
Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)
.pdf


8.7. Комптоновское рассеяние |
491 |
|
|
epe/ / / = −pee/ / / = −p/ ,
òàê ÷òî
T1 = -Trke/ ′kpke/ / / / ′p/ ′p .
Кроме того, kμkμ = 0 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
/ |
/ |
/ / |
/ |
/ |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
+ 2k(p × k) = 2k(p × k) , |
|
||||||
kpk = -kkp |
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
′ / |
′ |
/ |
′ |
|
|
|
= -2(p × k)Trke/ ke/ |
|
|
|
|||||
|
|
T |
|
p p . |
|
|||||
С помощью формулы (8.А.6) получаем: |
|
|
|
|
||||||
T1 = -8(p × k)[2(e′ × k)( e′ × p′) - (k × p′)] . |
|
|||||||||
Удобно совершить подстановки: |
|
|
|
|
|
|||||
e′ × p′ = e′ × (p + k - k′) = e′ × k, |
|
|
|
|
|
|||||
k × p¢ = - 1 (p'-k)2 - 1 m2 = - 1 (p - k¢)2 - 1 m2 = p × k¢ . |
|
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
òàê ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 = -16(p × k)(e¢ × k)2 + 8(p × k) (p × k¢) . |
(8.7.33) |
Аналогичное (хотя и более длинное) вычисление дает:
T2 = T3 = -8(e × k¢)2 (p × k) + 16(e × e¢)2 (p × k¢)(p × k) + 8(e × e¢)2 (k × k¢)m2
- 8(e × e¢)m2 (k × e¢)(k¢ × e) + 8(e¢ × k)2 (p × k¢) |
|
|
|||
- 4(k × p)2 + 4(k × k¢)(p × p¢) - 4(k × p¢)(p × k¢) , |
(8.7.34) |
||||
′ |
′ |
2 |
+ 8(p |
′ |
(8.7.35) |
T4 = 16(p × k )(e × k ) |
|
× k)(p × k ) , |
|
||
|
t1 = t4 = 0 , |
|
(8.7.36) |
||
t2 = t3 = -8(e × e′)(k × e′)(k′ × e) + 8(k × k′)(e × e′)2 - 4(k × k′) . |
(8.7.37) |


8.7. Комптоновское рассеяние |
493 |
|
|
Видим, что рассеянный фотон преимущественно поляризован в направлении, перпендикулярном направлению распространения как начального, так и конечного фотонов, т. е. перпендикулярно плоскости рассеяния. Это хорошо известный результат, ответственный, в частности, за поляризацию света от обращающихся друг около друга двойных звезд *.
Чтобы рассчитать сечение для тех экспериментов, в которых не измеряется поляризация конечного фотона, следует просуммировать выражение (8.7.40) по е′, используя формулу:
|
|
′ ′ |
= δij |
|
|
$ ′ |
$ ′ |
|
|
|
||
|
|
åeiej |
− kikj . |
|
|
|
||||||
|
|
e′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
, σ′ |
′ |
′ |
) = |
|
|
4 |
ådσ(p, σ + k, e → p |
+ k |
, e |
|
||||||||
|
e,e′,σ,σ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4ω′2dΩ |
|
L ω |
|
|
ω′ |
|
|
O |
(8.7.41) |
|
|
= |
|
|
M |
|
+ |
|
− 1 + cos2 θP |
, |
|||
|
32π2m2ω2 |
|
ω |
|||||||||
|
|
N ω′ |
|
|
|
|
Q |
|
ãäå θ − угол между направлениями k и k′. В нерелятивистском слу- чае ω n m и формула (8.7.41) принимает вид:
41 ådσ = |
e4dΩ |
|
|
||
|
(1 + cos2 θ) . |
(8.7.42) |
|||
32π2m2 |
|||||
e,e′,σ,σ′ |
|
|
|
|
|
Интеграл по телесному углу легко вычисляется: |
|
|
|||
2π |
π |
16π |
|
||
z (1 + cos2 θ)dΩ = z dϕz (1 + cos2 θ) sin θ dθ = |
, |
||||
3 |
00
* Свет одной из звезд поляризуется при рассеянии на свободных электронах внешней атмосферы второй, более холодной звезды в то время, когда обе находятся на одном луче зрения. Обычно такая поляризация не детектируется, поскольку она исчезает, когда астрономы суммируют свет от всех частей звездного диска. Но в те моменты времени, когда более холодная звезда заслоняет свет только с одной стороны более горячей звезды, поляризация света от двойных звездных систем наблюдалась.

