Методички / Н.Н. Демидова Определение момента инерции физического маятника
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к лабораторной работе №16 для студентов всех направлений
Составители Н.Н. Демидова Н.И. Конышева
Утверждено на заседании кафедры Протокол №
Рекомендованы к печати методической комиссией направления Протокол №
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 1999
1
Определение момента инерции физического маятника
1.Цель работы : ознакомление с методом экспериментального определения момента инерции физического маятника.
2.Приборы и принадлежности: физический маятник, секундомер, линейка.
3.Подготовка к лабораторной работе: прочитать в [1] §§ 16,142, ответить на вопросы в конце методических указаний.
4. Теоретическая часть
Физическим маятником называется любое тело, которое под действием силы тяжести может совершать колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С тела. Если линия действия силы тяжести проходит через ось
вращения О, то тело находится в равновесии (рис.1а). Отклоним тело из положения равновесия на угол α. Сила тяжести будет создавать вращающий момент М, равный
M = mgb = mgbSinα (1)
где d – плечо силы тяжести, b – расстояние от оси
колебаний до центра масс. |
|
Согласно второму закону |
|
Ньютона для вращательного |
|
движения M = I å |
(2) |
где |
|
|
|
. .. |
|
I - момент инерции маятника относительно оси колебаний, |
|||||
|
ε |
. |
å= |
ù = á |
. |
|
|
- угловое ускорение, |
|
|
|
Тогда |
I á = −mgmSiná |
|
(3) |
||
2
где знак “-” указывает на то, что угол α отсчитывается от положения равновесия, а момент силы тяжести стремится вернуть тело в положение равновесия.
Уравнение (3) является дифференциальным уравнением второго порядка, которое можно записать в виде
|
|
mgb |
|
|
|
|
(4) |
|
|||||
α + |
|
|
|
|
|
|
|
Sin α = 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
I |
|
− 6 o )S in α ≈ α |
|
||||||
При малых углах отклонения ( α ≤ 5 |
в |
||||||||||||
радианах и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgb |
|
|
|
(5) |
|
|||
α |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
α = 0 |
|
|
||
|
|
|
I |
|
|
|
|
||||||
Уравнение (5) идентично дифференциальному уравнению |
|||||||||||||
гармонических колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
S = ω 2 S = 0 |
|
||||||||||||
где S - величина, периодически изменяющаяся со временем при |
|||||||||||||
гармонических колебаниях, |
|
ω- |
циклическая частота гармонических |
||||||||||
колебаний, равная ω = |
|
|
|
2 |
π |
|
, где T - период гармонических колебаний. |
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
||||||||
Сравнивая уравнения (5) и (6), получим, что циклическая частота ω |
|||||||||||||
гармонических колебаний физического маятника равна |
|
||||||||||||
|
|
ω = |
|
|
m g b |
(7) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
Тогда период Т колебаний физического маятника будет определяться |
|||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
(8) |
|
|
|
|
T = 2π |
|
|||||||||
|
|
|
mgb |
|
|
||||||||
Таким образом, мы установили, что при малых колебаниях (малых углах отклонения, малых амплитудах) и в отсутствии сил сопротивления, трения физический маятник совершает гармонические колебания, период
которых связан с параметрами колебательной системы (m, I , b=0c) соотношением (8).
Из этого соотношения видно, что, зная массу m маятника, расстояние от оси колебаний до центра масс и определив экспериментально время одного колебания (Т - период колебаний), можно рассчитать момент инерции I колеблющейся системы относительно оси колебаний.
|
mgb |
2 |
(9) |
|
I = |
|
T |
||
4π2 |
|
|
||
3
5. Описание установки
На рис. 2 представлена схема
используемого |
в работе |
физического |
маятника. Он |
состоит |
из цилиндра |
массой m 1 и радиусом основания R , |
||
стержня длиной L и массой |
m 2 и двух |
|
грузов в виде тонких дисков массой m 3 каждый, которые можно закрепить на
стержне |
в нужном положении. Ось |
|
колебаний |
маятника |
проходит через |
точку O . |
Грузы m 3 |
располагают на |
стержне симметрично на расстояния “a” от центра масс Ccт стержня (точка А).
Рассчитаем величины m и b, входящие в формулу (9):
m = m 1 + m 2 + 2 m 3
Для нахождения расстояния b от оси колебаний до центра масс
маятника проведем ось ox с началом в оси колебаний (в точке O). Известно, что координата центра масс механической системы находится по
формуле |
|
|
|
|
|
∑ m i x i |
|
|
|
|
|
(10) |
|||
|
|
|
X c |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∑ m i |
|
|
|
|
|
|
||||||
где xi - координата центра масс i -го тела. В нашем случае |
|
|
|||||||||||||
X1 = O, X 2 |
= |
L |
+ R , |
|
X 3 |
= |
L |
|
+ R − a , X 4 = |
L |
+ R + a , |
||||
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в (10), получаем |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(m 2 + |
2m 3 )( |
+ R ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(11) |
||||||||||
|
b = X c = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда видно, что "b" не зависит от положения грузов m 3 ( , , a '' ) при
их симметричном расположении относительно середины стержня A , т.е. b
= const.
