Методички / Г.К. Барабошкина Погрешности измерений физических величин

1

Погрешности измерений физических величин.

«Наука начинается там, где начинаются измерения»

Д.И. Менделеев

1.Приборы и принадлежности: тела, штангенциркуль, микрометр.

2.Цель работы: - ознакомиться с методами обработки результатов измерений;

-определить объём тел и рассчитать погрешности прямых и косвенных измерений.

3.Подготовка к лабораторной работе:

-изучить данное методическое указание;

-ответить на контрольные вопросы.

4.Теоретическое введение

4.1 Задачи измерений

Каждому физическому объекту присущ ряд свойств, большинство из которых удобно выражать числами. Например, для определения объёма цилиндра необходимо знать его линейные размеры: высоту и диаметр.

Измерением какой-либо физической величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина отличается от соответствующей величины, принятой за эталон.

Различают два вида измерений: прямые и косвенные.

Прямыми называются такие измерения, при которых производится сопоставление меры и объекта. Например, измеряют высоту и диаметр цилиндра с помощью штангенциркуля или микрометра и т.п.

При косвенных измерениях физическая величина определяется на основании формулы, устанавливающей ее связь с величинами, найденными прямыми измерениями. Например, объём цилиндра вычисляют по формуле

2

V = π 4d 2 h ,

где h – высота, d – диаметр.

Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую погрешность. При проведении опыта могут возникнуть две ситуации:

1)результаты измерений во всех опытах повторились с той точностью, которую допускает наш измерительный прибор;

2)каждое отдельное измерение дало свой, несколько отличный от

других измерений результат. Например, измерялся диаметр цилиндра:

а) штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, результат – 8,3 мм.

б) микрометром с ценой деления 0,01 мм, результаты (в мм) – 8,36; 8,33; 8,31; 8,39; 8,37.

Несмотря на то, что в первом случае получено одно постоянное значение, совершенно очевидно, что качество измерений второй серии выше – они точнее.

Независимо от того, имеем ли мы дело с прямыми или косвенными измерениями, нам необходимо знать допускаемую при измерениях погрешность, т.е. найти, насколько измеренная величина отличается от ее истинного значения. Для этого указывается интервал возможных значений измеряемой величины.

Итак, задача измерений заключается как в нахождении самой величины, так и в оценке допущенной погрешности.

4.2 Типы погрешностей

Погрешности измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые.

Систематические погрешности Xсист обусловлены факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений.

Например, температурное удлинение измеряемого тела и линейки. Систематические погрешности могут возникнуть также при неисправности прибора. Поэтому все измерительные приборы систематиче-

ски поверяют относительно приборов с надежными показателями. Вклад в систематические погрешности вносит также и инструмен-

тальная или приборная погрешность ∆Xпр, которая определяется чувст-

3

вительностью прибора. При отсутствии таких данных за приборную погрешность принимают цену или половину цены наименьшего деления шкалы прибора.

Случайные погрешности ∆Xсл вызваны одновременным действием многих факторов, которые невозможно учесть. Большинству измерений сопутствуют случайные погрешности, отличающиеся тем, что при каждом повторном измерении они принимают другое, заранее не предсказуемое значение. Существует много величин (например, колебание напряжения в сети), обладающих тем свойством, что значения их случайным образом меняются от испытания к испытанию и не могут быть указаны точно. Как правило, случайные погрешности незначительны. Исключить их нельзя, но учесть можно. Правила определения случайных погрешностей изучаются в теории погрешностей – математической дисциплине, основанной на законах теории вероятностей. Ниже мы несколько подробнее познакомимся с некоторыми положениями этой теории, необходимыми для простейшей математической обработки результатов измерений.

Грубые погрешности или промахи – ошибочные измерения, значительно отличающиеся от ожидаемого результата. В частности, они могут возникнуть из-за невнимательности экспериментатора. Основной способ их устранения – особая тщательность и внимание во время работы. При обнаружении грубых погрешностей их исключают из результатов измерений.

Итак, полная или абсолютная погрешность ∆Χ будет включать в себя систематическую и случайную погрешности:

4.3 Элементы теории случайных погрешностей

Из вышеизложенного видно, что при проведении измерений необходимо указать если не истинное, то хотя бы наиболее вероятное значение измеряемой величины и возможные отклонения ∆Χ от нее в ту или другую сторону.

Вероятность того, что истинное значение Χист измеряемой величины Χ окажется в интервале

Χ −∆Χ < Χист < Χ +∆Χ ,

называется доверительной вероятностью или надежностью.

4

Величина ∆Χ называется доверительным интервалом, Χ - среднее арифметическое измеряемой величины.

4.3.1 Среднее арифметическое значение измеряемой величины

В первом приближении за оценку истинного значения результата измерений принимают среднее из всех величин, полученных при измерении. Обычно для этого пользуются средним арифметическим:

n

∑Χi

где Xi– результат i-го измерения, n – число измерений.

4.3.2 Средняя квадратическая погрешность

Существует несколько способов оценки случайной погрешности. Наиболее распространена оценка с помощью средней квадратичной погрешности.

