Климанов Дозиметрическое планирование лучевой ч2 2008

поверхность водного фантома (РИП) при измерении глубинного распределения; deff – эффективная глубина равная

где rpl(z′) – радиологическая длина пути вдоль оси ТЛ до глубины точки интереса (x′, y′, z′) ; R0 – первоначальный остаточный пробег;

Rr – остаточный пробег при входе протона в пациента.

Внеосевой член считается совпадающим с поперечным распределением плотности потока, которое возникает из радиальной светимости, создаваемой протонами, распространяющимися вдоль оси ТЛ. Это распределение берется гауссовским:

вычисляемое как сумма квадратов вкладов от источника, от каждого модифицирующего пучок устройства и от пациента. Нормализация распределения производится через интегрирование дозы по бесконечной площади одинаково взвешенных ТЛ, т.е. моделируя открытый пучок или, другими словами, возвращаясь к дозовому распределению открытого пучка.

8.4.2. Суммирование вкладов от всех тонких лучей

Дозовое распределение для конкретного пучка выражается в виде интеграла по всем ТЛ, которые могут создать свой вклад. При выполнении этой операции приближенно принимается, что внеосевое расстояние ТИ относительно ТЛ можно брать в плоскости, перпендикулярной к оси пучка (которая фактически имеет небольшой наклон относительно оси ТЛ). В системе координат с центром в источнике и осью z вдоль центральной оси падающего пучка доза в ТИ

(x,y,z) равна:

141

где Φ(x,y) – распределение флюенса падающего пучка протонов; C(x′, y′, z) – центрально-осевое дозовое распределение ТЛ, падающего

в точку (x′, y′) , с учетом поправки на закон обратных квадратов.

Интеграл (2.64) берется аналитически при существенных упрощениях. В общем случае проводится суммирование вкладов от индивидуальных ТЛ, находящихся в площади интегрирования. В работе [36] площадь интегрирования определяется в полярной системе координат. На рис. 2.23 показаны две расчетных сетки, как они видятся из источника. Как следствие, каждый ТЛ при суммировании считается имеющим конечную площадь (врезка на рис.2.23), равную

где δθ = 360о/nθ – угловой интервал круговой области ТЛ вокруг ТИ; σip,n – стандартное отклонение распределения Гаусса для n-го ТЛ и i-го

модуляционного элемента на глубине ТИ; r′иr′′ – радиус граничной дуги подсекции, занимаемой n-м ТЛ; fn – вес площади n-го ТЛ. Если ТЛ пересекается с устройством, ограничивающим пучок, вес площади берется равным 0,5.

Рис. 2.23. Две расчетные сетки для двух точек интереса ( для наглядности nθ = 8 и nr = 3), как они видятся из источника [36]

142

эффективная глубина ТИ для i-го модуляционного элемента; wi – вес i-го модуляционного элемента; OARi – внеосевое отношение для ТИ и i-го модуляционного элемента.

Член глубинной дозы берется точно таким же, как и в алгоритме ТЛ (2.61). При расчете OAR влияние на пенумбру любого устройства, ограничивающего пучок, определяется расстоянием максимального приближения ε луча, соединяющего виртуальный источник с ТИ, к краю устройства (рис. 2.24).

Спроектированное расстояние pde до края устройства равно

где pde является положительным в открытой области устройства и отрицательным в блокированной области.

Апертурный трансмиссионный фактор PTFk, который характеризует влияние k-го ограничивающего устройства на широкий пучок, обусловленное рассеянием вдоль расстояния pdek , находится из формулы:

где erf – стандартная функция ошибок; σtot – полное стандартное отклонение гауссовского распределения профиля ТЛ от источника к ТИ.

144

оси z. Выберем правую систему координат с началом в точке входа протонов в среду, оси x и y в плоскости перпендикулярной к оси пучка.

Центральная величина в теории Мольера – характеристический угол χс распределения однократного рассеяния. Мольер в своей теории не делает никаких предположений о гомогенности среды. Дези [39] высказывает идею о возможности учета негомогенностей в виде слоев с помощью допущения зависимости плотности среды от z. Идя по этому пути, характеристический угол χс в гетерогенной слоистой геометрии среды можно определить по следующей формуле:

где wj – атомная доля j-й компоненты материала среды;

ρ(z) – плотность среды, независящая от координат x и y; NA – число Авогадро; re – классический радиус электрона; τ – кинетическая энергия частицы в единицах массы покоя протона; m/M – отношение масс покоя электрона и протона; Zj, Aj – атомный номер и вес j-й компоненты материала.

Введем теперь характеристический угол многократного Кулоновского рассеяния θМ, равный

где B – масштабный параметр, интерпретируемый как мера эффективного числа столкновений от глубины 0 до z и рассчитываемый по формуле

Угол χa, который вводится для учета эффекта экранирования ядра атомными электронами, определяется из выражения

где

146

где α – постоянная тонкой структуры; β – скорость протона, деленная на скорость света; kHF и uj – поправочные коэффициенты [39].

При расчете “срез за срезом” вдоль оси z интегралов (2.72) и (2.76) удобнее работать с проекциями углового распределения на плоскость, нормальную к оси пучка. В силу того, что распределение Мольера справедливо для небольших углов рассеяния, пространственные отклонения вдоль осей x и y имеют такие же распределения, как углы рассеяния Мольера, спроектированные на плоскости x-z и y-z. Так как рассеяние одинаково для x и y, то оба пространственных распределения имеют одинаковый параметр ширины.

