3. Основные понятия теории двойственности

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, которая называется двойственной к ней. Вместе взятые, эти задачи образуют пару взаимно двойственных задач и любую из них можно рассматривать как исходную. Решая одну из этих задач, можно получить решение и другой задачи.

Экономико-математические модели и содержательные экономические интерпретации исходной и двойственной задач можно представить следующим образом (таблица1).

Таблица 1- Содержательные интерпретации двойственных задач

Задача 1 (исходная)

Задача II(двойственная)

Z = c1x1 + c2x2 +…+cnxn => max при ограничениях: a11x1 + а12x2 +…+ а1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +…+ а2nxn < b2 ……………………………… am1x1 + аm2x2 +…+ аmnxn < bm и условии неотрицательности: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … , xn ≥ 0. Составить такой план выпуска продукции Х = (х1, х2, …, хn), при котором прибыль (выручка) от ее реализации будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду не превзойдет имеющихся запасов.

F = b1y1 + b2y2 +…+ bmym =>min при ограничениях: a11у1 + а21у2 +…+ аm1y1 ≥ c1 a12y1 + а22y2 +…+ аm2y2 ≥ c2 ……………………………… a1ny1 + а2ny2 +…+ аmnym ≥ cn и условии неотрицательности: y1≥ 0, y2 ≥ 0, … , ym ≥ 0. Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y= (y1, y2, …, ym), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции.

Цены ресурсов y₁,y₂, …,y_m в экономической литературе называют:учетные, неявные, теневые. Смысл их состоит в том, что это условные, “ненастоящие” цены. В отличии от “внешних” цен с₁, с₂, …, с_nна продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсовy₁,y₂, …,y_m являютсявнутренними, так как они определяются непосредственно в результате решения задачи, а не задаются извне. Поэтому их чаще называютоценкамиресурсов.

Независимо от содержательной интерпретации экономических параметров, обе задачи обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищут максимум целевой функции, в другой – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

4. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида «< », а в задачах минимизации – все неравенства вида « ≥ ».

5. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:

a₁₁ а₁₂ … а_1n

для задачи I А = a₂₁ а₂₂ … а_2n ,

_{………………………………}

a_m1 а_m2 … а_mn

a₁₁ а₂₁ … а_m1

для задачи II А^т = a₁₂ а₂₂ … а_m2

_{………………………………}

a_1n а_2n … а_mn

6. Каждому ограничению неравенства исходной задачи соответствует в двойственной задаче условие неотрицательности переменных.

7. Каждому ограничению вида равно исходной задачи соответствует переменная без ограничения на знак в двойственной задаче.

8. Неотрицательным переменным исходной задачи соответствуют ограничения неравенства в двойственной задаче.

9. Неограниченным по знаку переменным исходной задачи соответствуют ограничения вида равно двойственной задачи.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами или просто двойственными задачами.

Составление двойственной задачи можно осуществить по следующему алгоритму.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу, т.е., если исходная задача решается на максимум, то все неравенства системы ограничений привести к виду «< », если на минимум – к виду « ≥ ». Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.

2. Составить расширенную матрицу системы А₁, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в целевой функции.

3. Найти матрицу А ^т _1, транспонированную к матрице А₁.

4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы А ^т₁ и условий неотрицательности и неограниченности по знаку переменных.

Пример 1. Построить двойственную задачу к исходной:

Z = x₁ + x₂ + x₃ => min

x₁ + 2x₂ + x₃ ≥ 9

2x₁ + x₃ ≥ 4

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0.

Последовательность решения задачи.

1. В исходной задаче целевая функция минимизируется, знаки всех неравенств « ≥ ». Поэтому можно сразу приступить к построению двойственной задачи.

В исходной задаче целевая функция минимизируется, поэтому в двойственной она будет максимизироваться.

В исходной задаче все ограничения имеют вид « ≥ », поэтому в двойственной все ограничения будут иметь вид « < ».

