Теории / Садовский М.В. Лекции по статистической физике (2000)
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(1.57) |
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¥à¥©¤¥¬ ª ¬ã ¯®áâ஥¨î äãªæ¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï § - ¬ªã⮩ à ¢®¢¥á®© á¨á⥬ë7. ¯¥à¢ë¥ ¢¨¤ â ª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤«®¦¨«¨¡¡á. áᬮâਬ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì § ¬ªãâëå í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®- ¢ ëå á¨á⥬ á ¯®áâ®ïë¬ ®¡ê¥¬®¬ V , â.¥. á ¬¡«ì á¨á⥬ á ¯®áâ®ïë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ N, 室ïé¨åáï ¢ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®© (¢ â¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥) ®¡®«®çª¥ ¨ ¨¬¥îé¨å ®¤¨ ª®¢ãî í¥à£¨î E á â®ç®áâìî E E. «¥¤ãï ¨¡¡á㠯।¯®- «®¦¨¬, çâ® äãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (p; q) ¤«ï â ª®£® á ¬¡«ï ¯®áâ®ï ¢ á«®¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¨§®í¥à£¥â¨ç¥áª¨¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ, ᮮ⢥â- áâ¢ãî騬¨ í¥à£¨ï¬ E ¨ E + E, ¨ à ¢ ã«î ¢¥ í⮣® á«®ï:
[ (E; N; V )];1 ¯à¨ |
E |
|
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|
E + E |
|
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|
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(1.58) |
ª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ( á ¬¡«ì) §ë¢ ¥âáï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨¬. á¯à¥¤¥«¥¨¥ (1.58) ¢ëà ¦ ¥â ¯à¨æ¨¯ à ¢®¢¥à®ïâ®á⨠¬¨ªà®á®áâ®ï¨© § ¬ªã⮩ à ¢®¢¥á- ®© á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ®¬ã ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ã á®áâ®ï¨î. ªâ¨ç¥- ᪨ { íâ® ¯à®á⥩襥 ¬ë᫨¬®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥, ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ¨ ®¤® ¨§ ¬¨- ªà®á®áâ®ï¨© ¥ ï¥âáï ª ª-â® ¢ë¤¥«¥ë¬, ¢á¥ à ¢®¯à ¢ë, á¨áâ¥¬ë ¨§ á ¬¡«ï, ¢ 室¥ ᢮¥£® ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¡á®«îâ® á«ãç ©® ®ª §ë¢ îâáï â® ¢ ®¤®¬, â® ¢ ¤à㣮¬ ¬¨ªà®á®áâ®ï¨¨ ¢ ¯à¥¤¥« å á«®ï è¨à¨®©E, ¢ ª®â®à®¬ ¯à¥¡ë¢ îâ ¨å ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨. á¯à¥¤¥«¥¨¥ (1.58) ¯® áã⨠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â áâ â¨á⨪ã \¨£à «ì®© ª®áâ¨" á £à ﬨ. áâ¥á⢥®, çâ® ¢ë¢¥á⨠íâ® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨§ ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨© ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥¢®§¬®¦®, ¥£® ®¯à ¢¤ ¨¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ᮮ⢥âá⢨¥ ¥£® á«¥¤á⢨© á íªá¯¥à¨¬¥â®¬.
ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ ¢ ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¬ á ¬¡«¥ ®¯à¥¤¥«ï- ¥âáï â६ï íªáâ¥á¨¢ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ E; N; V . ®áâ â (E; N; V ) §ë¢ ¥âáï
7 ëà ¦¥¨¥ (1.56) ä ªâ¨ç¥áª¨ 㦥 ¤ ¥â ï¢ë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®¤- á¨á⥬ë, 室ï饩áï ¢ãâਠ¡®«ì让 § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ á« ¡® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 á ®ªàã- ¦¥¨¥¬. ®¡á㦤¥¨î í⮣® ¢ ¦¥©è¥£® á«ãç ï ¬ë ¢¥à¥¬áï ¨¦¥.