В аппроксимации Хэнсона [42] в распределении Мольера, представляющего разложение в ряд, оставляется только первый гауссовский член. При этом, однако, характеристический угол θM заменяется на немного меньший характеристический угол θH. Рассеяния по направлениям осей x и y являются независимыми с одинаковой характеристической шириной z·θH. Таким образом, распределение пространственного отклонения на плоскости, перпендикулярной к оси пучка, описывается в форме гауссиана

в который теперь введена поправка на большие углы рассеяния за счет замены θM на θH равная

Текущая энергия протонов, необходимая для определения τ(z) в уравнении (2.73) на i-м шаге интегрирования, рассчитывается в приближении непрерывного замедления по формуле

147

где S(m) – тормозная способность протонов после шага интегрирования ∆z(m) на глубине z(m) в материале (m); Ei – перед шагом интегрирования.

В принципе плотность среды может зависеть и от координат x и y, однако этот случай не покрывается уравнениями (2.73) – (2.80). В методе ASPB не рассматриваются также все устройства линии пучка. Расчет θH начинается с момента падения протонов на пациента (или фантом). Тем не менее, учет выше лежащих по пучку устройств можно выполнить способом, примененном в работе [36] (см. предыдущий раздел), т.е. суммируя квадраты геометрических вкладов от каждого устройства.

Рассмотрим теперь параллельный пучок протонов с энергией E с прямоугольным сечением, нормально падающий на плоскую границу среды. Ось z направим параллельно направлению распространения пучка, и начало координат выберем на границе облучаемой среды. Пусть распределение флюенса падающих на среду протонов имеет гауссовское распределение, не обязательно симметричное по полю облучения, в виде

где (x0, y0) – точка пересечения центральной Гауссовской оси с плоскостью z = 0; σx и σy – стандартные отклонения по направлениям x и y, определяемые устройствами, находящимися на линии пучка (см. предыдущий раздел).

Аппроксимируем падающий пучок множеством ТЛ. При прохождении протонов через среду доза в произвольной точке (x′, y′, z′) создается суперпозицией вкладов от отдельных ТЛ,

обусловленных рассеянными протонами, имеющими Мольеровское распределение Ψ(x − x′, y − y′, z; E). Расчет этой дозы производится с

помощью свертки в поперечном направлении, которая выполняется по площади поля на входе пучка в облучаемую среду:

достаточно широкого пучка протонов с энергией E (чтобы существовало поперечное равновесие рассеянного излучения), нормированное на единичный флюенс. Оно определяется экспериментально или рассчитывается (см. раздел 7 настоящей главы).

148

Для интеграла (2.82), не смотря на его простой вид, трудно найти аналитическое решение из-за возможной поперечной неоднородности плотности среды. Однако если предположить слоистую геометрию негомогенной среды (плотность зависит только от координаты z), то можно использовать уравнения (2.73) – (2.79). В этом случае получается достаточно простое решение [40]:

В уравнениях (2.84) и (2.85) lu и Lu (lu < Lu) являются x и y координатами углов прямоугольного поля на поверхности среды.

В клинической ситуации облучаемый объем совсем не обязательно организован в виде слоистой геометрии, и тогда описанный выше алгоритм не может, строго говоря, применяться. В этом случае возможно использовать методику разделения поля пучка на отдельные небольшие непрерывные участки. Они должны выбираться так, чтобы примыкающие к этим участкам парциальные объемы среды можно было бы аппроксимировать последовательностью гомогенных слоев, состоящих из одного материала. Тогда полная доза в произвольной точке (x,y,z) находится через суммирование вкладов от парциальных пучков, рассчитываемых по формуле (2.83). Этот подход, как указывается, например, в работах [42,43], является хорошей аппроксимацией для небольших глубин и негомогенностей с большим поперечным сечением.

10. Аналитическая модель Улмера

В. Улмер в работе [44] разработал новый более строгий подход к решению задачи распространения протонов в различных средах, позволивший получить аналитические выражения для расчета с

149

высокой точностью ряда важных характеристик протонных пучков. Рассмотрим кратко основные результаты этой работы.

10.1. Интегрирование уравнений Ланджевина и Бете – Блоха

В большинстве работ, посвященных разработке методов расчета дозовых распределений от пучков протонов, используется феноменологическое правило Брэгга–Клемана для связи между пробегом протонов и их начальной энергией (2.26). Это соотношение получено в приближении непрерывного замедления протонов и имеет вид

где α и p – эмпитические коэффициенты, значения которых зависят от материала среды и подбираются подгонкой под экспериментальные данные.

В. Улмер в работе [44] показал, что правило Брэгга–Клемана, а также E(z) и dE(z)/dz можно получить, интегрируя нерелятивистское уравнение Ланджевина (классическое уравнение движения с потерей энергии из-за трения). Релятивистское расширение обобщенного уравнения Ланджевина приводит к следующей формуле:

где A – постоянная, значение которой для воды находится из условия, что при E0 → 0 формулы (2.87) и (2.86) должны давать одинаковые

значения. Отсюда получилось [44], что A= 0, 00259 см/(МэВ)p. Учитывая, что первоначальная энергия протонов в лучевой терапии

E0 << 2Mc2 релятивистский вклад можно рассматривать как

поправочные члены.

В результате интегрирования уравнения Ланджевина В. Улмером [44] найдены также формулы для E(z) и dE/dz:

1+ 2(RCSDA − z)1/ p /(Mc2 A1/ p

Однако прежде чем применять формулу (2.89) для дозиметрического планирования в ней необходимо учесть флуктуации потерь энергии.

150