||||||||
9: (cos x)0 |
= ; sin x |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10: (tg x) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
11: (ctg x) |
= ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||
12: (arcsin x)0 = |
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
; |
x2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
13: (arccos x) |
= ;p |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
; |
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
14: (arctg x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
15: (arcctg x) |
|
= ; |
|
|
||||||||||||||||
|
1 + x2 |
|
||||||||||||||||||
16: (sh x)0 |
= chx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17: (ch x)0 |
= sh x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18: (th x) |
0 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
57
2.1.4. pROIZWODNYE SLOVNYH FUNKCIJ
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1: Uk |
|
= k Uk;1 |
U |
0 |
|
|
10: (tg U) |
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2: pU |
|
= |
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
U |
|
|
|
11: (ctg U) |
|
= ; |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin2 U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
3: |
|
|
= ; |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
12: (arcsin |
|
U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
U2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4: |
aU 0 |
= aU ln a U0 |
|
|
13: (arccos U)0 |
= ;p |
|
|
1 |
|
|
U0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
; |
U2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5: |
eU |
|
= eU U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
14: (arctg U) |
0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + U2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
6: (logaU) = |
|
|
U |
|
|
15: (arcctg U) |
|
= ; |
|
|
U |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U ln a |
|
|
|
1 + U2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
16: (sh U)0 |
= ch U U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7: (ln U) = |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8: (sin U)0 = cos U U0 |
|
|
17: (ch U)0 |
= sh U U0 |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
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0 |
|
|
0 |
|
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1 |
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
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|
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9: (cos U) |
= ; sin U U |
|
18: (th U) |
|
= |
|
U |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ch2 U |
|
|
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2.1.5. pRIMERY NAHOVDENIQ PROIZWODNYH |
|
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(x |
|
)0 = n x |
; |
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|
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||||||||||||||||
dIFFERENCIROWANIE STEPENNYH FUNKCIJ |
|
|
n |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
(DIFFERENCIROWANIE PONIVAET NA EDINICU STEPENX FUNKCII).
1: x0 = 1
2: ( p3 x2)0
0 1 103: @pxA
58
(x2)0 = 2x |
(x3)0 |
= 3x2 |
I T:D: |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= (x2=3)0 = |
3 x2=3;1 |
= 3 x;1=3 |
= |
|
|
|
: |
|
|
|
3 p3 |
|
|
||||||||
x |
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
= x;1=2 0 = ;2 x;1=2;1 = ;2 x;3=2 = ; |
2p |
|
: |
|||||||
x3 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4: |
|
|
|
! |
= |
x;2 0 = ;2 x;2;1 = ;2 x;3 |
= ; |
|
: |
|
|
|||||||
|
x2 |
x3 |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
p |
|
|
x4 |
1 |
0 |
|
|
|
59 |
|
|
59 |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x1=4+4;2=5 0 = (x59=15)0 |
|
|
|
|
|
|
|||
5: |
|
|
5 |
|
|
|
= |
|
= x(59=15);1 = |
|
x44=15: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
@ |
px2 |
A |
|
|
|
|
15 |
|
|
15 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH STEPENNYH FUNKCIJ
(U(x)n)0 = n U(x)n;1 |
|
U0(x) |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
(qU(x))0 = |
|
|
U0 |
(x) 0 |
|
1 |
|
= ; |
|
U0(x): |
|||
|
|
U(x) |
|
U2(x) |
|||||||||
2 U(x) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
t.E., ESLI NUVNOqNAJTI PROIZWODNU@ OT NEKOTOROJ FUNKCII, WOZWEDEN-
NOJ W STEPENX, TO SNA^ALA MY DIFFERENCIRUEM EE KAK STEPENNU@ FUNKCI@, T.E. PONIVAEM STEPENX FUNKCII NA EDINICU, A ZATEM DOMNOVAEM NA PROIZWODNU@ SAMOJ FUNKCII, KOTORAQ WOZWODILASX W STEPENX.
