Производная функции
Определение. Если существует предел отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента x, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной
функции в точке x
|
lim |
f (x) . |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
Обозначения: y , |
f (x) |
или |
dy |
, |
df . |
|
|
|
dx |
|
dx |
Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
287 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Физический смысл производной
Производная y lim y характеризует скорость xx 0
изменения функции в зависимости от изменения аргумента (скорость процесса в любой момент времени).
С геометрической точки зрения дифференциру- емость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.
288 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Геометрический смысл производной
f(x0+x)
f(x)осьвращенияMx
f(x0+x)-f(x0)
0 '0
x
x+
x
0 0
289 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Касательная и нормаль
Определение. Касательной к графику функции в точке
М0(x0, y0 ) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0.
|
Уравнение |
касательной к графику функции в точке М0(x0, |
|
y0): |
|
y y0 f (x0 )(x. x0 ) |
|
Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью.
Уравнение |
|
нормали к графику функции в точке М0(x0, y0): |
||||
|
||||||
|
|
y |
y0 |
|
1 |
(x x0 ) |
|
|
f (290x0 ) |
||||
|
|
|
|
|
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
|
|
|
|
|
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Односторонние производные
Определение. Если функция y = f (x) определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0 и существует
lim |
f (x) |
f (x0) |
|
f (x |
|
0) f (x ) |
|
|
|
||||||
x x0 0 |
x |
x0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
то он называется производной от функции |
в точке |
||||||
x0 слева, а |
f (x) |
f (x0) |
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x |
0) f (x |
) |
|||
|
|
||||||
x x0 0 |
x |
x0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|||||
производной в той же точке справа.
291 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке)
Функция y = f (x) имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) .
Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке)
Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.
292 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Правила
дифференцирования
Теорема 3. Пусть f (x) и g (x) дифференцируемые
функции и с константа, тогда справедливы соотношения
1. [c f (x)] = c f (x) .
2. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x) .
3. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x) + f (x) g (x) .
4. f (x) |
|
|
f (x)g(x) |
f (x)g (x) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
2 |
(x) |
|||||
g(x) |
|
|
|
||||||
293 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от 25.11.2009 |
Правила дифференцирования
Теорема 4. (Производная сложной функции) Пусть функция g (x) имеет производную в точке x0, функция f (g) имеет производную в точке g0 = g (x0) . Тогда функция f(g(x)) будет иметь производную в точке x0 и справедливо
соотношение f (g(x)) f (g(x)) g (x) .
Теорема 5. (Производная обратной функции) Пусть
y = f -1(x) обратная функция к функции x = f (y), имеющей производную в точке y0, причем f (y0) 0. Тогда обратная функция y = f -1(x) имеет производную в точке x0 = f (y0) ,
|
f 1 |
(x0 ) |
|
1 |
|
|
f 1 (x0 ) |
|
1 |
|
|
причем |
f ( y0 ) |
или |
f ( f |
1 |
(x0 )) . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
294 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
||||
Правила дифференцирования
|
Теорема 6. (Производная функции, заданной параметрически) |
|
Если функция аргумента x задана параметрически: |
x (t)
y (t), t ,
где (t) и (t) – дифференцируемы, причем (t) 0 , то производная этой функции по переменной x вычисляется по формуле
yx |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
, x= (t). |
. |
|
|
t |
|
|
|
295 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
Правила
дифференцирования
Пусть функция у = f (x) задана уравнением F (x, y) = 0, не разрешенным относительно y. В этом случае говорят, что функция y задана неявно.
Пусть уравнение F (x, y) = 0 задает y как неявную функцию от x, т. е. y = f (x). Предположим, что функция y дифференцируема. Если в уравнении F (x, y) = 0 под y подразумевать функцию y (x), то это уравнение обращается в тождество по аргументу x: F (x, y (x)) = 0.
|
Для нахождения производной y (x) нужно |
|
продифференцировать по x обе части, помня, что y есть функция от |
|
x, и затем разрешить полученное новое уравнение относительно |
|
искомой производной. Как правило, она будет зависеть от x и y: y |
|
(x) = (x, y). |
296 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |