Дифференциал функции
Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение можно представить в виде
f (x) A x o( x) .
Определение. Линейная часть приращения функции, то есть
A x называется дифференциалом функции f(x).
Обозначение: d f(x).
Теорема 1. (Критерий дифференцируемости функции)
Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f (x).
297 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
Геометрический смысл дифференциала
y 
f (x + x)
f(x)
|
f (x) |
|
df(x) |
|
|
|
|
|
|
dx= x |
x + x x |
0 |
x |
|
Вспомним, что f (x) есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке x, то df будет катетом, который противолежит углув треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение dx = x.
На рисунке нарисован и отрезок f(x), так что видно отличие f(x) и df(x).
298 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
Правила
дифференцирования
1.d сf (x) с df (x).
2.d f g df dg .
3.d f g g df f dg .
4. f |
|
g df f dg . |
||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
g |
2 |
|
|||
g |
|
|
|
|||
5. Инвариантность формы первого |
||||||
дифференциала. |
|
f (g)dg |
||||
d f (g(x)) |
||||||
299 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
1. С
2. x n
x
1/x
3. a x
Таблица производных
Функция |
Производная |
0
n x n-1
1
2
x
x12
ax ln a
300 |
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление |
|
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 |
Пусть функция |
y f |
множестве D x |
и |
этого множества.
.
x определена на
x0 - предельная точка
|
|
|
A lim f x . |
|
|
Возможны 3 случая: |
|
|
|||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
1) |
Предел А существует, в то время как |
в |
||
|
точке |
не определена. |
|
f x |
|
|
2) |
x |
|
|
, но |
Предел0А существует, существует и |
|||||
|
3) |
Предел0 |
А существует и |
|
f x0 |
|
существует, |
||||
А f x . |
|
|
|
||
|
причем |
f x0 |
|
|
|
|
А f x0 |
. |
|
301
Элементарные функции делят на два класса: алгебраические и трансцендентные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется алгебраической, если ее
значение можно получить из аргумента и действительных чисел с помощью конечного числа алгебраических операций (т.е. сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в степень с рациональным показателем. Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.
Алгебраические функции делят на рациональные и иррациональные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическая функция называется рациональной, |
|||||||||
если среди действий, которые производятся над независимой |
|
||||||||
переменной, отсутствует извлечение корня. Функция не являющаяся |
|||||||||
рациональной называется иррациональной. |
|
|
|
|
|
||||
Рациональные функции бывают двух видов: |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
целые рациональные (многочлены) |
y P (x) |
, |
||||
P |
(x) a xn a xn 1 |
a xn 2 a |
|
x a |
n ; |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
n |
0 |
дробные рациональные (рациональные дроби) |
|
|||||
|
1 |
2 |
n 1 |
|
|
n |
|
||
y Pn (x) Pm (x)
302
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией
называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:
1)степенные: y = xr (r )
2)показательные: y = ax (a > 0, a 1)
3) |
логарифмические: y = logax (a > 0, a 1) |
||
4) |
тригонометрические: |
y = sinx, |
y = cosx, |
y = tgx, y = ctgx |
|
|
|
5) |
обратные тригонометрические: y = arcsinx, |
||
y = arccosx, y = arctgx, |
y = arcctgx |
|
|
303
Аналитический способ заключается в том, что зависимость между переменными величинами задаётся с помощью формулы, указывающей, какие действия надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее ему значение функции.
При этом функция может быть задана как одной формулой, например,
f (x) |
4 x2 |
|
1 x 2 , |
если x 0, |
|||
|
|
|
|
0, |
если |
x 0, |
|
так и несколькими формулами, например |
g(x) |
||||||
|
1, |
если |
x 0. |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Табличный способ заключается в том, что зависимость между переменными задают с помощью таблицы. Хорошо известны, например, таблицы логарифмов, тригонометрических функций.
Графический способ состоит в том, что соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика функции. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек (х, у) плоскости XOY, координаты которых связаны соотношением y = f(x). Так, графики вышеназванных функций: f(x) и g(x)
y |
y |
2 |
1 |
x
2 |
0 |
2 |
x |
|
|
|
304 |
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).
2) табличный;
3) графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции
y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)).
График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».
4) словесный.
305
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
Пусть X,Y – множества произвольной природы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ(функции). Если x X поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то
говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y.
Записывают: f: X Y, y = f(x)
(где f – закон, осуществляющий соответствие)
Называют: X – область (множество) определения функции
x (x X) – аргумент (независимая переменная)
Y – область (множество) значений
y (y Y) – зависимая переменная (функция)
306
307