4_terehina-li-fik / posobie
.PDF
1
8: y = ex;2 :
1)fUNKCIQ OPREDELENA W INTERWALE : x 2 (;1 2) [ (2 +1):
2)aSIMPTOTY.
a)wERTIKALXNYE. iSSLEDUEM HARAKTER RAZRYWA FUNKCII W TO^KE x = 2. nAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY.
|
1 |
|
1 |
= e+1 = + |
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
lim |
e |
x;2 |
|
= e |
+0 |
1 |
|
lim |
e |
x;2 |
= e |
;0 |
|
|
x!2+0 |
|
|
|
|
x!2;0 |
|
|
|
|
|
||||
w TO^KE x = 2 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW,
WERTIKALXNAQ ASIMPTOTA. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b) nAKLONNYE ASIMPTOTY |
y = kx + b: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e0 |
|
|||
|
|
f(x) |
|
|
|
|
e |
x;2 |
|
|
|
|
|
|
||
k = |
lim |
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 0: |
||
x |
|
|
x |
1 |
||||||||||||
|
x! 1 |
|
|
x! 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
= e0 = 1: |
||||||||
b = |
lim [f(x) |
; |
kx] = |
|
lim |
|
x 2 |
|||||||||
|
x! 1 |
|
|
|
x! 1 |
|
|
; |
|
|
||||||
fUNKCIQ IMEET GORIZONTALXNU@ ASIMPTOTU y = 1.
= e;1 = 0:
PO\TOMU x = 2 {
|
|
|
y0 = |
|
1 |
! |
|
1 |
|
; |
1 |
|
|
|
3) |
|
. |
e ; |
= e ; |
|
2 < 0: |
||||||||
|
|KSTREMUM |
|
|
|
x 2 |
0 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ; 2) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pROIZWODNAQ OTRICATELXNA DLQ WSEH ZNA^ENIJ x IZ OBLASTI OPREDELE- NIQ, PO\TOMU DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ UBYWA@]EJ WO WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ.
4) tO^KI PEREGIBA. nAHODIM WTORU@ PROIZ-
|
WODNU@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
y00 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
= 0ex;2 |
= |
|||||||||||||
|
(x ; |
2)2 |
1 |
||||||||||||
|
|
|
@ |
|
1 |
|
|
; |
|
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|||||
|
|
|
= ex;2 |
|
;2)34 |
: |
|
||||||||
|
|
|
(x |
|
|||||||||||
rIS. 3.40. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
y00 |
= 0 |
PRI |
|
|
x = 3=2 |
y(3=2) 0 14: |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
y00 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
x = 2 |
|
D(y): |
||||
|
|
|
|
PRI |
|
|
|
62 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tO^KA x = 3=2 { QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA, A TO^KA x = 2 NE QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA, TAK KAK \TO TO^KA RAZRYWA.
5) sTROIM POLNYJ GRAFIK FUNKCII.
123
3.2.6. nAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII NA INTERWALE
sOGLASNO TEOREME wEJER[TRASSA, NEPRERYWNAQ W ZAMKNUTOM PROMEVUT- KE FUNKCIQ DOSTIGAET W NEM SWOEGO NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^E- NIJ. nAIBOLX[IM (NAIMENX[IM) ZNA^ENIEM MOVET QWLQTXSQ ZNA^ENIE FUNKCII W ODNOJ IZ TO^EK max (min) W \TOM PROMEVUTKE ILI ZNA^ENIE FUNKCII NA KONCAH PROMEVUTKA. pO\TOMU DLQ NAHOVDENIQ NAIBOLX[E- GO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ FUNKCII W INTERWALE NEOBHODIMO NAJTI TO^KI \KSTREMUMA FUNKCII, PRINADLEVA]IE \TOMU INTERWALU, I SRAW- NITX ZNA^ENIQ FUNKCII W \TIH TO^KAH I NA KONCAH PROMEVUTKA.