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®©" ª®áâ¨): |
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(E; N; V ) = |
1 |
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(1.60) |
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N!(2 h)3N |
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|
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|
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E H(p;qZ) E+ E |
|
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(p; q) = ;1(E; N; V ) (H(p; q) ; E) |
(1.61) |
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£¤¥ |
1 |
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Z dpdq (H(p; q) ; E) |
|
|
(E; N; V ) = |
|
(1.62) |
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N!(2 h)3N |
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áâ â¨, ®âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ¨¬¥¥â â ª¦¥ á¬ëá« ¯«®â®á⨠á®áâ®ï¨© |
¯®¢¥àå®- |
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á⨠¯®áâ®ï®© í¥à£¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ª¢ ⮢®¬ ¯®¤å®¤¥ ¯®¤®¡®¬ã ¯à¥¤¥«ì®¬ã ¯¥à¥å®¤ã ¬¥è ¥â ¨§¢¥á⮥ á®®â®è¥¨¥ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⥩ í¥à£¨ï{ ¢à¥¬ï: E t h. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¢á¥£¤ , ¤ ¦¥ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨, ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (1.58), ¯®¤à §ã¬¥¢ ï ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨.
® ⮬, çâ® ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¯¨áë¢ ¥â ¬ - ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ § ¬ªã⮩, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ®© á¨á⥬ë, â.¥. çâ® á।¨¥, ¢ëç¨á«¥ë¥ á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.58), ᮢ¯ ¤ îâ á ¡«î¤ ¥¬ë¬¨ § 票ﬨ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨, áãâì ®¤¨ ¨§ ®á®¢ëå ¯®áâã« - ⮢ à ¢®¢¥á®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® ¡«î¤ - ¥¬ë¥ § 票ï 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ f(p; q) ¬®¦® ¢ëç¨á«ïâì ¨ ª ª á।¨¥ ¯® ¥ª®â®à®¬ã ¢à¥¬¥¨ ¡«î¤¥¨ï, ¯à®¡«¥¬ ®¡®á®¢ ¨ï ¢®§¬®¦®á⨠§ ¬¥ë á।¨å ¯® ¢à¥¬¥¨ á।¨¬¨ ¯® ä §®¢®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã ®á¨â §¢ ¨¥ í࣮¤¨- ç¥áª®© ¯à®¡«¥¬ë. í⮩ â®çª¨ §à¥¨ï, § ¤ ç ®¡®á®¢ ¨ï ¬¨ªà®ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬ çâ®¡ë ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï § ¬ªãâëå, í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¨§®«¨à®¢ ëå á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 à ¢¥á⢮:
|
1 |
T |
1 |
|
|
|
lim |
dtf(p(t); q(t)) = |
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dpdq (p; q)f(p; q) |
(1.63) |
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N!(2 h)3N Z |
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T!1 T |
Z0 |
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¢¥áì¬ á«®¦ ¨, ¥á¬®âàï àï¤ ¢ ¦ëå १ã«ìâ ⮢, ¯®«ãç¥ëå, ¢ ®á®¢®¬ ¬ ⥬ ⨪ ¬¨, ¥é¥ ¥ à¥è¥ . ¨§¨ç¥áª¨ íâ®â १ã«ìâ â ®¡ëç® á¢ï§ë¢ îâ á íà- £®¤¨ç¥áª®© £¨¯®â¥§®© ® ⮬, çâ® ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¢ â¥ç¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ¤«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ®¡ï§ â¥«ì® ¯à®å®¤¨â ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ª «î- ¡®© § ¤ ®© â®çª¥ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ਫ®¦¥¨¨ ¬ë à áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë, ®â®áï騥áï ª í⮩ ¯à®¡«¥¬ ⨪¥ ¤®áâ â®ç® í«¥¬¥â ஬ ã஢¥. ®«¥¥ áâண®¥ à áᬮâ२¥ á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¬®¦® ©â¨
22 |
|
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¢ [10], |
ᮢ६¥®¥ á®áâ®ï¨¥ ¢®¯à®á |
¨§« £ ¥âáï ¢ [11]. ¤¥áì ¦¥ ¬ë ⮫쪮 ®â- |
¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯®á«¥¤¨¥ £®¤ë ¯à®¡«¥¬ |
®¡®á®¢ ¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¯®- |
|
«ã稫 |
®¢®¥ à §¢¨â¨¥ ¢ á¢ï§¨ á ®âªàë⨥¬ ஫¨ áâ®å áâ¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠|
|
