Теории / Садовский М.В. Лекции по статистической физике (2000)

¥¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®áâ îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¢® ¢à¥¬¥­¨ (⥬¯¥à - âãà , ®¡ê¥¬, ¤ ¢«¥­¨¥ ¨ â.¯.), ®¤­ ª® á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¥¥ á®áâ®ï- ­¨¥ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¬¥­ï¥âáï ¨ ¬ë ­¥ §­ ¥¬, ¢ ª ª®¬ ª®­ªà¥â­® ¬¨ªà®á®áâ®ï­¨¨ á¨á⥬ ­ 室¨âáï ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â (â.¥. £¤¥ ª®­ªà¥â­® ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ­ 室¨âáï ä - §®¢ ï â®çª ­ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨). â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¯ëâ âìáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥à®ïâ­®áâì ॠ«¨§ 樨 ᮢ®ªã¯­®á⨠¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¬¨ªà®á®áâ®ï­¨© á¨á⥬ë, ®â¢¥ç îé¨å ¤ ­­®¬ã ¥¥ ¬ ªà®á®áâ®ï- ­¨î. «¥¤ãï ¨¡¡áã, ¯à¨­ïâ® à áᬠâਢ âì ­¥ ¤ ­­ãî ª®­ªà¥â­ãî á¨á⥬ã,

!1 ¡¥áª®­¥ç­®£®!) ç¨á« ¥¥ ª®¯¨©,

­å®¤ïé¨åáï ¢ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ⮦¤¥á⢥­­ëå ãá«®¢¨ïå, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å â ª

­§ë¢ ¥¬ë© ­á ¬¡«ì ¨¡¡á , ®¯¨áë¢ î騩 ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë.

®¦¤¥бв¢¥­­®бвм ¢­¥и­¨е гб«®¢¨© ¢ ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª®¬ б¬лб«¥ ®§­ з ¥в, зв® ¢б¥ нª§¥¬¯«пал ­б ¬¡«п е а ªв¥а¨§говбп ®¤¨­ ª®¢л¬¨ §­ з¥­¨п¬¨ б®®в¢¥вбв¢го- й¨е ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª¨е ¯ а ¬¥ва®¢ (б в®з­®бвмо ¤® ¤®бв в®з­® ¬ «ле д«гªвг ж¨©) ¨ ®¤¨­ ª®¢л¬¨ в¨¯ ¬¨ ª®­в ªв®¢ б ®ªаг¦ ой¨¬¨ в¥« ¬¨ (а¥§¥а¢г а ¬¨ н­¥а£¨¨ ¨«¨ з бв¨ж, ¯®аи­п¬¨, бв¥­ª ¬¨ ¨ в.¯.). а¥§г«мв в¥ ¢®§­¨ª ов ®¯а¥¤¥«¥­­л¥ ®£а ­¨з¥­¨п ­ ª®®а¤¨­ вл ¨ ¨¬¯г«мбл з бв¨ж, ª®в®ал¥ ¢ ®бв «м­®¬ ¤®бв в®з­® ¯а®¨§¢®«м­л.

â â¨áâ¨ç¥áª¨© ­á ¬¡«ì § ¤ ¥âáï ä㭪樥© à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (p; q; t), ¨¬¥î饩 á¬ëá« ¯«®â­®á⨠¢¥à®ïâ­®á⨠à á¯à¥¤¥«¥­¨ï á¨á⥬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, â ª çâ®:

¯®бª®«мªг б㬬 ¢¥а®пв­®бв¥© ¢б¥е ¢®§¬®¦­ле б®бв®п­¨© ¤®«¦­ а ¢­пвмбп ¥¤¨- ­¨ж¥. ¬¥­­® в ª п ­®а¬¨а®¢ª дг­ªж¨¨ а б¯а¥¤¥«¥­¨п ¨б¯®«м§г¥вбп ¢ ªгаб¥ ­- ¤ г ¨ ¨ди¨ж . з¥­м з бв® ¯®«м§говбп ¤аг£¨¬ ¢ а¨ ­в®¬ гб«®¢¨п ­®а¬¨а®¢ª¨.ªв¨з¥бª¨, ¬л § а ­¥¥ ¯®­¨¬ ¥¬, зв® ª« бб¨з¥бª п бв в¨бв¨ª ¥бвм ¯а¥¤¥«м­л© б«гз © ª¢ ­в®¢®© (ª ª ¬л г¢¨¤¨¬ ¯®§¤­¥¥, нв®в ¯¥а¥е®¤ ¯а®¨б室¨в ¯а¨ ¤®бв - в®з­® ¢лб®ª¨е в¥¬¯¥а вга е, ª®£¤ ª¢ ­в®¢л¬¨ ндд¥ªв ¬¨ ¬®¦­® ¯а¥­¥¡а¥зм).§ ª¢ ­в®¢®© ¬¥е ­¨ª¨ ¨§¢¥бв­® [7], зв® ¯®­пв¨¥ ª®®а¤¨­ вл ¨ ¨¬¯г«мб ª« бб¨- з¥бª®© ¬¥е ­¨ª¨ ¬®¦­® ¢¢¥бв¨ в®«мª® ¢ а ¬ª е ª¢ §¨ª« бб¨з¥бª®£® ¯а¨¡«¨¦¥­¨п.¨­¨¬ «м­л© а §¬¥а д §®¢®© пз¥©ª¨ ¤«п ®¤­®¬¥а­®£® ¤¢¨¦¥­¨п i-© з бв¨жл ¢ ª¢ §¨ª« бб¨з¥бª®¬ ¯а¨¡«¨¦¥­¨¨ а ¢¥­ h = 2 h:3

H pdq = (n + 12 )h. ­â¥£à « §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯«®é ¤ì, ®å¢ âë¢ ¥¬ãî § ¬ª­ã⮩ ª« áá¨ç¥áª®© ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. §¤¥«¨¢ íâã ¯«®é ¤ì ­ ª«¥â®çª¨ ¯«®é ¤ìî 2 h, ¯®«ã稬 n ª«¥â®ª. ® n §¤¥áì | ç¨á«® ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨©, á í­¥à£¨ï¬¨ ­¥ ¯à¥¢ëè î騬¨ § ¤ ­­®£® ¥¥ §­ 祭¨ï,

ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à áᬠâਢ ¥¬®© âà ¥ªâ®à¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®¬ã ª¢ ­â®¢®¬ã á®áâ®ï­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª«¥âª ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯«®é ¤ìî 2 h. ᫨ ¢¢¥á⨠¢®«­®¢®© ¢¥ªâ®à ç -

áâ¨æë k = p=h, â® ¯®«ã稬 p q = k q , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥áâ­®¬ã ¢ëà ¦¥­¨î ¤«ï ç¨á«

2 h 2

ᮡá⢥­­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢®«­®¢®£® ¯®«ï [8].

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬¨­¨¬ «ì­ë© à §¬¥à ï祩ª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ®¤­®© ç - áâ¨æë à ¢¥­ h3 = (2 h)3, ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ N ç áâ¨æ ®­ à ¢¥­ (2 h)3N .

¥«¨ç¨­ (2 h)3N ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­­®© ¥¤¨­¨æ¥© ¤«ï ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ®í⮬ã

ç áâ® ¡ë¢ ¥â 㤮¡­ë¬ ¢¢¥á⨠äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ­®à¬¨à®¢ ­­ãî ­ ¥¤¨­¨æ㠯ਠ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® ¡¥§à §¬¥à­®¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã dpdq .

(2 h)3N

஬¥ ⮣®, ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ á¨á⥬ë N ®¤¨­ ª®¢ëå ç áâ¨æ á«¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¯¥à¥áâ ­®¢ª ⮦¤¥á⢥­­ëå ç áâ¨æ ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ ­¥ ¬¥­ï¥â á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë. ®áª®«ìªã ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¤«ï N ⮦¤¥á⢥­­ëå ç áâ¨æ à ¢­® N!, â® í«¥¬¥­â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ­ã¦­® 㬥­ìè¨âì ¢ N! à §, â ª ª ª ­ã¦­® ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 䨧¨ç¥áª¨ à §«¨ç­ë¥ á®áâ®ï­¨ï.

ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ç á⮠㤮¡­¥¥ ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî

{ ¡¥§à §¬¥à­ë© í«¥¬¥­â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ (1.10) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á㬬¨à®¢ ­¨î ¯® ¢á¥¬ à §«¨ç­ë¬ ª¢ ­â®¢ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ á¨á⥬ë. 4

᫨ äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (p; q; t) ¨§¢¥áâ­ , â® ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ¢ë- ç¨á«¨âì ¢¥à®ïâ­®á⨠¨ á।­¨¥ §­ 祭¨ï «î¡ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­, § ¢¨áïé¨å ®â ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å à áᬠâਢ ¥¬ãî á¨á⥬ã. ।­¥¥ §­ 祭¨¥ â ª®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë f(p; q) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

{ ä §®¢®¥ á।­¥¥. á।­¥­¨¥ á ¯®¬®éìî ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ®á¢®¡®¦¤ ¥â ­ á ®â ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠᫥¤¨âì § ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¨á⨭­®£® §­ 祭¨ï 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë f(p; q) á® ¢à¥¬¥­¥¬ á ¯®á«¥¤ãî騬 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ¥¥ á।­¥£® §­ 祭¨ï ¯® ¢à¥¬¥­¨.®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç «® ¡ë, çâ® á«¥¤ï § ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ­ 襩 ¢¥«¨ç¨­ë á® ¢à¥¬¥­¥¬ (¯à®¢®¤ï ¥¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨), ¬ë ¤®«¦­ë ¡ë«¨ ¡ë ¯®áâநâì äã­ªæ¨î f = f(t), ¯®á«¥ 祣® ¨áª®¬®¥ á।­¥¥ ®¯à¥¤¥«ï«®áì ¡ë ª ª:

{ ¢à¥¬¥­­®¥ ба¥¤­¥¥. ®®¡й¥ £®¢®ап, ¤®ª § в¥«мбв¢® нª¢¨¢ «¥­в­®бв¨ д §®¢®£® ¨ ¢а¥¬¥­­®£® гба¥¤­¥­¨п ¯а¥¤бв ¢«п¥в б®¡®© ¢¥бм¬ б«®¦­го (¨ ­¥ а¥и¥­­го ¤® ª®­ж ) ¯а®¡«¥¬г, б®бв ¢«пойго ᮤ¥а¦ ­¨¥ в ª ­ §л¢ ¥¬®© í࣮¤¨ç¥áª®© ⥮ਨ, ïî饩áï ®¤­¨¬ ¨§ à §¤¥«®¢ ᮢ६¥­­®© ¬ ⥬ ⨪¨ [10, 11]. ¯®á«¥¤­¨¥

4 ⬥⨬ § ¬¥ç ⥫ì­ë© ä ªâ, çâ® ¬­®¦¨â¥«ì N! ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ , § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥­¨ï ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨, ¢¢®¤¨« ¥é¥ ¨¡¡á, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯ à - ¤®ªá , ­®áï饣® ¥£® ¨¬ï | ¢®§à áâ ­¨ï í­âய¨¨ ¯à¨ ᬥ襭¨¨ ®¤¨­ ª®¢ëå £ §®¢ ¯à¨ ®¤¨­ ª®¢®© ⥬¯¥à âãॠ¨ ®¤¨­ ª®¢®¬ ¤ ¢«¥­¨¨ [9].

â â¨áâ¨ç¥áª ï ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì.