zADA^A 6. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII |
||
y = 2 sin x ; sin 2x W INTERWALE [ 0 |
3 |
]: |
|
||
2 |
||
r E [ E N I E. |
|
|
1) nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI FUNKCII |
||
y0 |
y0 = (2 sin x ; sin 2x)0 = 2 cos x ; 2 cos 2x = 2(cos x + 1 ; 2 cos2 x): |
|||||
= 0 |
PRI |
cos x = 1 |
=) |
x = 2 n |
n 2 Z |
|
|
||||||
cos x = ;1=2 |
=) |
x = 2 =3 + 2 n |
n 2 Z: |
|||
2) |
w DANNYJ NAM PROMEVUTOK WHODQT TOLXKO TO^KI: |
|||||
x1 = 0 x2 = 2 =3 x3 = 4 =3: |
|
|||||
3) wY^ISLQEM ZNA^ENIQ FUNKCII y = 2 sin x ; sin 2x W KRITI^ESKIH TO^KAH I NA KONCAH PROMEVUTKA
y(0) = 0 y(2 =3) 2 58 y(4 =3) ;2 58 y(3 =2) = ;2:
sRAWNIWAQ POLU^ENNYE ZNA^ENIQ, POLU^AEM: y(2 =3) 2 58 { NAIBOLX[EE ZNA^ENIE FUNKCII,
y(4 =3) ;2 58 { NAIMENX[EE ZNA^ENIE FUNKCII W DANNOM INTER- WALE.
3.2.7. wTOROE DOSTATO^NOE USLOWIE \KSTREMUMA
w RQDE ZADA^, SWQZANNYH S ISSLEDOWANIEM FUNKCIJ NA \KSTREMUM, UDOBNO POLXZOWATXSQ WTORYM DOSTATO^NYM USLOWIEM \KSTREMUMA.
pUSTX f(x) { FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNY-
124
MI 1-GO I 2-GO PORQDKA W OKRESTNOSTI TO^KI |
x0. tOGDA IMEET MESTO |
|||||||
SLEDU@]IJ DOSTATO^NYJ PRIZNAK SU]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA. |
||||||||
eSLI W TO^KE |
x0 f0(x0) = 0 |
A |
f00(x0) 6= 0 |
|||||
TO TO^KA |
x0 ESTX TO^KA \KSTREMUMA FUNKCII. |
|||||||
pRI \TOM: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ESLI |
f00(x0) < 0 |
TO |
x0 { |
TO^KA |
MAKSIMUMA |
|||
ESLI |
f00(x0) > 0 |
TO |
x0 { TO^KA MINIMUMA. |
|||||
dEJSTWITELXNO, ESLI |
f0(x0) = 0 |
A f00(x0) > 0 W OKRESTNOSTI KRITI- |
||||||
^ESKOJ TO^KI x0, TO \TO ZNA^IT, ^TO FUNKCIQ f0(x) QWLQETSQ WOZRASTA@- ]EJ. zNA^IT, SLEWA OT \TOJ TO^KI ZNA^ENIQ FUNKCII f0(x) MENX[E, ^EM W TO^KE x0, T.E. OTRICATELXNYE, A SPRAWA OT \TOJ TO^KI ZNA^ENIQ FUNK- CII f0(x) BOLX[E, ^EM W TO^KE x0, T.E. POLOVITELXNYE. tAKIM OBRAZOM, PRI PEREHODE ^EREZ KRITI^ESKU@ TO^KU PERWAQ PROIZWODNAQ FUNKCII MENQET ZNAK S NA A, SOGLASNO PERWOMU DOSTATO^NOMU USLOWI@ SU- ]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA, SAMA FUNKCIQ f(x) BUDET IMETX W \TOJ TO^KE MINIMUM. aNALOGI^NO MOVNO POKAZATX, ^TO ESLI f00(x0) < 0, TO W TO^KE x0
rIS. 3.41.
z A M E ^ A N I E oTMETIM, ^TO ISPOLXZOWATX UKAZANNOE USLO- WIE MOVNO TOLXKO W SLU^AE, ESLI W KRITI^ESKOJ TO^KE PERWAQ PRO- IZWODNAQ RAWNA NUL@, A WTORAQ PROIZWODNAQ NE RAWNA NUL@. w DRUGIH SITUACIQH \TOT PRIZNAK NE RABOTAET.
pRIMENENIE WTOROGO DOSTATO^NOGO USLOWIQ \KSTREMUMA UDOBNO PRI RE[ENII SMYSLOWYH ZADA^ FIZIKI I GEOMETRII.
3.2.8. zADA^I NA \KSTREMUM
oTMETIM, ^TO PRI RE[ENII TAKIH ZADA^ NUVNO PO USLOWI@ ZADA^I SOSTAWITX ANALITI^ESKOE WYRAVENIE DLQ FUNKCII, S POMO]X@ KOTO- ROJ ODNA WELI^INA WYRAVAETSQ ^EREZ DRUGU@, A ZATEM ISSLEDOWATX \TU FUNKCI@ NA \KSTREMUM.
125
zADA^A 7. w RAWNOBEDRENNYJ TREUGOLXNIK S OSNOWANIEM a I WY- SOTOJ h WPISAN PRQMOUGOLXNIK. kAKIMI DOLVNY BYTX STORONY PRQMO- UGOLXNIKA, ^TOBY ON IMEL NAIBOLX[U@ PLO]ADX?
|
|
|
|
r E [ E N I E. sDELAEM ^ERTEV I WWEDEM |
|||
|
|
|
|
NUVNYE OBOZNA^ENIQ: |
|||
|
|
|
|
AC = a AD = DC = a=2 |
|||
|
|
|
|
BD = h OB = h ; y |
|||
|
|
|
|
OD = y |
OM = x=2: |
||
|
|
|
|
pLO]ADX PRQMOUGOLXNIKA NAHODITSQ PO FOR- |
|||
|
|
|
|
MULE S = x y: |
|
|
|
|
|
|
|
|TO FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH x I y: iS- |
|||
|
|
|
|
KL@^IM ODNU IZ NIH, ISPOLXZUQ PODOBIE TRE- |
|||
|
|
|
|
UGOLXNIKOW |
ABD I |
MBO: |
|
a=2 |
h |
a |
|
|
|
|
|
x=2 = |
|
) x = h |
(h ; y): |
|
|
|
|
h ; y |
|
|
|
||||
tOGDA WYRAVENIE DLQ PLO]ADI PRIMET WID |
|
||||||
S = x y = ha (h ; y) y = ha (hy ; y2): |
|
|
|||||
|TA FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ S(y): iSSLEDUEM EE NA \KSTREMUM |
|||||||
|
a |
|
|
h |
|
|
|
S0(y) = h |
(h ; 2y) = 0 |
) y = 2 : |
a |
h |
a |
||
|
|
a |
a |
|
|||
tOGDA |
x = h (h ; y) = h |
(h ; h=2) = h |
2 = |
2: |
|||
pOKAVEM, ^TO PRI \TIH RAZMERAH PLO]ADX PRQMOUGOLXNIKA IMEET MAK- SIMALXNOE ZNA^ENIE. wTORAQ PROIZWODNAQ S00(y) = ha (;2) < 0: w DANNOM SLU^AE MAKSIMALXNOE I NAIBOLX[EE ZNA^ENIE FUNKCII SOWPADA@T.
oTWET: PLO]ADX WPISANNOGO PRQMOUGOLXNIKA BUDET NAIBOLX[EJ, ESLI STORONY PRQMOUGOLXNIKA: x = a=2 y = h=2:
zADA^A 8. rEAKCIONNYJ APPARAT IMEET FORMU ZAKRYTOGO CILIND- RA. nAJTI RADIUSA OSNOWANIQ CILINDRA TAK, ^TOBY PRI ZADANNOM OB_- EME V NA EGO IZGOTOWLENIE U[LO MINIMALXNOE KOLI^ESTWO MATERIALA.
