Приложение к теме 2. Для тех, кто не боится математики)

Мы рассматривали наклон кривой безразличия между двумя её точками, то есть измеряли средний наклон. На выпуклой кривой, каковой является кривая безразличия, большая точность в определении MRS достигается измерением наклона касательной к точке и использованием понятия производной.

Докажем, используя методы математического анализа, что наклон кривой безразличия равен соотношению предельных полезностей. Этот материал будет полезен для решения задачи нахождения потребительского оптимума при заданной функции полезности.

Общая полезность наборов на данной кривой безразличия является постоянной величиной, Ū. Это также функция потребляемых количеств товара a и товара b: U = U(Q_a,Q_b).

Общий дифференциал этой функции:

Т ак как общая полезность является постоянной величиной, то dU = 0. Тогда,

и

Это значит, что отрицательный наклон кривой безразличия (или - dQ_a/dQ_b), который является предельной нормой замещения товаром b товара a, равен отношению предельной полезности товара b к товару a.

2. Бюджетные ограничения для потребителя.

Потребительский выбор всегда осуществляется в рамках ресурсных, или бюджетных ограничений. Предположим, покупатель потребляет только два товара: ананасы (а) и бисквиты (b). Рыночная цена ананасов – Р_а, а бисквитов – Р_b. Пусть сумма денег, которую может израсходовать потребитель – I. Бюджетное ограничение потребителя требует, чтобы сумма денег, затраченная на оба товара, не превышала общей суммы денег, которую может израсходовать потребитель. Тогда потребителю доступны все товарные наборы, которые стоят не дороже I. Это доступное потребителю множество товаров – бюджетное множество можно записать в виде:

P_aQ_a + P_bQ_b ≤ I,

где Q_a – количество товара а, а Qb – количество товара b в потребительском наборе, P_aQ_a – сумма денег, расходуемая потребителем на товар а, P_bQ_b -– сумма денег, расходуемая на товар b.

Предположим, для простоты, что потребитель тратит на покупку товаров сумму I полностью. Тогда все наборы из бюджетного множества, стоимость которых точно равна I, будут лежать на бюджетной линии, которая должна удовлетворять требованию

P_aQ_a + P_bQ_b = I (1)

Пример. Предположим, что ваш недельный бюджет, который вы можете использовать на покупку двух товаров ананасов и бисквитов составляет 120 руб. и вы эту сумму расходуете полностью. Пусть цена ананаса, P_a =10 руб., а цена бисквита, P_b = 8 руб. Тогда вашим бюджетным ограничением будет:

10Q_a + 8Q_b = 120

Изобразим графически бюджетное множество и бюджетную линию (рис. 2-7).

Вам, как потребителю, доступны все наборы, лежащие внутри бюджетного множества и на его границе АВ. Если бюджет расходуется полностью, то выбранный вами набор представляет одна из точек бюджетной линии АВ (. За пределами бюджетной линии находятся недоступные комбинации благ. Так, набор в точке С недоступен, поскольку для его приобретения требуется 176 руб. (= 10·8 + 8·12). Поэтому бюджетная линия называется также границей потребительских возможностей.

Составим уравнение бюджетной линии.

Это линейное уравнение типа: y = c + dx (2)

где y –количество первого товара (ананасов), то есть Q_a,

x – количество второго товара (бисквитов) то есть Q_b,

c – это вертикальное пересечение бюджетной линией оси ординат в точке А (если x=0, то y = c),

d – это наклон линии, который равен отношению вертикального изменения y к горизонтальному изменению х.

Определим значение c применительно к нашей задаче. Это количество ананасов (Q_a), которое в состоянии купить потребитель на всю сумму (I) , если он не будет покупать бисквиты вообще: с = I/P_a. В нашем примере с = 120/10 = 12 (точка А).

Найдём, чему равен наклон бюджетной линии d.

Н аклон = - ∆Q_a/∆Q_b, или: - ОА/ОВ. ОА –это вертикальное пересечение, равное I/P_a. ОВ – это горизонтальное пересечение бюджетной линией оси абсцисс. ОВ показывает, сколько бисквитов может купить потребитель на всю сумму (I), если он не покупает ананасов вообще. ОВ = I/Р_b. В нашем примере в точке В потребитель покупает 15 бисквитов (=120/8). Таким образом,

Наклон бюджетной линии в нашем примере составит: - 0,8 (= - 12/ 15 или - 8/10).