В исходной задаче два ограничения, поэтому в двойственной будет две переменных у₁ и у₂.

Объемы ограничений исходной задачи будут коэффициентами при переменных в целевой функции двойственной задачи.

Коэффициенты при переменных в целевой функции исходной задачи будут объемами ограничений двойственной задачи.

Оба ограничения исходной задачи имеют вид неравенства, поэтому на две переменные двойственной задачи будут наложены условие неотрицательности, т.е. у₁ ≥ 0, у₂ ≥ 0.

2. Составим расширенную матрицу системы:

2. 1 2 1 9

A₁ = 2 0 1 4

…………..

1 1 1 Z

3. Найдем матрицу А^т₁, транспонированную к А₁.

1 2 1

2 0 1

А^т₁ = 1 1 1

---------------

9 4 F

4. Сформулируем двойственную задачу:

F = 9y₁ + 4y₂ => max

y₁ + 2y₂ < 1

2y₁ < 1

y₁ + y₂ < 1

. у₁ ≥ 0, у₂ ≥ 0.

Пример 2. . Построить двойственную задачу к исходной:

Z = -x₁ + 2x₂ => max

2х₁ - х₂ ≥ 1

-х₁ + 4х₂ < 24

х₁ - х₂ < 3

х₁ + х₂ ≥ 5

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Последовательность решения задачи.

1. Так как исходная задача решается на максимум, то приведем все неравенства системы ограничений к виду «< », для чего обе части первого и четвертого неравенства умножим на -1.

Получим:

-2 х₁ + х₂ < - 1

-х₁ + 4х₂ < 24

х₁ - х₂ < 3

-х₁ - х₂ < -5

2. Составим расширенную матрицу системы.

-2 1 -1

-1 4 24

A₁ = 1 -1 3

-1 -1 -5

-----------------

-1 2 Z

3. Найдем матрицу А^т₁, транспонированную к А₁.

-2 -1 1 -1 -1

1 4 -1 -1 2

А^т₁ = --------------------------

-1 24 3 -5 F

4. Сформулируем двойственную задачу.

F = -у₁ + 24у₂ + 3у₃ - 5у₄ => min

-2у₁- у₂+ у₃- у₄≥ -1

у₁+ 4у₂- у₃- у₄ ≥ 2

у₁≥ 0, у₂ ≥ 0, у₃ ≥ 0, у₄≥ 0.

Пример 3. Построить двойственную задачу к исходной:

Z = x1 - 2x2 + x3 - x4 + x5 => min

х1 - 2х2 + х3 + 3х4 - 2х5 = 6

2х1 + 3х2 - 2х3 - х4 + х5 < 4

х1 + 3х3 - 4х5 ≥ 8

х₁ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₅ ≥ 0;

х₂ и х₄ не имеют ограничения знака.

Последовательность решения задачи.

1 Умножим второе неравенство системы на -1. Так как целевая функция исходной задачи минимизируется, то все ограничения задачи должны иметь знак >.

В исходной задаче число ограничений три, поэтому в двойственной будет три переменных у₁, у₂, у₃.

В исходной задаче пять переменных, поэтому в двойственной будет пять ограничений.

В исходной задаче на переменные х₁, х₃, х₅наложены условия неотрицательности, поэтому в двойственной задаче первое, третье и пятое ограничения будут неравенствами.

В исходной задаче переменные х₂и х₄не имеют ограничения знака, поэтому в двойственной задаче второе и четвертое ограничения будут уравнениями.

Второе и третье ограничения исходной задачи – неравенства, поэтому на переменные у₂и у₃в двойственной задаче будет наложено условие неотрицательности: у₂≥ 0, у₃ ≥ 0.

Первое ограничение исходной задачи – уравнение, поэтому переменная у₁в двойственной задаче – без ограничения знака.

2 Составим расширенную матрицу системы.

1 -2 1 3 -2 6

-2 -3 2 1 -1 -4

A₁ = 1 0 3 0 -4 8

---------------------------------------

1 -2 1 -1 1 Z