r E [ E N I E. pUSTX: R ; RADIUS OSNOWANIQ, H; WYSOTA CI- LINDRA. tOGDA OB_EM V = S: H = R2 H:
pRI IZGOTOWLENII APPARATA MATERIAL RASHODUETSQ NA OBRAZOWANIE STE- NOK (BOKOWOJ POWERHNOSTI CILINDRA) I DWUH OSNOWANIJ { WERHNEGO I
126
NIVNEGO. zAPI[EM WYRAVENIE DLQ POLNOJ POWERHNOSTI TAKOGO CILIND- RA
FPOLN: = 2 R H + 2 R2 = 2 (R2 + R H): mY POLU^ILI WYRAVE- NIE, SODERVA]EE DWE NEIZWESTNYH WELI^INY. iSKL@^IM ODNU IZ NIH,
NAPRIMER H |
ISPOLXZUQ FORMULU DLQ OB_EMA |
|
|
|
||||
|
V |
|
2 |
V |
2 |
2V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H = R2 : |
tOGDA |
FPOLN: = 2 R + R |
R2 |
! = 2 R + |
R |
: |
||
|
||||||||
pOLNAQ POWERHNOSTX, TAKIM OBRAZOM, ESTX FUNKCIQ TOLXKO ODNOJ PERE- |
||||||||
MENNOJ - R TAK KAK WELI^INA V ZADANA. iZ USLOWIQ RAWENSTWA NUL@ PROIZWODNOJ \TOJ FUNKCII MY OPREDELIM, KAKOJ RADIUS SOOTWETSTWUET MINIMALXNOJ POLNOJ POWERHNOSTI, A ZNA^IT, I MINIMALXNOMU RASHODU MATERIALA NA IZGOTOWLENIE APPARATA.
iTAK, |
F 0 |
|
= 4 R |
2V = 0 |
|
2 R3 = V |
|
R = |
3 |
V |
: |
||
|
) |
) |
u2 |
||||||||||
|
POLN: |
|
|
; R2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|||
wYSOTA CILINDRA NAJDETSQ IZ SOOTNO[ENIQ |
|
|
t |
|
|||||||||
2 R3 = V = R2 H ) |
H = 2R: |
|
|
|
|
|
|||||||
wTORAQ PROIZWODNAQ FUNKCII |
FPOLN: |
|
|
|
|
|
|
||||||
F 00 |
= 4 + |
4V |
> 0 |
TAK KAK R > 0 I V > 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
R3 |
|
|
R SOOTWETSTWUET MINIMALXNOJ POL- |
||||||||
PO\TOMU POLU^ENNOE ZNA^ENIE |
|||||||||||||
NOJ POWERHNOSTI A, ZNA^IT, I NAIMENX[EMU RASHODU MATERIALA.
zADA^A 9. nAHOVDENIE MAKSIMALXNOJ SKOROSTI OKISLENIQ OKISI AZOTA gAZOWAQ SMESX SOSTOIT IZ OKISI AZOTA I KISLORODA. tREBUETSQ NAJTI KONCENTRACI@ KISLORODA, PRI KOTOROJ SODERVA]AQSQ W SMESI OKISX AZO- TA OKISLQETSQ S MAKSIMALXNOJ SKOROSTX@.
r E [ E N I E. iZWESTNO, ^TO W USLOWIQH PRAKTI^ESKOJ NEOBRATIMOSTI SKOROSTX REAKCII OKISLENIQ 2 NO + O2 = 2 NO2
v = kx2y
GDE x { KONCENTRACIQ NO y { KONCENTRACIQ O2 k { KONSTANTA. sKOROSTX REAKCII ZAPISANA KAK FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH x I y. nEOBHODIMO ISKL@^ITX ODNU IZ NIH, WYRAZIW x ^EREZ y ILI NAOBOROT. qSNO, ^TO ESLI SUMMARNAQ KONCENTRACIQ REAGIRU@]IH WE]ESTW RAWNA
100% TO ESTX |
x + y = 100 TO KONCENTRACIQ KISLORODA RAWNA y = |
100 ; x: tOGDA SKOROSTX REAKCII |
|
v = kx2y ) |
v = kx2 (100 ; x) = k (100x2 ; x3): |
nAJDEM PERWU@ PROIZWODNU@ I PRIRAWNQEM EE K NUL@
127
v0 = k (200x ; 3x2) = 0 v0 = k x (200 |
