Емелянов Лекции по основам електрослабой 2007

при подстановке (2.11) становится калибровочно-инвариантным:

После того как мы ввели калибровочно-инвариантное описание движения частицы в электромагнитном поле, зададимся вопросом: нельзя ли обратить аргументы? Иначе говоря, если потребовать, чтобы теория была инвариантной относительно фазовых преобразований, зависящих от пространственно-временной точки, то не подразумевает ли это определенную форму взаимодействия с калибровочным полем? Для ответа на этот вопрос рассмотрим свободный дираковский лагранжиан

где ¶ º ¶μ gμ , который неинвариантен относительно локального калибровочного преобразования

Однако если ввести «минимальным образом» калибровочное поле

21

Если при этом detU = 1 , то преобразование относится к группе Ли SU(2):

где τa, a = 1,2,3 – матрицы Паули.

В1954 г. Янг и Миллс ввели в квантовую теорию поля идею локальной калибровочной изотопической инвариантности. Различие между протоном и нейтроном весьма условно. Однако если в одной пространственно-временной точке мы выбрали, какое состояние считать протоном, а какое нейтроном, то мы уже не свободны в своем выборе в других точках. Таким образом, калибровочные параметры зависят от пространственно-временных точек:

αa → αa (x) .

В1956 г. эта идея была распространена на любую неабелеву

группу G с генераторами ta, удовлетворяющими алгебре Ли:

где Cabc – структурные константы группы.

Лагранжиан Lψ должен быть инвариантным относительно преобразований полей материи:

а Ta – некоторое представление генераторов группы G.

Введя по одному калибровочному полю на каждый генератор,

Поскольку ковариантная производная преобразуется точно так же, как поля материи: Dμψ → Ω(Dμ ψ) , то это подразумевает инвари-

антность относительно неабелевых калибровочных преобразований всех членов в лагранжиане, содержащих поля и их градиенты, если калибровочное преобразование имеет вид:

23

2.3. Спонтанное нарушение симметрии

Точные симметрии приводят к точным законам сохранения. В этом случае лагранжиан и вакуум (основное состояние) теории инвариантны относительно одной и той же группы симметрии. Однако некоторые законы сохранения (например, изоспина, странности) не являются точными. Эта ситуация описывается добавлением к инвариантному лагранжиану (Lsym) члена, нарушающего эту симметрию:

Однако возможна ситуация, когда лагранжиан и вакуум имеют разные группы симметрии. Классический пример – ферромагнетик с лагранжианом, описывающим спин-спиновые взаимодействия, которые инвариантны относительно трехмерным вращений. Для температур T > TС – температуры Кюри, спиновая система полностью разупорядочена (парамагнитная фаза). В этом случае вакуум, как и лагранжиан, SO(3)-инвариантен (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1. Намагниченность ферромагнетика

Однако для температур T < TС (в ферромагнитной фазе) происходит спонтанное намагничивание системы, возникают домены с выстроенными спинами (рис. 2.1, б). В этом случае вакуум уже неинвариантен относительно вращений из группы SO(3).

Если группа симметрии лагранжиана (взаимодействий) отличается от группы симметрии основного состояния (вакуума), то говорят о спонтанном нарушении симметрии.

Рассмотрим более подробно это явление на нескольких примерах. 1. Скалярное самовзаимодействующее вещественное поле с ла-

гранжианом

25

υ= ϕ0+ ), то симметрия спонтанно нарушена, так как L инвариантен относительно (2.40), а вакуум – неинвариантен.

Определим новое поле ϕ′ , сдвинув «старое» поле на величину

υ= −μ2 / λ :

сматривать малые осцилляции относительно вакуума. Перепишем лагранжиан в виде:

Этот лагранжиан описывает скалярное поле ϕ′ с вещественной по-

ложительной массой mϕ′ = −2μ2 , но из-за наличия слагаемого ϕ′3

–с другой симметрией.

2.Интересные явления возникают при спонтанном нарушении непрерывной симметрии. Рассмотрим следующий пример – заряженное самовзаимодействующее скалярное поле с лагранжианом:

Лагранжиан (2.45) инвариантен относительно глобального фазового преобразования

Если переписать комплексное поле в терминах двух вещественных полей:

то лагранжиан (2.45) будет иметь вид:

Этот лагранжиан инвариантен относительно SO(2) вращений

27

Как видно из (2.51), имеется два скалярных поля ϕ1 и ϕ2 с массой m2 = μ2 > 0 .

При μ2 < 0 существует континуум различных вакуумов при

Эти вакуумы инвариантны относительно SO(2). Симметрия же при выборе одного из вакуумов оказывается спонтанно нарушенной. Выберем, например, конфигурацию

+слагаемые со взаимодействием.

Определим теперь спектр состояний скалярного поля ϕ′ с вещест-

1

левому собственному значению массовой матрицы, а в

направлении ϕ′ производная положительна.

1

28

2.4. Теорема Голдстоуна

Пример, рассмотренный выше, связан с теоремой Голдстоуна: если точная непрерывная глобальная симметрия нарушена, то теория содержит по одной безмассовой скалярной частице на каждый нарушенный генератор первоначальной группы симметрии.

Докажем эту теорему.

Пусть лагранжиан содержит NG вещественных скалярных полей ϕi, образующих NG-мерный вектор Φ:

Предположим, что G – непрерывная группа симметрии лагранжиана, а вектор Φ преобразуется следующим образом:

Поскольку потенциал инвариантен относительно группы G, то вариация

Из-за произвольности калибровочных параметров αa получаем NG уравнений

для всех a = 1,… NG. Вычисляем вторую производную от (2.60):

Вакуумное состояние Φ = Φ0 минимизирует потенциал

29