П одставим найденные значения с и d в уравнение (2). Уравнение бюджетной линии выглядит:

Пример. Вопрос к аудитории: Какое количество ананасов может позволить себе потребитель, если он решил купить 10 бисквитов?

Ответ: 4 ананаса = (120/10 - 8·10/10)

Уравнение бюджетной линии (4) легко можно получить путём чисто формального преобразования уравнения бюджетного ограничения (1). Но для нас было важно вывести и определить смысл наклона бюджетной линии.

Наклон бюджетной линии (3) показывает от какого количества одного блага (ананасов) должен при существующих ценах отказаться потребитель, чтобы включить в свой набор дополнительную единицу другого блага (бисквиты). В нашем примере он равен – 0,8. Это означает, что потребитель должен пожертвовать 0,8 ананаса, чтобы купить ещё один бисквит. Для приобретения бисквита нужно 8 рублей (цена 1 бисквита). Их потребитель получит, если откажется от покупки 0,8 ананасов (именно такое количество ананасов можно было купить на 8 руб. при цене 1 ананаса в 10 руб.). Но то количество блага, которым приходится жертвовать ради получения данного блага есть не что иное как альтернативная стоимость (opportunity cost), или издержки приобретения данного блага. (Напомним, что альтернативная стоимость - это не особый вид издержек, а правильный взгляд на любые издержки. Деньги, которые мы тратим, чтобы что-нибудь купить, являются издержками только потому, что существуют другие вещи, которые мы могли бы купить на эти деньги). Отсюда следует важный вывод, который будет нам полезен потом, при нахождении потребительского оптимума: наклон бюджетной линии отражает предельные издержки приобретения дополнительной единицы блага.

Из уравнения (3) также видно, что наклон бюджетной линии показывает соотношение цен товаров, входящих в потребительский набор, точнее, отношение цены замещающего товара (бисквит), к цене замещаемого товара (ананас).

При изменении цен товаров и дохода изменяется множество товаров, доступное потребителю и, следовательно, положение бюджетной линии.

Изменение дохода при тех же товарных ценах ведёт к параллельному сдвигу бюджетной линии. Её наклон не меняется - ведь соотношение цен остаётся прежним. На рис.2-8 отражены два случая - изменение бюджета (мы продолжаем наш пример) с I = 120 руб. до I₁ = 160 руб., и с с I = 120 руб. до I₂ = 160 руб. В случае увеличения суммы, предназначенной для расходов, бюджетная линия сдвигается вверх, в случае уменьшения – вниз.

В случае изменения цен при неизменном доходе положение бюджетной линии также меняется. Рассмотрим два случая.

П ервый. Если изменяется цена одного товара, а бюджет и цена второго товара те же, то бюджетная линия меняя наклон (соотношение цен изменилось!) поворачивается вокруг точки пересечения бюджетной линии с координатной осью, на которой показывается количество товара, цена которого не претерпела изменения. Пусть цена бисквитов повышается с P_b = 8 до P_b1 = 12 руб. (см. рис. 2-9). Тогда, максимальное количество бисквитов, которое может купить потребитель на свой доход I = 120 руб. уменьшается с 15 штук до 10. Максимально возможное количество другого товара в наборе (ананасов) по-прежнему равно 12, ведь ни его цена, ни доход не изменились. Наклон бюджетной линии увеличился (по модулю) с P_b/P_a = – 0,8 до P_b1/P_a = – 1,2 (= -12/10). Если бюджетная линия стала круче, значит цена товара, показываемого по горизонтальной оси, снизилась. Если же произойдёт понижение цены, то бюджетная линия повернётся вокруг точки А направо и её наклон уменьшится. Если бюджетная линия стала более пологой то это означает, что относительная цена товара по горизонтальной оси понизилась.

Если обе цены изменяются в одинаковой пропорции, а бюджет остаётся тем же, то наклон бюджетной линии не меняется, но происходит её параллельный сдвиг - верх, если цены понизились и вниз, если цены повысились. Если наряду с ценами в такой же пропорции изменяется бюджет потребителя, то бюджетная линия останется в прежнем положении. Значение для наклона и положения бюджетной линии имеет относительное, а не абсолютное изменение цен.

На бюджетное ограничение потребителя кроме цен и бюджета (дохода) оказывают также влияние налоги, субсидии, рационирование благ правительством. Бюджетная линия может прерываться, становится ломаной. Её конкретная форма зависит от обстоятельств. Мы вернёмся к этому вопросу на лекции после рассмотрения потребительского оптимума, а также на семинарах при решении различных задач.

16