494 |
Глава 8. Электродинамика |
В результате полное сечение при ω n m имеет вид:
|
σT = |
e4 |
|
(8.7.43) |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|||
|
|
6π2m2 |
|
|
|
Часто эту формулу записывают в виде σ |
T |
= 8πr2/3, ãäå |
|||
r0 = e2/(4πm) = 2,818×10−13 |
|
|
|
0 |
|
см называется классическим радиусом |
электрона. Формула (8.7.43) называется томсоновским сечением, в честь Дж.Дж. Томсона, открывшего электрон. Формулы (8.7.42) и (8.7.43) первоначально были получены в рамках классических механики и электродинамики при расчете переизлучения * света нерелятивистским точечным зарядом в поле плоской электромагнитной волны.
8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы **
Антисимметричный тензор напряженности поля Fμν в электромаг-
нетизме представляет частный случай некоторого общего класса тензоров, играющих важную роль в физике и математике. По определению, р-форма есть антисимметричный ковариантный тензор ранга р. Имея р-форму tμ1,μ2 ,...,μp , можно построить (р+1)-форму, которая носит назва-
ние внешней производной *** dt, взяв производную и произведя антисимметризацию по всем индексам:
(dt)μ1,μ2 ,...,μp+1 ≡ ∂[μ1 tμ2 ,μ3 ,...,μp+1 ] |
|
|
, (8.8.1) |
||||||||
≡ ∂ |
μ1 |
t |
,μ3 ,...,μp+1 |
− ∂ |
μ2 |
t |
,μ3 |
,...,μp+1 |
+ . . . + (−1)p ∂ |
t |
|
|
μ2 |
|
μ1 |
|
μp+1 |
μ1,μ2 ,...,μp |
где квадратные скобки означают антисимметризацию по индексам внутри скобок. Так как производные коммутируют, вторые внешние производные обращаются в нуль:
* Мы сохранили дословно терминологию оригинала ввиду ее образности. — Прим. пер.
**Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опущен при первом чтении
***Внешние производные и р-формы играют особую роль в общей теории относительности, в частности, потому, что внешняя производная тензора преобразуется как тензор, хотя она вычисляется с помощью обычных, а не ковариантных производных 5.

8.8. Обобщения: калибровочные поля как р-формы |
495 |
|
|
d(dt) = 0. |
(8.8.2) |
Если внешняя производная р-формы обращается в нуль, то такая р-форма называется замкнутой, а если р-форма сама есть внешняя производная, она назывется точной. Из (8.8.2) следует, что всякая точная р-форма замкнута. Знаменитая теорема6 Пуанкаре утверждает, что в односвязной области всякая замкнутая р-форма точна *. Например, однородные уравнения Максвелла (8.1.16) утверждают, что 2-форма напряженности электромагнитного поля Fμν
замкнута. Из теоремы Пуанкаре следует тогда, что она точна, т. е. может быть записана в виде внешней производной: Fμν = ∂μAν − ∂νAμ. Вновь используя (8.8.2), убеждаемся, что 2-форма Fμν не изменяется, если к Aμ добавить внешнюю производную, т. е. совершить калибровочное преобразование δAμ = ∂μΩ.
Имея формализм р-форм и внешних производных, естественно рассмотреть возможность существования безмассовых частиц, описываемых калибровочными полями **, являющимися р-формами ***
Aμ |
,...,μ |
p |
, при условии инвариантности теории относительно калибровоч- |
|
1 |
|
|
|
|
ных преобразований |
|
|||
|
|
|
δA = dΩ, |
(8.8.3) |
* В многосвязных пространствах замкнутые формы не обязательно точны. Хотя и можно локально представить замкнутую форму как внешнюю производную, в общем случае этого нельзя сделать гладким образом во всем пространстве. Множество замкнутых р-форм, взятых по модулю точных р-форм, образует так называемую р-ую группу когомологий де Рама данного пространства. Существует глубокая связь между группами когомологий де Рама данного пространства и его топологией. 6 Подробнее это будет обсуждаться в т. II.
**Ниже такие поля мы называем просто р-формами и говорим о калибровочных теориях р-форм. — Прим. пер.
***Мы несколько неточно называем поле Aμ1 ,...,μp р-формой, так как для
того, чтобы F = dA был тензором, необходимо только, чтобы поле А было
тензором с точностью до калибровочного преобразования. На самом деле, мы уже видели, что в случае четырех пространственно-временных измерений невозможно построить 4-векторное поле из операторов рождения и уничтожения физических безмассовых частиц спиральности ±1, поэтому мы должны иметь дело с полем Аμ(x), преобразующимся в соответствии с правилом
(8.1.2) как 4-вектор только с точностью до калибровочного преобразования.

