Определение. Если существует предел отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента x, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной
функции в точке x |
|
f (x) . |
|
|
lim |
|
|
|
x 0 |
x |
|
Обозначения: y , |
f (x) |
или dy , |
df . |
|
|
dx |
dx |
Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
156
157
158
159
Геометрический смысл производной
f(x0+x)
f(x)осьвращенияMx
f(x0+x)-f(x0)
0 '0
x
x+
x
0 0
161
162
163
Касательная и нормаль
Определение. Касательной к графику функции в точке
М0(x0, y0 ) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0.
|
Уравнение |
касательной к графику функции в точке М0(x0, |
|
y0): |
|
y y0 f (x0 )(x. x0 ) |
|
Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью.
Уравнение |
|
нормали к графику функции в точке М0(x0, y0): |
|||
|
|||||
|
|
y y0 |
1 |
(x |
x0 ) |
|
|
f (164x0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное исчисление
Задача . Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. В момент времени t+ t количество вещества будет (t+ t), т.е. за промежуток времени (t, t+ t) количество прореагировавшего вещества
= (t + t) – (t).
Средняя скорость химической реакции за интервал времени t будет равна / t. Чтобы найти скорость химической реакции в данный момент времени t надо устремить t к нулю, то есть
v(t) lim |
(t t) (t) |
(t) |
t 0 |
t |
|
Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет скорость химической реакции.
165