Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Скалярное произведение собственных q-состояний, определенных в бесконечно близкие моменты времени, равно

q′; τ + dτ q; τ = q′ exp(−iHdτ) q .

Вставим теперь единицу в форме (9.5.42) слева от оператора exp(−iHdt). Удобно представить гамильтониан H(P,Q) в форме, ког-

да все операторы Р стоят слева от всех операторов Q, так что для бесконечно малых dt

p exp(−iH(P,Q)dτ) q = p q exp(−iH(p, q)dτ).

(Предполагается, что каждое слагаемое в гамильтониане содержит четное число фермионных операторов, и поэтому можно ставить с-число H(p,q) с любой стороны матричного элемента без какого-либо изменения знака.) Имеем

Пользуясь формулами (9.5.26) и (9.5.27) и замечая, что произведения paqa è paq′a коммутируют со всеми антикоммутирующими

с-числами, находим

Дальнейший вывод производится по той же схеме, что и в разделе 9.1. Для вычисления матричного элемента

áq; t′|OA(P(tA),Q(tA))OB(P(tB),Q(tB))...|q; tñ

от произведения операторов (где t′ > tA > tB > ... > t), разделим временной интервал от t до t′ на большое число очень малых шагов

где D — некоторая числовая «матрица». Гамильтониан взаимодействия V ≡ Í − Í0 есть сумма произведений равного числа фермион-

ных полей q и p (с коэффициентами, которые могут зависеть от бозонных полей). Поэтому при разложении матричного элемента (9.5.49) по степеням V возникает сумма фермионных интегралов вида

причем каждое такое слагаемое приходится на каждую возможную совокупность вершин в фейнмановской диаграмме, и каждая вершина дает вклад в общий коэффициент при каждом таком слагаемом в виде множителя, который равен коэффициенту при произведении полей в соответствующем слагаемом в операторе взаимодействия, умноженному на мнимую единицу i *.

Для вычисления подобного интеграла рассмотрим сначала производящую функцию всех таких интегралов

* Необходимо также иметь в виду вершины от составных операторов O, отвечающие им коэффициенты не содержат множителя i. — Прим. ред.

ãäå fm(x) è gn(y) − произвольные антикоммутирующие с-числовые

функции. Сделаем сдвиг в переменных интегрирования:

m

Пользуясь условием трансляционной инвариантности (9.5.36), находим

Интеграл есть константа, пропорциональная Det D (т. е. не зависит от функций f и g), что можно показать с помощью формулы (9.5.38). Для нас более важен первый сомножитель. Разлагая его по степеням произведения gf и сравнивая с прямым разложением выражения (9.5.52), видим, что

с коэффициентом пропорциональности, не зависящим от x, y, m или n, а также от числа этих переменных. Сумма в выражении (9.5.54) берется по всем способам спаривания p с q, при этом спаривания, отличающиеся только порядком пар, не считаются различными. Иными словами, мы суммируем по N! перестановкам либо р,

либо q. Знаковый множитель δспаривания равен +1 или −1 в зависимос-

ти от четности или нечетности каждой перестановки.

Знаковый множитель и сумма по спариваниям совпадают с теми, котрые были получены ранее при выводе фейнмановских правил, причем сумма по спариваниям соответствует сумме по способам соединения линий, выходящих из вершин в диаграммах Фейнмана, а множители (D–1)mx,ny играют роль пропагаторов при спаривании qm(x) ñ pn(y). В дираковском формализме для частиц спина 1/2 действие свободных частиц имеет вид

в данном случае канонические переменные в обычных обозначениях имеют следующий вид:

ãäå m − дираковский индекс, принимающий четыре значения. Срав-

нивая эти выражения с формулой (9.5.50), получаем

(Хотя мы и опускаем детали, но слагаемое с iε возникает здесь во

многом аналогично случаю скалярного поля в разделе 9.2.) Тогда пропагатор имеет вид

совпадающий с тем, что был найден в рамках операторного формализма. Дополнительный множитель −γ 0 возникает за счет того,

что этот пропагатор представляет собой вакуумное среднее от

Tnψm(x),−[ψ(y)γ 0 ]ns , à íå îò Tlψm(x), ψ n (y)q.

Чтобы привести хотя бы один пример того, что функциональный метод иногда быстрее приводит к решению задачи, чем операторный метод, вычислим зависимость от поля амплитуды перехода вакуум→вакуум в случае дираковского поля, взаимодействующего

только с внешним полем. Возьмем лагранжиан в виде

ãäå Γ(x) − зависящая от x матрица, описывающая взаимодействие

фермиона с внешним полем. Согласно формуле (9.5.49), амплитуда вероятности того, что вакуум останется вакуумом в присутствии этого внешнего поля, есть

где коэффициент пропорциональности не зависит от Γ(x). Запишем

эту амплитуду в виде

ãäå

Чтобы вычислить последнее выражение, заменим переменные интегрирования qn(x) íà

9.6.Функциональная формулировка квантовой электродинамики

Преимущества функционального подхода к квантовой теории поля раскрываются в полной мере при его применении к калибровочным теориям безмассовых частиц спина единица, подобных квантовой электродинамике. Проделанный в предыдущей главе вывод фейнмановских правил для квантовой электродинамики содержал немало аргументов на уровне «размахивания руками» при доказательстве того, что слагаемые в фотонном пропагаторе Dμν(q), пропорциональные qμ èëè qν, могут быть отброшены, а чисто вре-

мениподобные слагаемые в точности сокращают кулоновское слагаемое в гамильтониане, так что эффективный фотонный пропагатор можно взять в виде hμν/q2. Чтобы дать строгое обоснование

этого результата методами гл. 8, нам потребовался бы сложный анализ фейнмановских диаграмм. Однако, как мы сейчас покажем, функциональный подход приводит к желаемой форме фотонного пропагатора автоматически, без какого-либо обращения к деталям поведения фейнмановских диаграмм.

В главе 8 было показано, что в кулоновской калибровке гамильтониан взаимодействия фотонов с заряженными частицами имеет вид

Здесь А — векторный потенциал, подчиняющийся условию кулоновской калибровки

à Π — вихревая часть отвечающего ему канонического импульса,

удовлетворяющая такому же ограничению

Кроме того, НÌ — гамильтониан материи *, а VÊóë — кулоновская энергия

* Материей принято называть все поля, не являющиеся калибровочными полями. Последние являются «переносчиками взаимодействия. — Прим. ред.