Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

В гейзенберговской картине операторы Q и P обретают зависимость от времени:

где Н — полный гамильтониан. Собственные состояния |q; tñ è |p; tñ этих операторов

(Заметим, что |q;tñ есть собственное состояние оператора Qa(t) с собственным значением qa, а не результат эволюции состояния |qñ

к моменту времени t. Именно поэтому зависимость от времени определяется множителем exp(iHt), а не exp(-iHt).) Эти состояния оче-

видно удовлетворяют условиям полноты и ортонормированности:

(9.1.26)

где по каждому рà проводится интегрирование от -¥ äî ¥.

Вернемся к более общему случаю конечного интервала времени. Чтобы вычислить матричный элемент áq¢; t¢|q; tñ ïðè t < t¢, разобъем интервал времени от t до t¢ последовательными моментами

на малые участки (t, t1), (t1, t2), ..., (tN, t')и просуммируем по полному набору состояний |q; tkñ в каждый момент времени tk:

q¢; t q; t = z dq1 . . . dqN q¢; t qN ; tN qN ; tN qN −1; tN −1 . . . q1; t1 q; t .

(9.1.28)

После подстановки представления (9.1.26) получаем:

Полученной нами формуле (9.1.29) можно придать более элегантный вид. Определим гладкие интерполирующие функции q(t) è p(t) òàê, ÷òî

q(t), идущим из точки q при t = t в точку q¢ ïðè t = t¢, а также по всем p(t). Большое преимущество такой записи матричных элемен-

тов заключается в том, что, как показано в разделе 9.3, функциональные интегралы легко вычисляются, если разложить их по степеням константы связи в Н.

Формализм функциональных интегралов, или, коротко, функциональный формализм, позволяет вычислять не только амплитуды вероятностей переходов типа áq¢; t¢|q; tñ, но также и мат-

ричные элементы хронологически упорядоченных произведений произвольных операторов O [P(t),Q(t)] между состояниями áq¢; t¢| è |q; tñ *.

Удобно определить эти операторы так, чтобы (в противоположность Н) все операторы Р были слева, а все Q — справа. Тогда, вставляя любой такой оператор O [P(t),Q(t)] в (9.1.26), получаем:

Чтобы вычислить матричный элемент произведения опе-

раторов OA(P(tA),Q(tA)) OB(P(tB),Q(tB))..., ãäå tA > tB > ..., можно вставить О-операторы между соответствующими состояниями в

правой части формулы (9.1.28) и воспользоваться формулой (9.1.35). Например, если момент времени tA попадает между tk è

tk+1, нужно вставить OA(P(tA),Q(tA)) между áqk+1;tk+1| è |qk;tkñ. Çà-

метим, что каждая последующая сумма по состояниям в формуле (9.1.28) берется в более поздний момент времени, поэтому указанная вставка является единственно возможной в силу нашего предположения, что tA > tB > ... .

* Здесь случайным образом одной и той же буквой t обозначены временные агрументы операторов P(t), Q(t), составляющих оператор O, и состояния |q; tñ.

Вообще говоря, они не совпадают. Напротив, в нижеследующей формуле (9.1.35) необходимо считать t = t, как в формуле (9.1.24), ведущей к формуле

(9.1.26). — Ïðèì. ðåä.

Действуя как и выше, получаем общую формулу для функционального интеграла:

Этот результат справедлив только при условии, что все моменты времени упорядочены и

Однако ничто в правой части формулы (9.1.36) не указывает на порядок временных аргументов. Следовательно, если нам задан функциональный интеграл того же вида, что и правая часть формулы (9.1.36), но с tA, tB, ..., взятыми в произвольном порядке (однако лежащими между t и t′, t < t′), то такой функциональный

интеграл будет равен матричному элементу типа того, который стоит в левой части формулы (9.1.36), с операторами, расположенными в порядке убывания моментов времени слева направо. Это означает, что при расположении tA, tB, ... в произвольном порядке,

где Т означает обычное хронологическое произведение.

Возможно, следует подчеркнуть, что с-числовые функции qa(τ), pa(τ) в (9.1.38) являются всего лишь переменными интегрирования

и, в частности, не подчиняются уравнениям движения классиче- ской гамильтоновой динамики

(По этой причине гамильтониан H(q(τ),p(τ)) в (9.1.38) не является константой по τ.) Тем не менее, в некотором ограниченном смысле

функциональнае интегралы «уважают» эти уравнения движения. Предположим, что одна из функций в (9.1.38), например, OA(P(tA),Q(tA)), совпадает с левой частью равенств (9.1.39) или (9.1.40). Заметим, что (при t < tA < t′)

ãäå iI − аргумент экспоненты в (9.1.38):

Äî òåõ ïîð, ïîêà tA не достигает t или t′, интегрирования по qa(tA) è pa(tA) ничем не ограничены, и при разумных предположениях о сходимости интегралы от таких вариационных производных должны обращаться в нуль. Следовательно функциональный интеграл (9.1.38) равен нулю, если OA(p,q) взят равным левой части уравнений движения (9.1.39) или (9.1.40).