(å ®â¨§ 樨) ¤¢¨¦¥¨ï ¢ 楫®¬ à拉 ¯à®áâëå ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ á ¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë [14]. ª § «®áì, çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ¨¥ ï¥âáï ᮢ¥à襮 ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤«ï â ª¨å á¨á⥬, ª®â®àë¥ á ¯¥à¢®£® ¢§£«ï¤ ª ¦ãâáï ¢¯®«¥ \à¥è ¥¬ë¬¨" ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢®¯à®áë í«¥¬¥â ஬ ã஢¥ â ª¦¥ à áᬠâਢ îâáï ¢ ਫ®¦¥¨¨ . í⮬ á¬ëá«¥, á ᮢ६¥®© â®çª¨ §à¥¨ï âॡ®¢ ¨¥ ¡®«ì讣® ç¨á« á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¢®¢á¥ ¥ ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï ¢¢¥¤¥¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢, ¡¥§ ¨å ¥«ì§ï ®¡®©â¨áì ¨ ¢ ¤®áâ â®ç® \¯à®áâëå" á¨á⥬ å, £¤¥ ᮢ¥à襮 ⨯¨çë¬ ï¢«ï¥âáï ªà ©ïï çã¢á⢨⥫ì®áâì ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ª ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¢¥¤ã- é ï ª ¥ãá⮩稢®á⨠¨ § ¯ãâ ®á⨠ª àâ¨ë ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥.à¥á«®¢ãâë© « ¯« ᮢ᪨© ¤¥â¥à¬¨¨§¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¨««î§®àë¬ ¤ ¦¥ ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ â ª¨å á¨á⥬.
áâ¨çë¥ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï .
¨¥ ®¡é¥© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (1.6), § ¢¨áï饩 ®â ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥- ëå ¢á¥å N ç áâ¨æ ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì à §«¨çë¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨- á⨪¨ á¨á⥬ë. ¯à¨¬¥à ¯«®â®áâì ¢¥é¥á⢠¢ â®çª¥ r, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, à ¢
(t; r) = Z ^(r) (t; r1; :::; pN)dr1:::dpN |
(1.64) |
£¤¥ ^(r) { ®¯¥à â®à ¯«®â®á⨠(§¤¥áì 㤮¡® ¢¢¥á⨠®¯¥à â®àë 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¤ ¦¥ ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥):
|
N |
|
|
|
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(1.65) |
|
|
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|
|
|
£¤¥ mi { ¬ áá i-© ç áâ¨æë. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¯«®â®áâì ¯®â®ª |
(¨¬¯ã«ìá ) ¢ |
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â®çª¥ r à ¢ : |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
J(r) = Z J(r) (t; r1; :::; pN)dr1:::dpN |
(1.66) |
|||
^ |
|
|
|
|
£¤¥ J(r) { ®¯¥à â®à ¯«®â®á⨠¯®â®ª : |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
^ |
|
|
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(1.67) |
J(r) = |
i=1 |
|
||
|
X |
|
|
|
«®â®áâì ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ¢ â®çª¥ r à ¢ : |
|
|||
^ |
|
|
|
|
E(t; r) = Z E(r) (t; r1; :::; pN)dr1:::dpN |
(1.68) |
|||
|
23 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£¤¥ E(r) { ®¯¥à â®à ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨: |
|
|
|
|
|
|
|
|
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N |
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|
|
|
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|
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|
|
|
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( |
r |
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(1.69) |
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i=1 |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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X |
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|
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|
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|
|
|
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«ï § à殮ëå ç áâ¨æ ¬®¦® ¢¢¥á⨠¥é¥ ¨ ¯«®â®áâì í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⮪ : |
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j |
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r |
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r |
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|
|
p |
|
r |
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|
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(t; |
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|
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(1.70) |
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^ |
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(1.71) |
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|
|
|
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|
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ãªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï (t; r1; :::; pN) ï¥âáï äãªæ¨¥© ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥áª®- ¥ç®£® ç¨á« à£ã¬¥â®¢. ¤ ª® ¯à¨ ¢ëà ¦¥¨¨ ¬ ªà®¢¥«¨ç¨ ç¥à¥§ ¬¨ªà®å - à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯® ®¡é¥© ä®à¬ã«¥
r |
^ r |
r |
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p |
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A( ) (t; |
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1; :::; |
|
N)d 1:::d |
N |
(1.72) |