бᬮва¨¬ ­¥ª®в®ал¥ ¯а®бвл¥ а¥§г«мв вл ¬ в¥¬ в¨з¥бª®© бв в¨бв¨ª¨, ª®в®ал¥ ¯а¨£®¤пвбп ¢ ¤ «м­¥©и¥¬. ® ¬­®£¨е б«гз пе, § ¬ª­гв п ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª п б¨- бв¥¬ ¬®¦¥в ¡лвм \а §¡¨в " ­ ап¤ ¯®¤б¨бв¥¬, ª®в®ал¥ ¤®бв в®з­® б« ¡® ¢§ ¨¬®- ¤¥©бв¢гов ¤аг£ б ¤аг£®¬, ¨ ¢ в¥з¥­¨¥ ¤®бв в®з­® ¡®«ми¨е ¯а®¬¥¦гвª®¢ ¢а¥¬¥­¨ ¢¥¤гв б¥¡п ¯а¨¡«¨§¨в¥«м­® ª ª § ¬ª­гвл¥ б¨бв¥¬л, в.¥. п¢«повбп ª¢ §¨§ ¬ª­г- вл¬¨. в в¨бв¨з¥бª п ­¥§ ¢¨б¨¬®бвм в ª¨е ¯®¤б¨бв¥¬ ®§­ з ¥в, зв® б®бв®п­¨¥, ¢ ª®в®а®¬ ­ 室¨вбп ®¤­ ¨§ ¯®¤б¨бв¥¬, ­¨ª ª ­¥ ¢«¨п¥в ­ ¢¥а®пв­®бв¨ а §«¨з­ле

á®áâ®ï­¨© ¤àã£¨å ¯®¤á¨á⥬.

áᬮâਬ ¤¢¥ â ª¨¥ ¯®¤á¨á⥬ë, ¨ ¯ãáâì dp(1)dq(1) ¨ dp(2)dq(2) { í«¥¬¥­âë ®¡ê- ¥¬ ¨å ä §®¢ëå ¯à®áâà ­áâ¢. ᫨ à áᬠâਢ âì ᮢ®ªã¯­®áâì ®¡¥¨å ¯®¤á¨á⥬ ª ª ®¤­ã á®áâ ¢­ãî á¨á⥬ã, â® á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ­¥- § ¢¨á¨¬®áâì ¯®¤á¨á⥬ ®§­ ç ¥â, çâ® ¢¥à®ïâ­®áâì á®áâ ¢­®© á¨á⥬¥ ­ 室¨âìáï ¢

£¤¥ 12 { äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï á®áâ ¢­®© á¨á⥬ë, 1 ¨ 2 { ä㭪樨 à á¯à¥- ¤¥«¥­¨ï ®â¤¥«ì­ëå ¯®¤á¨á⥬.

®¦­® ã⢥ত âì ¨ ®¡à â­®¥ | ä ªâ®à¨§ æ¨ï ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ®§­ - ç ¥â, çâ® á¨á⥬ á®á⮨⠨§ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬. ᫨ f1 ¨ f2 { ¤¢¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë, ®â­®áï騥áï ª ¤¢ã¬ à §«¨ç­ë¬ ¯®¤á¨á⥬ ¬, â® ¨§ (1.15) ¨ (1.12) áà §ã ¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï f1f2 à ¢­® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î á।­¨å:

бᬮва¨¬ ª ªго-«¨¡® д¨§¨з¥бªго ¢¥«¨з¨­г f, ®в­®бпйгобп ª ¬ ªа®бª®¯¨з¥- бª®¬г в¥«г ¨«¨ ¥£® з бв¨. в¥з¥­¨¥¬ ¢а¥¬¥­¨ ®­ ¬¥­п¥вбп (д«гªвг¨аг¥в) ¢®- ªаг£ б¢®¥£® ба¥¤­¥£® §­ з¥­¨п < f >. ª з¥бв¢¥ ¬¥ал д«гªвг ж¨© ­¥«м§п ¢§пвм ¯а®бв® f = f; < f >, ¯®áª®«ìªã ¨§-§ ¢®§¬®¦­®á⨠ä«ãªâã 権 ®¡®¨å §­ ª®¢ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ < f >= 0. ª ç¥á⢥ â ª®© ¬¥àë ®¡ëç­® à áᬠâਢ îâ ¢¥«¨-