|
6: |
|
(1 + x6)10 0 |
= 10 (1 + x6)9 |
|
(1 + x6)0 = 10 (1 + x6)9 |
|
|
6x5: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
hp |
|
|
|
|
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|
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
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|
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|||||||||
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|
|
2 |
|
|
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|||||||||
7: |
|
|
|
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|
|
; 7x + 1 |
= 2 p3x2 |
|
|
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|
+ 1 (3x |
|
; 7x + 1)0 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
; |
7x |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
6x |
|
; 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
(6x ; 7) = |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 |
|
|
7x + 1 |
3x2 |
|
7x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
8: |
(ln2 x)0 |
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
||||||||||||||
= 2 ln x (ln x)0 = 2 ln x x |
: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9: (arctg3 x)0 |
|
= 3arctg2 x (arctg x)0 |
= 3arctg2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10: (p |
|
|
)0 |
= |
2 p |
1 |
|
|
|
(arcsin x)0 |
= |
2 p |
1 |
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin |
x |
arcsin |
x |
1 |
; |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11: |
|
|
|
|
|
|
|
! |
= ; |
|
|
|
(tg x + x5 + 2)0 = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg x + x5 + 2 |
(tg x |
+ x5 + 2)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ 5x4! : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(tg x + x5 + 2)2 |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = ;5(ex ; 3);6=5 (ex ; 3)0 = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
; |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12: |
0 5 |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
= (ex ; 3);1=5 |
|
|
|
= ; (ex ;3);6=5 ex: 5
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
1=3 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
13: |
0 v9 cos x + |
|
|
|
|
|
|
+ 5x31 |
|
= |
|
|
9 cos x + |
|
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
B t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;2=A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
9 cos x + |
|
+ 5x3! |
|
|
|
|
|
9 cos x + |
|
|
+ 5x3! |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
9 cos x + |
|
1 |
+ 5x3!;2=3 |
|
( |
; |
3 sin x |
|
|
|
2 |
+ 15x2): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
14: |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
= |
h |
(3x2 + 5);2=3 |
i |
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 (3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
6 |
+ 5)2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4 q |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
(3x2 + 5);5=3 (3x2 + 5)0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= ;3 |
= ;3(3x2 + 5);5=3 6x: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH LOGARIFMI^ESKIH FUNKCIJ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(ln x)0 = |
1 |
|
(ln U(x))0 |
= |
U0(x) |
|
(logaU(x))0 = |
|
|
U0(x) |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln a U(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ LOGARIFMI^ESKOJ FUNK- CII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ LOGARIFMI- ^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNKCII.
|
1: |
(ln(1 |
|
|
2x))0 = |
|
|
|
1 |
|
|
(1 |
|
2x)0 = |
;2 |
: |
||||||
|
; |
|
(1 ; 2x) |
; |
1 ; 2x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2: (ln sin x)0 = |
1 |
|
|
|
(sin x)0 |
= |
1 |
|
(cos x) = ctg x: |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
sin x |
sin x |
|||||||||||||||||||||
3: (ln(x2 + 4))0 |
|
|
1 |
(x2 + 4)0 |
|
|
2x |
|
||||||||||||||
= |
|
= |
|
: |
|
|||||||||||||||||
x2 + 4 |
x2 + 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1=3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)0 = 3 (ln x)0 |
= 3 x: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4: (ln px)0 |
= (ln x |
|
|
|
|
5: ln ex + p1 + e2x 0 = ex + p11 + e2x ex + p1 + e2x 0 = = ex + p11 + e2x ex + 2p11+ e2x 1 + e2x 0! :
= = ex + p11 + e2x ex + 2p11+ e2x e2x (2x)0 ! =
1 x 1 2x ! ex
= ex + p1 + e2x e + 2p1 + e2x e 2 = p1 + e2x :
60
dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH POKAZATELXNYH FUNKCIJ
(ax)0 = ax ln a (ex)0 = ex
aU(x) 0 = aU(x) ln a U0(x)eU(x) 0 = eU(x) U0(x):
tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ POKAZATELXNOJ FUNK- CII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ POKAZATELX- NU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNK- CII.
