7. Дробно-линейное программирование

Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.

Задача дробно-линейного программирования в общем виде записывается следующим образом:

при ограничениях

,

где с_j, d_j, b_i, a_ij – постоянные коэффициенты.

.

Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования

при ограниченияхдробный линейный программирование

Будем считать, что .

Математическая модель задачи дробно-линейного программирования может быть использована для определения рентабельности затрат на производство изделий, рентабельности продаж, затрат в расчете на рубль выпускаемой продукции, себестоимости изделий.

Пример 1. Для производства двух видов изделий A и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Известно время обработки каждого из изделий и затраты, связанные с производством одного изделия.

Тип оборудования	Затраты времени на обработку одного изделия, ч
	А	В
I	2	8
II	1	1
III	12	3
Затраты на производство одного изделия, тыс. руб.	2	3

Оборудование I и III типов предприятие может использовать не более 26 ч и 39 ч соответственно, оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4 ч.

Определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть х₁ – количество изделий вида А, которое следует изготовить предприятию, х₂ – количество изделий вида В. Общие затраты на их производство составят (2х₁+3х₂) тыс. руб., а средняя себестоимость одного изделия будет равна

.

Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях

.

Задачу дробно-линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования и решить симплексным методом.

Обозначим

при условии

и введем новые переменные . Тогда задача примет вид

при ограничениях

После нахождения оптимального решения полученной задачи, используя вышеуказанные соотношения, находят оптимальное решение исходной задачи дробно-линейного программирования.

Пример Решить задачу дробно-линейного программирования симплексным методом.

при ограничениях

.

Решение. Сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Сначала введем дополнительные переменные, чтобы привести задачу к каноническому виду:

при ограничениях

.

Обозначим ,,.

Тогда задача принимает вид

при ограничениях

.

Решим полученную задачу симплекс-методом. Введем дополнительную переменную, чтобы получить единичный базис:

при ограничениях

.

Составляем симплекс-таблицу.

Базис	План						z
	0	-10	4	1	1	0	0
	0	-10	1	4	0	1	0
z	2	8	3	2	0	0	1
L	-2M	-8M	-3M-2	-2M-1	0	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца. Результат шага запишем в таблицу. Аналогично будем повторять шаги.

Базис	План						z
	5/2	0	31/4	7/2	1	0	5/4
	5/2	0	19/4	13/2	0	1	5/4
	1/4	1	3/8	1/4	0	0	1/8
L	0	0	-2	-1	0	0	M

Базис	План						z
	10/31	0	1	14/31	4/31	0	5/31
	30/31	0	0	135/31	-19/31	1	15/31
	4/31	1	0	5/62	-3/62	0	2/31
L	20/31	0	0	-3/31	8/31	0	M+10/31

Базис	План						z
	2/9	0	1	0	26/135	-14/135	1/9
	2/9	0	0	1	-19/135	31/135	1/9
	1/92/3	1	0	0	-1/27	-1/54	1/18
L		0	0	0	11/45	1/45	M+1/3

Получили решение

, ,,.

Тогда, возвращаясь к исходным переменным, получим:

, ,.