Проведем несколько серий измерений величины Xi, каждый раз вычисляя Χ . Окажется, что средние арифметическиеΧ каждой серии измерений будут несколько отличаться друг от друга. Чтобы учесть этот разброс, вводится средняя квадратическая ошибка среднего арифметического результата измерений. Средняя квадратическая погрешность вычисляется по формуле

4.3.3 Распределение Стьюдента

На практике число измерений при проведении эксперимента редко бывает больше 20. При обработке результатов таких измерений пользуются распределением Стьюдента. Тогда случайную погрешность ∆Χcл определяют с учетом коэффициента Стьюдента tα,n :

tα,n = Χ −SΧист .

Χ

5

Коэффициент Стьюдента показывает отклонение среднего арифметического Χ от истинного значения Xист, выраженного в долях от средней квадратичной погрешности SΧ . Коэффициент Стьюдента за-

висит от числа измерений n и от надежности α и указан в таблице.

При этом обязательно указывают надежность α и число измерений n для данного эксперимента.

6

4.4Относительная погрешность

Вбольшинстве случаев более существенную роль играет не абсо-

лютная ∆Χ, а относительная погрешность ε

которую измеряют и в относительных единицах (5.1), и в процентах

(5.2).

Пример. Измеряется какая-либо длина с точностью 1 мм. Когда речь идет о диаметре рассмотренного выше цилиндра, то относительная погрешность

ε = 8,135 100 %=12 %

будет достаточно высока.

Если с той же точностью измерять, например, аудиторию длиной 6

м, то

ε = 1 106 −3 100 %=0,016 %,

относительная погрешность будет чрезвычайно мала. Измерять с такой точностью в данном случае нет необходимости.

Приведенный пример поясняет, что указание абсолютной погрешности обычно мало говорит о действительной точности, если не сопоставить ее со значением измеряемой величины. С этой точки зрения относительная погрешность всегда дает более непосредственное представление о качестве измерений.

4.5 Расчет погрешностей косвенных измерений

Расчет погрешностей косвенных измерений производится с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина y является функцией нескольких незави-

симых переменных:

y = a b c .

Результат косвенного измерения, как и прямого, должен быть записан в виде

7

y = y ±∆y .

Среднее арифметическое значение y вычисляют, подставляя в формулу средние арифметические значения прямых измерений:

y = a b c .

Теперь необходимо найти абсолютную погрешность ∆y.

1. Пользуясь выражениями дифференциального исчисления, можно погрешность функции y от переменных a, b, c представить в виде

где ∂∂af , ∂∂fb , ∂∂fc - частные производные функций по переменным a, b, c.

Напомним, что частная производная функции многих переменных f(a,b,c) по одной переменной, например по а, является обычной производной функции по а, при этом остальные переменные b и c считаются постоянными параметрами.

2. Выше приведенная формула сохраняет вид для средней квадратичной, вероятной и средней арифметической погрешностей.

В общем виде

где ∆а, ∆b, ∆с – абсолютные погрешности величин а, b, c, вычисленные при одинаковой надежности α.

Как правило, при расчете погрешностей рассматривают самый неблагоприятный случай. Для этого все слагаемые берут со знаком плюс.

Вычисляют относительную погрешность искомой величины:

где εа, εb, εc – относительные погрешности соответствующих прямых измерений, взятые в относительных единицах.

Находят абсолютную погрешность (доверительный интервал) при заданной надежности α:

5.Экспериментальная часть

5.1Измерение линейных размеров тел и определение всего объема

Для измерения линейных размеров тел используют различные измерительные приборы. Выбор того или иного прибора зависит от размеров измеряемых тел и необходимой точности измерений.

Наиболее распространенными приборами для измерения длин являются штангенциркуль, микрометр и микроскоп.

Приступая к определению линейных размеров тела, необходимо:

1.Определить цену деления измерительного прибора.

2.Проверить исправность прибора и определить начальное показание прибора при отсутствии измеряемого тела.

3.Произвести не менее пяти раз измерение всех параметров тела, входящих в формулу объема тела (длину, ширину, высоту для параллелепипеда, диаметр и высоту для цилиндра и т.д.).

4.В зависимости от количества параметров тела заполняем столько же таблиц для расчета погрешностей.

5.Рассчитывают погрешность, допускаемую при измерении каждой величины.

6.По средним значениям измеренных величин вычисляют объем тела.

7.Рассчитывают абсолютную и относительную погрешность при определении объема тела.

8.Окончательный результат записывают в виде

V =V ±∆V .

9

5.2 Расчет погрешностей прямых измерений

Прямым измерением физических величин называются измерения, производимые непосредственно с помощью измерительных приборов.

Обработка результатов прямых измерений физической величины (X) производится в следующем порядке:

1. Результат каждого из n – измерений записывают в таблицу (X1, X2, …, X).

∆Χ1 = Χ −Χ1

∆Χ2 = Χ −Χ2

........................

∆Χi = Χ −Χi .

n

Проверить, чтобы ∑∆Χi =0 .

i=1

4.Вычисляют квадраты погрешностей отдельных измерений ∆Χ i2 .

5.Определяют среднюю квадратическую погрешность результата измерений:

6.Для заданной надежности α и числа производимых измерений n оп-

ределяют коэффициент Стьюдента tα,n (значение α задается преподавателем).

7.Рассчитывают случайную погрешность ∆Χсл = tα,n δx .

8.Определяют приборную погрешность ∆Χпр, равную половине или цене деления шкалы прибора.

9.Если случайная погрешность ∆Χсл сравнима с погрешностью прибора ∆Χпр, то абсолютную погрешность измеренной величины ∆X (гра-