Емелянов Лекции по основам електрослабой 2007

Чтобы обеспечить инвариантность лагранжиана относительно преобразований (2.66), введем калибровочный бозон и ковариантную производную (Dμ):

При μ2 < 0 происходит спонтанное нарушение симметрии с ваку-

калибровочный параметр в (2.66) следующим образом:

В такой калибровке (она называется унитарной калибровкой) голдстоуновский бозон исчезает, и мы получаем лагранжиан

31

Куда девался голдстоуновский бозон ϕ′ ? Чтобы ответить на этот

2

вопрос, определим полное число степеней свободы лагранжианов

(2.45) и (2.73).

Таким образом, голдстоуновский бозон «поглощается» векторным бозоном, приобретающим массу. Голдстоуновский бозон формирует продольную компоненту векторного бозона.

Неабелевый механизм Хиггса

Эти результаты можно обобщить на неабелеву группу G размерности NG с генераторами Ta. Для этого введем NG калибровочных бозонов и перейдем к ковариантной производной:

При этом возникает (NG – ng) безмассовых голдстоуновских бозонов. Аналогично (2.72), параметризуем исходное скалярное поле

где Ta – ( NG – ng) нарушенных генераторов, которые не обладают свойством Tijaϕaj = 0 , a = 1,..., NG − ng . Далее нужно выбрать калиб-

32

ровочный параметр таким образом, чтобы исключить ϕaNG . В ре-

зультате получим (NG – ng) массивных калибровочных бозонов. Баланс числа степеней свободы для неабелева случая:

Владея этим «инструментарием», приступим к построению электрослабой модели элементарных частиц.

3.ЭЛЕКТРОСЛАБАЯ МОДЕЛЬ

3.1.Введение

Всоответствии с результатами, полученными в разделе 2, можно сформулировать следующие принципы построения калибровочных теорий.

1.Выбрать калибровочную группу с NG генераторами.

2.Добавить NG векторных полей (калибровочных бозонов) в определенном представлении калибровочной группы.

3.Выбрать представление (обычно фундаментальное представление) для полей материи – элементарных частиц.

4.Определить ковариантную производную и записать наиболее общий перенормируемый лагранжиан, инвариантный относительно группы G и содержащий все поля.

5.Сдвинуть скалярные поля таким образом, чтобы минимум потенциала соответствовал ненулевому вакуумному среднему.

6.Проверить перенормируемость полученного лагранжиана и с помощью этого лагранжиана получить экспериментальные предсказания.

7.Сравнить с экспериментальными данными. В случае расхождений между теорией и экспериментом вернуться к пункту 1.

33

С другой стороны, электромагнитный (векторный) ток не смешивает эти компоненты:

Наконец, (V-A) фермионный слабый ток в терминах спиральных состояний

т.е. в заряженных слабых взаимодействиях фермионы участвуют своими левыми компонентами.

3.3. Выбор калибровочной группы

Какая калибровочная группа могла бы объединить электромагнитные и слабые взаимодействия? Начнем с обсуждения заряженных слабых токов лептонов. Поскольку электронные и мюонные лептонные квантовые числа сохраняются по отдельности, то лептоны l (e,μ, τ) должны принадлежать отдельным представлени-

ям калибровочной группы. С помощью соотношения

γμ (1 − γ5 ) = 1 (1 + γ5 )γμ (1 − γ5 ) 2

и (3.9) получаем для слабого лептонного тока:

Введем левый изоспиновый дублет (T=1/2)

где T3 = +1/2 и T3 = –1/2 соответствуют левым компонентам нейтрино и заряженного лептона. Если считать нейтрино безмассовыми (возможные массовые члены для нейтрино обсуждаются ниже), то правые компоненты нейтрино отсутствуют, и правая компонента заряженного лептона образует слабый изоспиновый синглет (T = 0):

При этом заряженный слабый ток (3.10) можно записать в терминах лептонных изоспиновых токов:

35

где τi – матрицы Паули. В явном виде

Таким образом, слабый заряженный ток (3.10), связанный с промежуточным векторным бозоном Wμ− , можно переписать через J1 и J2:

Чтобы учесть третий (нейтральный) ток J3, определим гиперзарядный ток

Заметим, что ни T3, ни Q не коммутируют с T1,2. Однако «заряды», связанные с токами Ji и JY:

T i = ∫ d 3 xJ0i ,

(3.20)

Y = ∫ d 3 xJ0Y

удовлетворяют алгебре группы SU (2)L ×U (1)Y – прямого произведения групп SU (2)L и U (1)Y :

T i ,T j = iεiijkT k

(3.21)

T i ,Y = 0,

36

а также известному соотношению Гелл-Манна– Нишиджимы, связывающему электрический заряд (Q), третью компоненту изоспина и гиперзаряд:

Следуя соотношению (3.22), можно определить слабый гиперзаряд дублета (YL = –1) и фермионного синглета (YR = –2).

Теперь мы можем последовать рецепту построения калибровочной теории, сформулированному в начале раздела 2.

Выбираем в качестве кандидата на калибровочную группу электрослабых взаимодействий группу SU (2)L ×U (1)Y . Далее вводим

калибровочные поля, соответствующие каждому генератору калибровочной группы:

SU (2)L → Wμ1, Wμ2 , Wμ3

(3.23)

U (1)Y → Bμ .

Тензоры (2.20), (2.31) для калибровочных полей имеют вид:

Wμνi ≡ ∂μWνi − ∂νWμi + gεijkWμjWνi ,

(3.24)

Bμν ≡ ∂μ Bν − ∂ν Bμ ,

поэтому часть свободного лагранжиана теории, относящаяся к калибровочным полям:

Для лептонов свободный лагранжиан с помощью определений (3.11) и (3.12) приобретает вид

Напомним, что массовый член (3.7) для фермионов смешивает правые и левые компоненты фермионов и нарушает калибровочную инвариантность.

Следующий шаг – введение связи между фермионом и калибровочным бозоном посредством ковариантной производной:

37

Обратимся теперь к нейтральной части лагранжиана (3.29), содержащей как левые, так и правые компоненты

Заметим, что токи удовлетворяют соотношению Гелл-Манна– Нишиджимы:

Чтобы получить правильную комбинацию полей, связанных с электромагнитным током, проведем вращение нейтральных полей, определив новые поля A и Z:

При этом

Wμ3 = sin θW Aμ + cos θW Zμ ,

(3.41)

Bμ = cos θW Aμ − sin θW Zμ ,

где θW – угол Вайнберга, а соотношения между константами связи относительно групп SU(2)L и U(1)Y имеют вид:

В терминах новых полей нейтральная часть фермионного лагран-

жиана (3.37)

39