â ª çâ® á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­ ï ä«ãªâã æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à §­®áâìî ¬¥¦¤ã á।- ­¨¬ ª¢ ¤à ⮬ ¢¥«¨ç¨­ë ¨ ª¢ ¤à ⮬ ¥¥ á।­¥£® §­ 祭¨ï. ਠí⮬ ®â­®è¥­¨¥

¨á. 1-1 §¬¥­¥­¨¥ ­ ç «ì­®£® ®¡ê¥¬ G0 ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ®¡ãá«®¢«¥­­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ¢å®¤ïé¨å ¢ íâ®â ®¡ê¥¬ ¨§®¡à ¦ îé¨å â®ç¥ª ­á ¬¡«ï, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ⥮६®© ¨ã¢¨««ï.

¥®à¥¬ ¨ã¢¨««ï.

®§¬®¦­®áâì ¢¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª ª ¯«®â­®á⨠¢¥à®ïâ­®á⨠®á­®- ¢ ­ ­ ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï | ç¨áâ® ¬¥å ­¨ç¥áª®© ⥮६¥, ­¥ ᮤ¥à¦ 饩 ª ª¨å- «¨¡® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥­¨©. ®£« á­® í⮩ ⥮६¥ ¤«ï á¨á⥬, ¯®¤ç¨­ïî- é¨åáï ãà ¢­¥­¨ï¬ ¬¨«ìâ®­ :

ä §®¢ë© ®¡ê¥¬ á¨áâ¥¬ë ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ë¬ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥­¨ï. ® ¥áâì, ¥á«¨ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ä §®¢ë¥ â®çª¨ (p0; q0), á®áâ ¢«ïî騥 ­á ¬¡«ì ¨¡¡á , ­¥¯à¥à뢭® § ¯®«­ï«¨ ­¥ª®â®àãî ®¡« áâì ­ ç «ì­ëå §­ 祭¨© G0 ¢ ä §®¢®¬ ¯à®- áâà ­á⢥, ¢ ¬®¬¥­â t ®­¨ § ¯®«­ïîâ ®¡« áâì Gt, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä §®¢ë¥ ®¡ê¥¬ë à ¢­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©:

¨«¨, ¤«ï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå í«¥¬¥­â®¢ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ :

à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤¢¨¦¥­¨¥ ä §®¢ëå â®ç¥ª, ¨§®¡à ¦ îé¨å á¨áâ¥¬ë ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ¯®¤®¡­® ¤¢¨¦¥­¨î ­¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­

¨á.1.1 { \ª ¯«ï", ®¡à §®¢ ­­ ï ä §®¢ë¬¨ â®çª ¬¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬¨ á¨áâ¥¬ë ¨§ ­á ¬¡«ï ¬®¦¥â ª ª 㣮¤­® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥­¨ï, ­® ¥¥ ®¡ê¥¬ á®åà ­ï¥âáï.

®«ì í­¥à£¨¨, ¬¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥- ¤¥«¥­¨¥.

â ª, ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ¤«ï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨ à ¢­®¢¥á­®© á¨á⥬ë äã­ªæ¨ï à á- ¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥­¨ï, â.¥. ¢ëà ¦ - ¥âáï ç¥à¥§ â ª¨¥ ª®¬¡¨­ 樨 ¯¥à¥¬¥­­ëå p ¨ q, ª®â®àë¥ ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ § ¬ª­ã- ⮩ á¨áâ¥¬ë ®áâ îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨. ¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨­â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï § ¬ª­ã⮩ ¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬ë á s á⥯¥­ï¬¨ ᢮¡®¤ë à ¢­® 2s ; 1 [8]. «ï á¨- á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ N ç áâ¨æ, ᮢ¥àè îé¨å ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ s = 6N (ç¨á«® ¢á¥å ª®¬¯®­¥­â ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ), â ª çâ® ç¨á«® ¨­- â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥­¨ï ®£à®¬­®. ª §ë¢ ¥âáï, ®¤­ ª®, çâ® ¬®¦­® à ¤¨ª «ì­® á㧨âì ç¨á«® ¨­â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥­¨ï, ®â ª®â®àëå ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï.«ï í⮣® ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ( ­¥ ¬¥å ­¨ç¥áª¨¬¨!) á®- ®¡à ¦¥­¨ï¬¨. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï 12 ¤«ï ᮢ®ªã¯­®áâ¨