б«¥¤г¥в гз¥бвм, зв® ¯®¤ ¢«пой¥¥ ¡®«ми¨бв¢® ®¯¥а в®а®¢ д¨§¨з¥бª¨е ¢¥«¨з¨, ¯а¥¤бв ¢«пой¨е ¨в¥а¥б, ¯а¥¤бв ¢«повбп ¢ ¢¨¤¥:
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j); |
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|
|
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â.¥. ¢ëà ¦ îâáï á㬬®© ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ⮫쪮 ®¤®© ç áâ¨æë (®¤®ç áâ¨çë¥ ®¯¥à â®àë). áâ묨 á«ãç ﬨ â ª¨å ¢¥-
J^ ^ ^j
«¨з¨ п¢«повбп а бᬮва¥л¥ ¢ли¥ ®¯¥а в®ал ^, , E ¨ . гй¥бв¢¥® а¥¦¥ ¢бва¥з овбп ®¯¥а в®ал ¤¢гез бв¨з®£® в¨¯ :
^ |
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1 |
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p |
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; |
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i=j A( |
i; j; |
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i; |
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(1.74) |
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(1.75) |
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®í⮬㠢 ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢ ¬, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¥ âॡã¥âáï § âì ¯®«ãî N-ç áâ¨çãî äãªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥¨ï
FN (t; r1; :::; pN) (t; r1; :::; pN); |
(1.76) |
24 |
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§ ¢¨бпйго ®в ¤¨ ¬¨з¥бª¨е ¯¥а¥¬¥ле £а®¬ ¤®£® з¨б« |
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F2(t; ri; rj; pi; pj) äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ª®â®àë¥ ã¤®¡® ®¯à¥¤¥«¨âì á«¥¤ãî騬 |
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F2(t; ri; rj; pi; pj) = |
(1.78) |
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FN (t; r1; :::; pN)dr1:::dri |
1dri+1:::drj |
; |
1drj+1:::drNdp1 |
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; |
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|
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Fs(t; r1; :::; rs; p1; :::; ps) = V s Z FN (t; r1; :::; pN)drs+1:::drNdps+1:::dpN: |
(1.79) |
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|
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Fs(t; r1; :::; ps) = |
1 |
Z Fs+1(t; r1; :::; ps+1)drs+1dps+1: |
(1.81) |
V |
ᯮ«ì§®¢ ¨¥ â ª¨å äãªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì á।¨¥ § ç¥- ¨ï ®¤®ç áâ¨çëå, ¤¢ãåç áâ¨çëå ¨ â.¤. ®¯¥à â®à®¢ 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨. ¯à¨- ¬¥à, ¤«ï ¬ ªà®¢¥«¨ç¨ë, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ (1.73), ¨¬¥¥¬:
|
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(1.88) |
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(1.90) |
@t |
ந⥣à¨à®¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ (1.90) ¯® ä §®¢ë¬ ¯à®áâà á⢠¬ N ; s ç áâ¨æ, á ãç¥- ⮬ (1.79), ¯®«ãç ¥¬:
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(1.91) |
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¦¥©è¥© ®á®¡¥®áâìî ãà ¢¥¨ï (1.93) ï¥âáï â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï s-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᮤ¥à¦¨â ç«¥, ª®- â®àë© á¢ï§ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨§ s ç áâ¨æ á ®á⠫쮩 ç áâìî N-ç áâ¨ç®© á¨áâ¥¬ë ¨ § ¢¨áï騩 ®â s + 1-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï Fs+1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï ç áâ¨çëå äãª- 権 à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¬ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ¯®à®¦¤ ¥¬ ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠨⥣à®- ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ç áâ® ¨¬¥ã¥¬ãî 楯®çª®© ®£®«î¡®¢ . ਠáâà®- £®¬ ¯®¤å®¤¥ á«¥¤®¢ «®-¡ë à¥è âì ¢áî íâã 楯®çªã ãà ¢¥¨©, çâ®, à §ã¬¥¥âáï, ¨ç¥¬ ¥ «¥£ç¥, 祬 à¥è âì ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ã¢¨««ï ¤«ï N-ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨
26 |
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ç¥áª¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥¨© 㤠¥âáï \®¡®à¢ âì" íâã ¡¥áª®¥çãî 楯®çªã ª®¥ç®¬ |
ç¨á«¥, ¢ëà §¨¢ ¯à¨¬¥à Fs ç¥à¥§ Fs,Fs;1 ¨ â.¤. ®£¤ |
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s ãà ¢¥¨© ¤«ï F1,F2,...,Fs. ç áâ®áâ¨, ®á®¡ë© ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®«ã票¥ |
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§ ¬ªã⮣® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¤®ç áâ¨ç®© äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨¤ : |
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âà¨æ ¯«®â®áâ¨.