; 3x) = 0: |
66 7: |
|
oTS@DA POLU^AEM DWA ZNA^ENIQ |
x1 = 0 x2 = 200=3 |
||
|
|
|
|
~TOBY OPREDELITX, KAKOE IZ POLU^ENNYH ZNA^ENIJ
ET MAKSIMALXNOJ SKOROSTI OKISLENIQ, NAJDEM WTORU@ PROIZWODNU@ I OPREDELIM EE ZNAK PRI KAVDOM ZNA^ENII x
v00 = k (200 ; 6x): |
|
|
|
o^EWIDNO, ^TO PRI x1 = 0 v00 > 0 A PRI |
x2 = 200=3 v00 |
< 0: |
|
mAKSIMALXNAQ SKOROSTX oKISLENIQ SOOTWETSTWUET KONCENTRACII OKISI |
|||
AZOTA 66 7%, A KISLORODA, SOOTWETSTWENNO, 33 3%: |
|
|
|
zADA^A 10. C NA^ALXNOJ SKOROSTX@ |
v0 POD UGLOM |
' |
K GORI- |
ZONTU WYPU]ENO QDRO. pRI KAKOM UGLE ' DALXNOSTX POLETA |
S BUDET |
||
NAIBOLX[EJ (SOPROTIWLENIEM WOZDUHA PRENEBRE^X). |
|
|
|
r E [ E N I E. rAZLOVIM DWIVENIE TELA NA DWE SOSTAWLQ@]IE: WERTIKALXNU@ S NA^ALX- NOJ SKOROSTX@
voy = v0 sin ' I GORIZONTALXNU@ vox = v0 cos '.
gORIZONTALXNOE DWIVENIE QWLQETSQ RAWNOMERNYM, TAK KAK SOPROTIW- LENIEM WOZDUHA MY PRENEBREGAEM, I PO\TOMU PUTX, KOTORYJ PROLETIT QDRO S = vox T GDE T { POLNOE WREMQ POLETA QDRA.
wERTIKALXNOE DWIVENIE POD^INQETSQ ZAKONU RAWNOUSKORENNOGO DWIVE-
NIQ. wO WREMQ POD_EMA vy = voy ; g t:
w NAIWYS[EJ TO^KE WERTIKALXNAQ KOMPONENTA SKOROSTI RAWNA NUL@, I \TOMU MOMENTU SOOTWETSTWUET WREMQ t = vgoy
sTOLXKO VE WREMENI TELO BUDET PADATX, PO\TOMU POLNOE WREMQ POLE-
TA T = 2voy =g:
sLEDOWATELXNO, RASSTOQNIE, KOTOROE PROLETIT QDRO
2voy 2v0 sin ' =
S = vox T = vox g = v0 cos ' g
128
v2 |
|
v2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
= g 2 sin ' cos ' = |
g |
sin 2': |
|
|
mY POLU^ILI FUNKCI@ |
S('): iSSLEDUEM EE NA \KSTREMUM |
|||
|
v2 |
|
|
|
S0(') = |
g0 2 cos 2' = 0 |
2' = 2 |
) ' = 4 : |
|
pOKAVEM, |
^TO POLU^ENNOE ZNA^ENIE UGLA SOOTWETSTWUET MAKSIMALXNOJ |
|||
DALXNOSTI POLETA. nAJDEM WTORU@ PROIZWODNU@ I OPREDELIM EE ZNAK
PRI |
' = =4: |
|
|
|
|
v2 |
|
v2 |
v2 |
S00(') = ; g0 4 sin 2' |
S00 |
( =4) = ; g0 4 sin( =2) = ;4 |
g0 < 0: |
|
oTWET: NAIBOLX[EE RASSTOQNIE QDRO PROLETIT, ESLI BUDET PU]ENO POD |
||||
UGLOM |
45o K GORIZONTU. |
|
|
|
3.3. kASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ
pUSTX DANA DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ y = f(x) I TREBUETSQ SOSTA- WITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU \TOJ FUNKCII W TO^KE x0:
iZ GEOMETRI^ESKOGO SMYSLA PROIZWODNOJ SLEDUET, ^TO ZNA^ENIE PROIZ- WODNOJ FUNKCII W TO^KE x0 RAWNO UGLOWOMU KO\FFICIENTU KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K GRAFIKU FUNKCII W \TOJ TO^KE, T.E.
