Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования (11), (12), предполагая, что система ограничений (12) содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и и- функции непрерывные вместе со своими частными производными

max(min) (14)

(15)

Данную задачу называют задачей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных называемых множителями Лагранжа, составляютфункцию Лагранжа

(16)

находят частные производные и рассматривают системуn+mуравнений

(17)

с n+mнеизвестнымиВсякое решение системы уравнений (17) определяет точкув которой может иметь место экстремум функции. Следовательно решив систему уравнений (17), получают все точки, в которых функция (14) может иметь экстремальные значения.

Алгоритм метода множителей Лагранжа

Этап 1.Составляем функцию Лагранжа.

Этап 2.Находим частные производные от функции Лагранжа по переменными приравниваем их нулю.

Этап 3.Решаем систему уравнений (17), находим точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

Этап 4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находим такие, в которых достигается экстремум, и вычисляем значения функции (17) в этих точках.

Задача 2. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производствеизделий 1 способом затраты равныруб., а при изготовленииизделий 2 способом они составляютруб.. Определить сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы затраты на производство продукции были минимальными.

Целевая функция для поставленной задачи имеет вид

min при условиях.

Этап 1. Составляем функцию Лагранжа

.

Этап 2.Вычисляем частные производные пои приравниваем их нулю:

Этап 3.Решая полученную систему уравнений, находим

Этап 4.Сделав замену в целевой функции, получим функцию от одной переменной, а именно

Вычисляем или, откуда имеем. Значение целевой функции равно 17278 руб

Задания для самостоятельной работы

1. Решить задачи линейного программирования графическим методом, симплексным методом с искусственным базисом, методом Гомори

.Задача №.1	Задача №.2
Задача №.3	Задача №.4
Задача №.5	Задача №.6
Задача №.7	Задача №.8
Задача №.9

2. Решить симплексным методом с естественным базисом

Вариант 1 ,	Вариант 2 ,
Вариант 3 ,	Вариант 4 ,
Вариант 5 ,	Вариант 6 ,
Вариант 7 ,	Вариант 8 ,
Вариант 9 ,	Вариант 10 ,
Вариант 11 ,	Вариант 12 ,

Ответы: 1) 2)3)4)5)6)

7) 8)9)10)11)