® á¨å ¯®à ¬ë à áᬠâਢ «¨ ª« áá¨ç¥áªãî áâ â¨áâ¨ç¥áªãî ¬¥å ¨ªã, ¢ ª®â®à®© á®áâ®ï¨¥ á¨áâ¥¬ë ®¯¨áë¢ «®áì â®çª®© (p; q) ¢ 6N-¬¥à®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ª®®à¤¨ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢á¥å ç áâ¨æ, í¢®«îæ¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï« áì ãà ¢¥¨- ﬨ ¬¨«ìâ® . ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ â ª®¥ ®¯¨á ¨¥ áâ ®¢¨âáï ¥¢®§¬®¦ë¬, å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, ç⮠ᮣ« á® ¯à¨æ¨¯ã ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ®¤®¢à¥- ¬¥® ®¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âã ¨ ¨¬¯ã«ìá ª¢ ⮢®© ç áâ¨æë. âáî¤ ïá®, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ¯®áâ஥¨¥ á¯¥æ¨ «ì®£® ¯¯ à â ª¢ ⮢®© áâ â¨áâ¨- ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. ¬¥ç ⥫ì®, ®¤ ª®, çâ® ®á®¢ë¥ ¯®«®¦¥¨ï ¬¥â®¤ ¨¡¡á ®áâ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¨ ¯à¨ ª¢ ⮢®¬ ¯®¤å®¤¥.
¨áâë© á ¬¡«ì.
ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ á®áâ®ï¨¥ ¬®£®ç áâ¨ç®© á¨áâ¥¬ë ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢®«®¢®© äãªæ¨¥© (x1; :::; xN; t), § ¢¨áï饩 ®â ¢à¥¬¥¨ ¨ ª®®à¤¨ â ç áâ¨æ x1; :::; xN (¨«¨ ®â ¤à㣮© á¨áâ¥¬ë ®¤®¢à¥¬¥® ¨§¬¥à¨¬ëå ¢¥«¨ç¨, ¯à¨¬¥à ¨¬¯ã«ìᮢ). ¢®- «îæ¨ï á®áâ®ï¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ।¨£¥à :
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(1.95) |
¯à¨¬¥à, ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ N ®¤¨ ª®¢ëå ç áâ¨æ á ¬ áᮩ m, ¥ ®¡« ¤ îé¨å ¢ã- â२¬¨ á⥯¥ï¬¨ ᢮¡®¤ë ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¬¥¦¤ã ᮡ®© á ¯®¬®éìî ¯ à-
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(t) = e |
i |
Ht (0) |
(1.97) |
|
|
h |
|||
{ ä®à¬ «ì®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à .