y0(x0) = kKAS
PRI^EM kKAS = tg A UGOL, KOTORYJ SOSTWWLQET KASATELXNAQ S POLO- VITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OX:
dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ KASATELXNOJ WOSPOLXZUEMSQ URAWNENIEM PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU Mo(x0 y0), S ZADANNYM UGLOWYM KO\F- FICIENTOM k
y ; y0 = k (x ; x0)
w NA[EJ ZADA^E y0 = f(x0) { ZNA^ENIE FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0
k = kKAS = f0(x0); ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W DANNOJ TO^KE. tAKIM OBRAZOM, URAWNENIE KASATELXNOJ MOVNO ZAPISATX W WIDE
y ; f(x0) = f0(x0) (x ; x0):
nORMALX@ K KRIWOJ W DANNOJ TO^KE NAZYWAETSQ PRQMAQ, PROHODQ- ]AQ ^EREZ TO^KU KASANIQ, PERPENDIKULQRNO KASATELXNOJ. iZ GEOMETRII
129
IZWESTNO, ^TO UGLOWYE KO\FFICIENTY WZAIMNO PERPENDIKULQRNYH PRQ- MYH SWQZANY SOOTNO[ENIEM
1 |
1 |
|
||
kNOR = ; |
|
= ; |
|
|
kKAS |
f0(x0) |
|||
pO\TOMU URAWNENIE NORMALI IMEET WID
1
y ; f(x0) = ;f0(x0) (x ; x0)
|
1: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ I NORMALI K KRIWOJ |
||||||||||
|
y = |
|
|
W TO^KE S ABSCISSOJ |
x0 = 3: |
|
|||||
|
1 + x2 |
|
|
||||||||
r E [ E N I E. |
uRAWNENIE KASATELXNOJ |
|
y ; f(x0) = f0(x0) (x ; x0): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
nAHODIM |
y0 |
= f(x0) = f(3) = |
|
= |
|
= |
5: |
||||
32 + 1 |
10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
nAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII I WY^ISLQEM EE ZNA^ENIE PRI x0 = 3 |
|||||||||||||||
y0 = |
|
2 |
|
|
0 = |
;4x |
|
|
y0(x0) = y0(3) = |
4 3 |
= |
|
3 |
: |
|
x2 + 1! |
|
;25 |
|||||||||||||
|
|
|
(x2 + 1)2 |
|
|
;(32 + 1)2 |
|
|
|||||||
pODSTAWLQEM f(3) I y0(3) W URAWNENIE KASATELXNOJ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ; 5 |
= ; |
|
(x ; 3) |
|
|
) 3x + 25y ; 14 = 0: |
|
|
|
|
|||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
uRAWNENIE NORMALI y ; |
1 |
25 |
) 125x ; 15y ; 372 = 0: |
||||||||||||
5 |
= 3 (x ; 3) |
||||||||||||||
2: sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- |
|
CII |
|
8 x = 2t cos t |
W TO^KE SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ |
< y = 2t sin t |
PARAMETRA t0 = =2: |
: |
|
r E [ E N I E. |
|
1) dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ KASATELXNOJ NAM NEOBHODIMO WY^IS- LITX ZNA^ENIQ x0 I y0 TO^KI KASANIQ
x0 = x(t0) = 2 ( =2) cos( =2) = 0 y0 = y(t0) = 2 ( =2) sin( =2) = :
2) nAHODIM UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ. dLQ \TOGO NAJDEM PRO- IZWODNU@ PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ FUNKCII
130
y0 |
= yt0 |
= (2t sin t)0 |
= 2(sin t + t cos t) |
|
= sin t + t cos t: |
||
x |
xt0 |
(2t cos t)0 |
2(cos t ; t sin t) |