496 Глава 8. Электродинамика
или подробнее
δAμ1 ,...,μp = ∂[μ1 Ωμ2 ,...,μp ] ,
ãäå Ωμ1 ,...,μp−1 − произвольная (р−1)-форма. Из р-формы можно по-
строить калибровочно-инвариантный тензор напряженности поля
F = d À, |
(8.8.4) |
или детальнее |
|
Fμ1,...,μp+1 = ∂[μ1 Aμ2 ,...,μp+1 ] . |
(8.8.5) |
(Альтернативно можно исходить из (р+1)-формы F, предположить условие dF = 0 и отсюда вывести существование р-формы А, такой, что F = dA.) По аналогии с электродинамикой можно ожидать, что лагранжиан для А имеет вид
L = − |
1 |
F |
|
Fμ1 ,...,μp+1 + J |
μ1 |
,...,μp A |
|
|
, |
(8.8.6) |
|
,...,μp+1 |
μ1 |
,...,μp |
|||||||
|
2(p + 1) |
μ1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå J − антисимметричный тензорный ток (являющийся либо с-чис-
лом, либо функцией полей, отличных от А), который должен удовлетворять условию сохранения
∂μ |
Jμ1,...,μp = 0 . |
(8.8.7) |
|
1 |
|
для того чтобы действие было калибровочно-инвариантным *. Уравнения Эйлера−Лагранжа принимают вид
∂μFμμ1 ,...,μp = −Jμ1 ,...,μp . |
(8.8.8) |
р-Формы играют важную роль в калибровочных теориях с числом пространственно-временных измерений более четырех. Напри-
* Если ток J является функцией других полей, то он должен сохраняться на уравнениях движения этих полей, а калибровочная инвариантность имеет место для полного действия, включающего действие для других полей. —
Ïðèì. ðåä.

8.8. Обобщения: калибровочные поля как р-формы |
497 |
|
|
мер, в простейших теориях струн в 26 пространственно-временных измерениях нормальная мода струны представляется при низких энергиях 2-формой Aμν. Однако в случае четырех измерений ис-
пользование р-форм не открывает новых возможностей.
Чтобы показать это, заметим, во-первых, что в D простран- ственно-временных измерениях не существует антисимметричных тензоров с более чем D индексами, поэтому в общем случае следует принять p + 1 ≤ D. Как и любая другая (р+1)-форма с p + 1 ≤ D,
напряженность поля F может быть выражена через дуальную (D−p−1)-форму F:
Fμ1,...,μp+1 = εμ1,...,μD Fμ |
p+2 |
,...,μ |
. |
(8.8.9) |
|
|
D |
|
Аналогично, р-форма тока J может быть записана через (D−p)-форму
òîêà J:
Jμ1 ,...,μp = εμ1 ,...,μD Jμ |
p+1 |
,...,μ |
. |
(8.8.10) |
|
|
D |
|
Уравнение поля (8.8.8) и условие сохранения (8.8.7) принимают тогда простой вид
dF = J , dJ = 0 . |
(8.8.11) |
Так как дуальный ток является замкнутой формой, его можно записать через (D−p−1)-форму S :
J = dS . |
(8.8.12) |
Из уравнений (8.8.11) и (8.8.12) следует, что разность F и S замкнута, поэтому в силу теоремы Пуанкаре
F = S + dφ , |
(8.8.13) |
ãäå φ является (D−p−2)-формой. Исключением является случай p = D − 1, когда F и S оказываются 0-формами, т. е. скалярами, и
условие dF = dS означает просто, что F и S отличаются на константу. В таком случае калибровочное поле не описывает вообще никаких степеней свободы. Поэтому можно ограничиться рассмотрением случаев p ≤ D − 2.

498 Глава 8. Электродинамика
Ïðè p ≤ D − 2 однородные «уравнения Максвелла» |
dF = 0 |
имеют вид |
|
∂μ F μ1,...,μD−p−1 = 0 , |
(8.8.14) |
1 |
|
что совместно с формулой (8.8.13) приводит к уравнению поля для φ:
∂μ |
(dφ)μ1,...,μD−p−1 |
= −∂μ S μ2 ,...,μD−p−1 . |
(8.8.15) |
|
1 |
1 |
|
Оно инвариантно относительно нового набора калибровочных преобразований φ → φ + dω. Исключение — случай D − p − 2 = 0, когда
калибровочное преобразование. оставляющее F инвариантным, имеет вид φ → φ + c, где с — произвольная константа. Мы видим, что в
случае D пространственно-временных измерений калибровочная теория р-формы А с током J эквивалентна калибровочной теории (D − p − 2)-формы φ с током −∂S.
Теперь можно понять, почему калибровочные теории р-форм не приводят к новым возможностям в четырех измерениях. Мы видели, что нужно рассматривать только случаи p ≤ D − 2, ò. å. ð = 0, 1, 2. 0-
формы являются скалярами S, для которых определение (8.8.5) принимает вид Fμ = ∂μS, а уравнения поля — вид 9S = −J. В данном
случае калибровочная инвариантность означает инвариантность относительно сдвига S → S + c, где с — константа. Это теория без-
массового скалярного поля с взаимодействием с производными. 1-фор- ма — это 4-вектор Aμ(x), взаимодействующий с сохраняющимся
4-вектором тока, т. е. электродинамика. Наконец, согласно приведенному выше общему результату калибровочная теория 2-формы в че- тырехмерном пространстве-времени эквивалентна калибровочной теории 0-формы, а это, как мы видели, эквивалентно скалярному полю с взаимодействием с производными.
Приложение. Следы
При вычислении матричных элементов S-матрицы и вероятностей переходов для процессов с участием частиц спина 1/2, часто приходится вычислять следы от произведения γ-матриц Дирака. По-
этому полезно привести формулы для этих следов, которые используются во всех подобных вычислениях.