¨ ¬¨з¥бª¨¥ ¯¥а¥¬¥л¥ ¢ ª¢ в®¢®© ¬¥е ¨ª¥ ¥ ¥бвм дгªж¨¨ б®бв®п¨п ¤¨ ¬¨з¥бª®© б¨бв¥¬л, ¯а¥¤бв ¢«повбп «¨¥©л¬¨ б ¬®б®¯ап¦¥л¬¨ (на¬¨в®- ¢л¬¨) ®¯¥а в®а ¬¨ ¤¥©бв¢гой¨¬¨ ¢ £¨«м¡¥ав®¢®¬ ¯а®бва бв¢¥ ¢®«®¢ле дгª- ж¨©. ¯¥ªва ¨е б®¡бв¢¥ле § з¥¨© ®¯а¥¤¥«п¥в ¢®§¬®¦л¥ § з¥¨п ¡«о¤ - ¥¬ле д¨§¨з¥бª¨е ¢¥«¨з¨. ¤ ¨¥ ª¢ в®¢®¬¥е ¨з¥бª®£® б®бв®п¨п б¨бв¥¬л , ¥ ®§ з ¥в в®з®£® § ¨п ¤¨ ¬¨з¥бª¨е ¯¥а¥¬¥ле. ¨¥ ¢®«®¢®© дгªж¨¨ (¢¥ªв®а б®бв®п¨п ¢ £¨«м¡¥ав®¢®¬ ¯а®бва бв¢¥) ¯®§¢®«п¥в ¢лз¨б«пвм «¨им ба¥¤- ¨¥ § з¥¨п ¤¨ ¬¨з¥бª®© ¯¥а¥¬¥®©, ¯а¥¤бв ¢«п¥¬®© ®¯¥а в®а®¬ A ¢ б®бв®п¨¨
: |
|
< A >= ( ?; A ) |
(1.98) |
£¤¥, ª ª ®¡ëç®, áç¨â ¥¬ ¢®«®¢ë¥ äãªæ¨¨ ®à¬¨à®¢ 묨 |
¥¤¨¨æã: |
( ?; ) = 1 |
(1.99) |
᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà -
á⢥: |
?; ) = Z dx ?(x) (x) |
|
( |
(1.100) |
|
£¤¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ®¡®§ ç ¥¬ ç¥à¥§ x ¢áî ᮢ®ªã¯®áâì ª®®à¤¨ â x1; :::; xN. |
||
¨èì ¢ ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ |
¥áâì ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï ®¯¥à â®à |
A, ä®à¬ã« |
(1.98) ¤ ¥â â®ç®¥ § 票¥ ¢¥«¨ç¨ë A ¢ á®áâ®ï¨¨ . |
|
|
®áâ®ï¨¥, ®¯¨áë¢ ¥¬®¥ ¢®«®¢®© äãªæ¨¥© §ë¢ ¥âáï ç¨áâë¬ á®áâ®ï¨¥¬.®®â¢¥âáâ¢ãî騩 áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© á ¬¡«ì, â.¥. ¡®«ì讥 ç¨á«® ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã- îé¨å \ª®¯¨©" ¤ ®© á¨á⥬ë, 室ïé¨åáï ¢ ¤ ®¬ ª¢ ⮢®¬ á®áâ﨨, §ë- ¢ ¥âáï ç¨áâë¬ á ¬¡«¥¬. ¨á⮥ á®áâ®ï¨¥ ( á ¬¡«ì) ¤ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì® ¯®«®¥ ®¯¨á ¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ à ¬ª å ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨.
ëà ¦¥¨ï ¤«ï á।¨å § 票© 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ç¨á⮬ á ¬¡«¥
㤮¡® § ¯¨á âì á ¯®¬®éìî ¯à®¥ªæ¨®®£® ®¯¥à |
â®à . ¯¨è¥¬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à |
A ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¥£® á ¯®¬®éìî ¬ âà¨çëå í«¥¬¥â®¢: |
|
A (x) = Z dx0A(x; x0) (x0) |
(1.101) |
|
®¤áâ ¢¨¢ (1.101) ¢ (1.98), ¯®«ã稬: |
|
|
< A >= Z dxdx0A(x; x0)P(x0; x) = Sp(AP) |
(1.102) |
|
£¤¥: |
|
|
P(x; x0) = (x) |
?(x0) |
(1.103) |
{ ¯à®¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á®áâ®ï¨¥ . ®¦® ᪠§ âì, çâ® ç¨áâë© |
á ¬¡«ì ®¯¨- |
|
áë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨®ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (1.103), |
ба¥¤¨¥ ¯® б ¬¡«о ¢лз¨б«повбп |
|
28
á ¯®¬®éìî (1.102). áâ¥á⢥®, çâ® â ª®¥ ®¯¨á ¨¥ ᮢ¥à襮 íª¢¨¢ «¥â® ®¯¨- á ¨î á ¯®¬®éìî ¢®«®¢®© äãªæ¨¨.