|
cos t ; t sin t |
||
|
|
||||||
pODSTAWLQEM W POLU^ENNOE WYRAVENIE t0 |
= =2 |
|
|||||
|
|
sin( =2) + ( =2) |
cos( =2) |
1 |
2 |
||
y0( =2) = cos( =2) ; ( =2) |
sin( =2) = |
|
|
= ; : |
|||
;( =2) |
|||||||
zAPISYWAEM URAWNENIE KASATELXNOJ |
|
|
|
||||
y ; = ;2 (x ; 0) ) 2 x + y ; = 0: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uRAWNENIE NORMALI |
y ; = 2 x ) |
2 x ; y + = 0: |
|||||
3: sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNKCII, |
||||||||
ZADANNOJ NEQWNO y3 ; 3y + 4x = 0 W TO^KE M0(;1=2 2): |
|
|||||||
r E [ E N I E. zNA^ENIQ x0 I y0 IZWESTNY IZ USLOWIQ ZADA^I, PO\TOMU |
||||||||
NAHODIM PROIZWODNU@ NEQWNOJ FUNKCII |
|
|
|
|||||
3y2 y0 ; 3 y0 + 4 = 0 ) y0 |
= |
|
4 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 ; 3y2 |
|
4 |
4 |
|||||
|
|
|
|
y0(;1=2 2) = |
||||
zNA^ENIE PROIZWODNOJ W TO^KE |
M0 |
4 |
|
= ;9: |
||||
3 ; 3 22 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uRAWNENIE KASATELXNOJ y ; 2 = |
;9 (x + 1=2) |
) |
4x + 9y ; 16 = 0: |
|||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
uRAWNENIE NORMALI y ; 2 = |
4 (x + 1=2) ) |
18x ; 8y + 7 = 0: |
||||||
131
gLAWA 4.
funkcii neskolxkih peremennyh
dO SIH POR PODROBNO IZU^ALASX TEORIQ FUNKCIJ ODNOGO NEZAWISIMO- GO PEREMENNOGO. w DEJSTWITELXNOSTI VE ^A]E PRIHODITSQ IMETX DELO S TAKIMI SITUACIQMI, KOGDA IZMENENIE ODNOJ PEREMENNOJ SWQZANO S IZ- MENENIQMI ODNOWREMENNO NESKOLXKIH, NE ZAWISQ]IH DRUG OT DRUGA, PE- REMENNYH.
nIVE MY RASSMOTRIM PONQTIE FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH, OB- LASTX OPREDELENIQ, DIFFERENCIROWANIE, \KSTREMUM, W OSNOWNOM, DLQ SLU^AQ DWUH ILI TREH NEZAWISIMYH PEREMENNYH. oDNAKO, \TI VE PO- NQTIQ MOVNO PRAKTI^ESKI PO^TI SLOWO W SLOWO PERENESTI NA SLU^AJ FUNKCII L@BOGO ^ISLA NEZAWISIMYH PEREMENNYH.
4.1. pONQTIE I OBLASTX OPREDELENIQ
o P R E D E L E N I E. eSLI KAVDOJ PARE (x y) IZ MNOVESTWA D PO NEKOTOROMU ZAKONU POSTAWLENO W SOOTWETSTWIE ZNA^ENIE PEREMENNOJ z IZ MNOVESTWA E, TO PEREMENNU@ z BUDEM NAZYWATX FUNKCIEJ DWUH PEREMEN- NYH I OBOZNA^ATX \TOT FAKT: z = f(x y) ILI z = z(x y):
mNOVESTWO D NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ, A MNOVESTWO E { OB- LASTX@ ZNA^ENIJ FUNKCII.
aNALOGI^NO MOVNO SFORMULIROWATX OPREDELENIE FUNKCII TREH I BO- LEE PEREMENNYH, NAPRIMER:
o P R E D E L E N I E. eSLI KAVDOJ TROJKE ZNA^ENIJ NEZAWISI- MYH PEREMENNYH x y z SOOTWETSTWUET OPREDELENNOE ZNA^ENIE PEREMEN- NOJ u, TO u ESTX FUNKCIQ 3-H NEZAWISIMYH PEREMENNYH PEREMENNYH x y z
T.E. u = f(x y z)
w DALXNNEJ[EM BUDEM, W OSNOWNOM, RASSMATRIWATX FUNKCII DWUH PE- REMENNYH.
fUNKCIQ DWUH NEZAWISIMYH PEREMENNYH MOVET BYTX ZADANA KAK QWNYM z = f(x y) TAK I NEQWNYM OBRAZOM F (x y z) = 0.
132