â.¥. «®£ à¨ä¬ ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ï¥âáï ¤¤¨â¨¢­®© ¢¥«¨ç¨­®©. ®®â¢¥â- á⢥­­®, «®£ à¨ä¬ ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï à ¢­®¢¥á­®© á¨áâ¥¬ë ¤®«¦¥­ ¡ëâì ­¥ ¯à®áâ® ¨­â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥­¨ï, ­® ¤¤¨â¨¢­ë¬ ¨­â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥­¨ï.

¬¥å ­¨ª¥ ¯®ª §ë¢ ¥âáï [8], çâ® ¨§ ¢á¥£® ¬­®¦¥á⢠¨­â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥­¨ï § - ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë ⮫쪮 ­¥áª®«ìª® ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¤¤¨â¨¢­®áâ¨. â® ¨­â¥- £à «ë ¤¢¨¦¥­¨ï, á¢ï§ ­­ë¥ á ®á­®¢­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¨ ¢à¥¬¥­¨ { ¥£® ®¤­®à®¤­®áâìî ¨ ¨§®âய­®áâìî: í­¥à£¨ï, ¨¬¯ã«ìá ¨ ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá 6. ¡®§­ 稬 í⨠¢¥«¨ç¨­ë ¤«ï a-© ¯®¤á¨á⥬ë ç¥à¥§ Ea(p; q), Pa(p; q) ¨ Ma(p; q). ¤¨­á⢥­­ ï ¤¤¨â¨¢­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï íâ¨å ¢¥«¨ç¨­ ¥áâì «¨­¥©­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï ¢¨¤ :

á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ a, , , , ¯à¨ç¥¬ , , ¤®«¦­ë ¡ëâì ®¤¨­ - ª®¢ë¬¨ ¤«ï ¢á¥å ¯®¤á¨á⥬ ¤ ­­®© § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë, â.ª. ⮫쪮 ¢ í⮬ á«ãç ¥

¢ë¯®«­ï¥âáï ᢮©á⢮ ¤¤¨â¨¢­®á⨠(1.55). ®íää¨æ¨¥­â a ¯à¨ í⮬ ï¥âáï ¯à®áâ® ­®à¬¨à®¢®ç­®© ¯®áâ®ï­­®©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§ ãá«®¢¨ï R d;a a = 1. ®áâ®- ï­­ë¥ , , ¬®£ãâ ¡ëâì ­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«¥­ë ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®áâ®ï­­ë¬ §­ 祭¨ï¬ ¤¤¨â¨¢­ëå ¨­â¥£à «®¢ ¤¢¨¦¥­¨ï ¢á¥© á¨á⥬ë (¯ã⥬ ¢ëç¨á«¥­¨ï á®- ®â¢¥âáâ¢ãîé¨å á।­¨å á ä㭪樥© à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (1.56)).

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ ¦­¥©è¥¬ã ¢ë¢®¤ã: §­ 祭¨ï ¤¤¨â¨¢­ëå ¨­â¥-

®â«¨ç¨¥ ®â í­¥à£¨¨ ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë à ¢¥­ á㬬¥ ¨¬¯ã«ìᮢ ®â¤¥«ì­ëå ç áâ¨æ ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢®§¬®¦­®á⨠¯à¥­¥¡à¥¦¥­¨ï ¨§ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ­ «®£¨ç­ ï á¨âã æ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë M = Pk[rkpk].