4
Подставляя (11) в (9), получаем рабочую формулу для экспериментального определения момента инерции физического маятника.
I |
э |
= |
gT 2 |
|
|
|
L |
+ R) |
(12) |
||||
|
4 |
ð |
2 (m 2 + 2m 3 )( |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для удобства расчетов обозначим через K следующее выражение |
|||||||||||||
|
|
|
|
g ( m 2 |
+ 2m 3 )( |
L |
|
+ R ) |
(13) |
||||
|
|
|
|
||||||||||
K |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4π 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где K - постоянная для данного физического маятника величина. Тогда
I э = K T 2 |
(14) |
Период колебаний физического маятника, а значит и его момент инерции зависят от положения грузов m 3 на стержне, т.е. от значения
величины "a". Найдем эту зависимость I=f(a) в явном виде. Для этого рассчитаем момент инерции физического маятника теоретически. Так как момент инерции механической системы - величина аддитивная, то момент инерции маятника равен сумме моментов инерции всех составляющих его тел:
IT = I1 + I2 + I3 + I4
I1 = |
|
|
1 |
|
m1R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- момент инерции цилиндра; |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
I = |
|
|
1 |
m L2 + m |
2 |
( |
L |
|
+ R)2 |
- момент инерции стержня, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
определенный по теореме Штейнера; |
|
|||||||||||||
I3 = m3 |
( |
L |
|
|
+ R |
− a)2 |
|
|
- |
момент |
инерции |
тонких дисков |
m 3 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые можно принять за материальные |
||||||||
I4 = m3 |
( |
L |
|
+ R |
+ a)2 |
|
|
точки. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
I |
|
= |
m R2 + |
m L2 +(m |
+2m )( |
|
+R)2 +2m a2 |
(15) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
12 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
IT =I10 +2m3a2 |
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||||||||
где |
I10 = 1 m1R2 + |
1 |
m2L2 +(m2 + 2m3 )(L |
+ R)2 - момент инерции |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
маятника при a=0, т.е. при расположении грузов m 3 в точке A. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Из Формулы (16) видно, что момент инерции физического маятника |
|||||||||||||||||||||||||||
линейно |
|
|
зависит |
|
от |
a2. |
|
Эта зависимость |
проверяется в |
работе |
||||||||||||||||||||
экспериментально.
5
6. Практическая часть
1. Заполните табл. 1 |
и рассчитайте по формуле (13) постоянную |
|||||
физического маятника k . |
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
|
|
|
|
||
m2 |
m3 |
|
L |
R |
K |
|
Кг |
кг |
|
м |
М |
k г m 2 c - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Поместите оба груза m 3 в середине стержня (a=0). Отклоните
маятник на угол ≤ 5 - 6° и определите время t десяти полных колебаний маятника. Повторите опыт 5 раз, рассчитайте <t> и период колебаний
T = |
< t > |
. По формуле |
(14) рассчитайте момент |
инерции |
маятника. |
||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данные занести в табл. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
a2 |
|
|
|
T |
|
|
<t> |
|
T |
|
IЭ |
C M |
|
|
C M 2 |
|
|
|
C |
|
|
C |
|
C |
|
kг m 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Измените положение грузов m 3 |
на стержне и для четырех, указанных в |
||||||||||||||
таблице значений “a”, повторите измерения и расчеты, описанные в пункте
2.
4. Постройте график зависимости I=f( a2 ). Сделайте вывод о соответствии полученного графика формуле (16).
6
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Какой маятник называется физическим, математическим?
2.При каких условиях физический маятник совершает гармонические колебания?
3.Выведите формулу для периода колебаний физического маятника.
4.Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона для вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Почему этот закон используется для вывода периода колебаний физического маятника?
5.Что такое центр масс механической системы и как определяется положение центра масс?
6.Сформулируйте теорему Штейнера, как она используется в данной
работе?
7.Почему величина "b" - расстояние от оси колебаний до центра масс физического маятника при симметричном положении грузов m 3
относительно середины стержня не зависит от величины “a”- расстояние от центров масс грузов m 3 до середины стержня?
Ли т е р а т у р а
1.Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. шк., 1990.- 478 с.
7
Составители
Н.Н. Демидова Н.И. Конышева
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к лабораторной работе №16 для студентов всех направлений
Редактор З.М. Савина
ЛР № 020313 от 23.12.96
Подписано в печать 11.09.01. Формат 60×84/16 Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 0,50. Тираж 100 экз. Заказ Кузбасский государственный технический университет.
650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.
Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4 А.