¬® §¢ ¨¥ ¯à¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à P ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ' ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯à®¥ªâ¨àã¥â ¥£® \ -
¯à ¢«¥¨¥" ¢¥ªâ®à : |
|
|
|
P' = Z dx0P(x; x0)'(x0) = ( ?; ') (x) |
(1.104) |
஥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à íନ⮢, çâ® ¢¨¤® ¨§ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.103): |
|
|
|
P?(x; x0) = P(x0; x) |
(1.105) |
஬¥ ⮣® ¨¬¥¥¬ ᢮©á⢮: |
|
|
|
P2 = P |
(1.106) |
çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.104) { ¯®á«¥ ®¤®© ®¯¥à 樨 ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï, ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 |
||
¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï |
⮦¥ \ ¯à ¢«¥¨¥" 㦥 ¥ ¨ç¥£® ¥ ¬¥ïîâ. ஬¥ ⮣®, ¢á¥- |
|
£¤ ¨¬¥¥¬: |
|
|
|
SpP = 1 |
(1.107) |
çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.102) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢¬¥áâ® A ¥¤¨¨ç®£® ®¯¥à â®à |
¨«¨ ¨§ |
|
®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.103) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ (1.99). |
|
|
¬¥è ë© |
á ¬¡«ì. |
|
¢ ⮢ ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª áâநâáï ®á®¢¥ à áᬮâ२ï á ¬¡«ï ¡®- «¥¥ ®¡é¥£® ¢¨¤ , ¥¦¥«¨ à áᬮâà¥ë© ¢ëè¥ ç¨áâë© á ¬¡«ì, ¨¬¥® ᬥè - ®£® á ¬¡«ï, ®á®¢ ®£® ¥¯®«®¬ ¡®à¥ ¤ ëå ® ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬¥. áᬮâਬ ¡®«ì讥 ç¨á«® ⮦¤¥á⢥ëå ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ª®¯¨© ¤ ®© á¨á⥬ë, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ 室¨âìáï ¢ à §«¨çëå ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨ïå. á¬¥è ®¬ á ¬¡«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë «¨èì ¢¥à®ïâ®á⨠w1; w2; ::: ®¡ à㦨âì á¨á⥬㠢 ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥¥ â®çëå ª¢ ⮢ëå á®áâ®ï¨ïå 1; 2; :::. ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥ § ¥¬ â®ç® ¢ ª ª®¬ ¨¬¥® ¨§ ᢮¨å ¢®§¬®¦ëå á®áâ®ï¨© á¨á⥬ ॠ«ì® 室¨âáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥ è¥ § ¨¥ ¨ ï¥âáï ¥¯®«ë¬, § ¥¬ ¬ë «¨èì 㪠-
§ ë¥ ¢¥à®ïâ®áâ¨. ¤ ª® ¨ ¢ á¬¥è ®¬ |
á ¬¡«¥ ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨æ¨¯¥, ©â¨ |
|||||
á।¥¥ § 票¥ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ A: |
||||||
|
< A >= |
|
wk( k?; A k) |
(1.108) |
||
|
|
|
k |
|
|
|
¯à¨ç¥¬ |
|
|
X |
|
|
|
|
k |
wk = 1; |
wk 0: |
(1.109) |
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|
X |
|
k?; A |
|
|
|
â® ¢ëà ¦¥¨¥ ®ç¥¢¨¤®, ¯®áª®«ìªã ( |
k) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª¢ ⮢®¬¥å ¨- |
|||||
ç¥áª®¥ á।¥¥ ®¯¥à â®à A ¢ á®áâ®ï¨¨ k. ¨áâë© á ¬¡«ì ¥áâì ç áâë© á«ãç © á¬¥è ®£®, ª®£¤ à ¢ë ã«î ¢á¥ ¢¥à®ïâ®á⨠wk ªà®¬¥ ®¤®©, à ¢®© ¥¤¨¨æ¥.®£¤ (1.108) ᢮¤¨âáï ª (1.98).