Это простое правило применимо только если переменные интегрирования qa(tA), pa(tA) не зависят от любой из переменных qa(tB),

pa(tB) и т. д., от которых зависят остальные функции OB, OC и т. д. в формуле (9.1.38), и, следовательно, только если мы запретим tA достигать значений tB, tC, ..., а также t и t′. Когда tA достигает,

скажем, tB, в функциональном интеграле возникает ненулевое слагаемое, пропорциональное δ(tA − tB) или ее производным. Эти дель-

та-функции соответствуют тем дельта-функциям, которые возникают в рамках операторного формализма от производных по времени ступенчатых функций, присутствующих в определении хронологического произведения.

Для вычисления функциональных интегралов (9.1.34) и (9.1.38), необходимо знать только классическую функцию Гамильтона, т. е. с-числовую функцию H(q, p). Если мы хотим сформулировать теорию с помощью функциональных интегралов, естественно возникает вопрос, какая из многих возможных квантово-механических функций Гамильтона H(Q, P) (отличающихся порядком Q и P) описывает квантовую теорию, соответствующую этим интегралам.

Предложенный вывод дает ответ на этот вопрос: в квантовой функции Гамильтона все Q должны быть слева, все Р — справа. Однако было бы ошибкой придавать этому рецепту слишком большое значение. Имеется множество способов интерпретировать меру ∏dqa(t)∏dpa(t) в интегралах типа (9.1.34) или (9.1.38). Наш ре-

цепт расположения всех Q слева от всех Р годится только, если мера определяется согласно формулам (9.1.31)−(9.1.33). Другие ме-

ры приводят к другим предписаниям по упорядочиванию операторов. Вопрос в целом не очень существен, так как разные рецепты упорядочивания операторов в функции Гамильтона соответствуют всего лишь разному выбору констант, входящих как коэффициенты при разных слагаемых в этой функции, а мы всегда формулируем теории так, что эти константы рассматриваются как произвольные параметры.

Функциональный интеграл общего вида (9.1.38) трудно использовать для численных расчетов или для доказательства строгих теорем. Для этих целей лучше применять функциональный метод для вычисления амплитуд в евклидовом пространстве, где t заменено на мнимую величину −ix4, и показатель экспоненты в

формуле (9.1.38) — действительная отрицательная величина. Тогда вместо быстрых осцилляций подынтегрального выражения в результате малого дрожания путей все быстрые дрожания оказываются экспоненциально подавлены.

состояниями áq¢,t¢| è |q,tñ, а элементы S-матрицы, т. е. амплитуды

вероятностей для переходов между состояниями, которые при t ® -¥ èëè t ® +¥ содержат определенное число частиц разных сортов. Это так называемые «ин» и «аут» состояния |a,inñ è |b,outñ, ãäå a è b обозначают наборы частиц определенных сортов с опреде-

ленными значениями импульсов, z-компонент спина (или спиральностей).

Чтобы вычислить матричный элемент хронологически упорядоченного произведения (возможно, и отсутствующего) между такими состояниями, следует умножить (9.2.1) на «волновые функции» áb, out|q¢, t¢ñ è áq, t|a, inñ в любые фиксированные моменты времени t и t¢, которые для удобства взяты здесь равными -¥ è +¥,

соответственно, а затем провести интегрирование по «аргументам» qm(x) è q¢m(x) этих волновых функций.

Однако вместо того, чтобы сначала выписать функциональный интеграл по qm(x,t) с условиями

а затем интегрировать по q′m(x) è qm(x), можно с тем же успехом

интегрировать по qm(x,t) без всяких условий (как и по pm(x,t)), полагая аргументы волновых функций равными тем значениям, которые даются формулой (9.2.2):

b, out T{OA[P(tA), Q(tA)],OB[P(tB), Q(tB)], . . . a, in

´ OA[p(tA), q(tA)]OB[p(tB), q(tB)]. . .

Кстати, этот результат немедленно приводит к формуле (6.4.3), т. е. к теореме, которую мы неоднократно использовали для того, чтобы связать суммы фейнмановских диаграмм вне массовой поверхности с матричными элементами операторов в гейзенберговском