1: |
53 + 2x 0 = 53 + 2x ln 5 (3 + 2x)0 = 53 + 2x ln 5 2: |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
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|
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1 |
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||
|
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|
|
|
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2: |
5p7x! |
= 5p7x ln 5 (p7x)0 |
= 5p7x ln 5 |
2p |
|
7: |
||||||||
7x |
3: e;x2 !0 = e;x2 (;x2)0 = ;2x e;x2 :
4: (ln 3)sin x 0=(ln 3)sin x ln(ln 3) (sin x)0=(ln 3)sin x ln ln 3 cos x:
5: (ecos3 x)0 = ecos3 x (cos3 x)0 = ecos3 x 3 cos2 x (cos x)0 =
=ecos3 x 3 cos2 x (; sin x):
|
6: |
2 |
1 |
! |
ctgx30 |
= |
1 |
! |
ctgx |
ln |
1 |
|
(ctgx)0 |
= |
|
1 |
! |
ctgx |
ln |
1 |
|
1 |
: |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
; |
2 |
|
2 |
sin2 x |
||||||||||||||
|
6 |
7 |
|
|
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|
||||||||||||||||
|
|
4 |
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|
5 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ
(sin U(x))0 = cos U(x) U0(x) |
(cos U(x))0 = ;sin U(x) U0(x) |
|||||
(tg x)0 = |
1 |
U0(x) |
(ctg x)0 |
1 |
U0(x): |
|
|
= ; |
|
||||
cos2 U(x) |
sin2 U(x) |
tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ TRIGO- NOMETRI^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMEN- TA \TOJ FUNKCII.
1: (sin 4x)0 = cos 4x (4x)0 = cos 4x 4 = 4 cos 4x:
61
2: |
(cos(2x3 + 5))0 = ; sin(2x3 + 5) (2x3 + 5)0 = ; sin(2x3 + 5) 6x2: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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1 |
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||
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||||||
3: (sin px)0 = |
cos px (px)0 |
= cos px |
2p |
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|
: |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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4: |
tg e;3x 0 = |
|
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1 |
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|
|
|
e;3x 0 = |
|
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|
1 |
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|
e;3x (;3): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 e;3x |
cos2 e;3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5: |
sinq |
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|||||||||||||||||||||||||||||
5x;tg (ln x) 0 = cos q5x;tg (ln x) (q5x;tg (ln x))0 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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1 |
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|
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|
|
|
0 |
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|
|
|||
= cos q5x ; tg (ln x) |
|
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|||||||||||||||||||
2q5x ; tg (ln x) (5x ; tg (ln x)) |
= |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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1 |
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05 |
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(ln x)01= |
||||||||||||
= cos |
q |
5x |
; |
tg (ln x) |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
2 |
(ln x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
2q5x;tg (ln x) @ |
;cos |
|
|
|
A |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
05 ; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 : |
|
|||||||||||||
= cos q5x ; tg (ln x) |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(ln x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 5x |
; |
|
|
tg (ln x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0@ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
A |
||||||||||||||||||
6: |
ctg |
|
|
! |
= ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
= |
|
|
|
|
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 5 |
sin2 |
|
1 |
|
|
|
x + 5 |
|
sin2 |
1 |
|
(x + 5)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x+5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+5 |
|
|
|
|
|
|
dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ
(arcsin U(x))0 = |
|
|
|
U0(x) |
|
(arctg U(x))0 |
= |
|
U0(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
(x) |
|
||||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q1 ; U (x) |
|
|
|
|
|
1 + U |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(arccos U(x))0 = ; |
|
|
U0(x) |
|
|
|
(arcctg U(x))0 |
= ; |
U0(x) |
|
: |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
q |
|
1 + U2(x) |
||||||||||||
1 ; U2(x) |
|
tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ OBRATNOJ TRIGO- NOMETRI^ESKOJ FUNKCII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ OBRATNU@ TRIGONOMETRI^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNKCII.
1:
2:
=
=
|
arcsin x1 !0 = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x1 !0 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
1 |
! : |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
q1 ; x2 |
|
|
q1 |
; x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
||||||
arccos p1 ; 2x 0 = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 ; 2x 0 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
q |
|
|
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
; |
1 |
; |
2x |
)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
2x)0 = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
;q11 ; (1 ; 2x1) 2p1 ; 2x! |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
; |
p |
|
|
2p |
|
|
|
|
|
! (;2) = |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
: |
||||||||||||||||||||||
2x |
1 |
; |
2x |
2x |
|
|
1 |
; |
2x |
62