«ï ¨§ã票ï ᬥè ëå á ¬¡«¥© 㤮¡® ¢¢¥á⨠áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à, ¯à¥¤«®¦¥ë© ¥§ ¢¨á¨¬® ä®- ¥©¬ ®¬ ¨ ¤ ã. ¥à¥¬áï ª «¨¥©®¬ã ®¯¥à -
â®àã A ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ (1.101). ®¤áâ ¢«ïï (1.101) ¢ (1.108), ¯®«ã稬: |
|
< A >= Z dxdx0A(x; x0) (x0; x) |
(1.110) |
|
|
|
|
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29 |
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¨«¨ |
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< A >= Sp( A) |
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(1.111) |
||||||||||
£¤¥ |
|
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|
(x; x0) = |
X |
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k?(x0) |
|
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wk |
|
k(x) |
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(1.112) |
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k |
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|
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|
{ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à ¢ ¬ âà¨ç®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¨«¨ ¬ âà¨æ ¯«®â®- |
|||||||||||||||||||||||
áâ¨. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
x |
|
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âà¨æ |
¯«®â®á⨠§ ¢¨á¨â ®â 2N |
¯¥à¥¬¥ëå |
; :::; |
0N ¨ ¯®¤ç¨ï- |
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1; :::; N; |
01 |
|
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¥âáï ãá«®¢¨î ®à¬¨à®¢ª¨: |
|
|
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Sp = 1; |
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(1.113) |
|||||||
ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï: |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Sp = |
Z |
|
dx (x; x) = |
wk( k?; |
k) = 1 |
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(1.114) |
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k |
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|
P |
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|
|
|
|
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£¤¥ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ( |
|
k?; k) = 1 ¨ |
k wk = 1. á«®¢¨¥ (1.113) ¥áâì |
||||||||||||||||||||
«®£ ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ äãªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥- |
|||||||||||||||||||||||
᪮© ¬¥å ¨ª¥. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¯¨áì ¢ ¢¨¤¥ (1.111) 㤮¡ |
¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, çâ® è¯ãà ¬ âà¨æë ¨¢ ਠ⥠|
||||||||||||||||||||||
®â®á¨â¥«ì® ã¨â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. ®í⮬ã ä®à¬ã« |
(1.111) ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥ |
||||||||||||||||||||||
§ ¢¨á¨â ®â ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ A ¨ , ® |
á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ |
||||||||||||||||||||||
«î¡®¬, |
¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬áï ¢ëè¥ x-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ®¯¥à â®à®¢. - |
||||||||||||||||||||||
¯à¨¬¥à, ¢ ¤¨áªà¥â®¬ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
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< A >= |
Amn nm |
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(1.115) |
||||||||||
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|
|
|
|
|
|
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mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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£¤¥ Amn { ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ®¯¥à â®à |
|
|
A ¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, nm { ¬ âà¨æ |
||||||||||||||||||||
¯«®â®á⨠¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
âà¨æ |
¯«®â®á⨠(áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à) íନ⮢ : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
?(x; x0) = (x0; x) |
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|
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(1.116) |
||||||||||
çâ® á«¥¤ã¥â ¥¯®á।á⢥® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1.112). ¯®¬®éìî ¯à®¥ªæ¨®®£® |
|||||||||||||||||||||||
®¯¥à â®à |
(1.103) áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.112) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: |
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
X |
wkP k ; |
|
X |
wk = 1; |
|
wk 1 |
|
|
|
(1.117) |
||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
£¤¥ P k { ¯à®¥ªæ¨®ë© ®¯¥à â®à á®áâ®ï¨¥ |
k. ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ à ¢ë |
||||||||||||||||||||||
ã«î ¢á¥ wk, ªà®¬¥ ®¤®£®, à ¢®£® ¥¤¨¨æ¥, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.117) ¯à®áâ® |
|||||||||||||||||||||||
ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¥ªæ¨®ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (1.103). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
§ ª«î票¥ ¯®ª ¦¥¬, çâ® áâ ⮯¥à â®à ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥, â.¥. ¥ ¨¬¥¥â |
|||||||||||||||||||||||
®âà¨æ ⥫ìëå ᮡá⢥ëå § 票©. ®áª®«ìªã íନ⮢, ãá«®¢¨¥ ¯®«®¦¨â¥«ì- |
|||||||||||||||||||||||
®© ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¥£® ᮡá⢥ëå § 票© § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< A2 >= Sp( A2) 0 |
|
|
|
|
(1.118) |
|||||||||||
£¤¥ A { ¯à®¨§¢®«ìë© íନ⮢ ®¯¥à â®à. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨¢®¤ï ª ¤¨ £® «ì®¬ã |
|||||||||||||||||||||||
¢¨¤ã, çâ® ¢®§¬®¦® ¨§-§ ¥£® íନ⮢®áâ¨, § ¯¨è¥¬ (1.118) ¢ ¢¨¤¥: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
X |
nnAnkAkn |
= |
X |
nnjAnkj2 0; |
|
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(1.119) |
|||||||||||||
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|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
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