Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

epe/ / / = −pee/ / / = −p/ ,

òàê ÷òî

T1 = -Trke/ ′kpke/ / / / ′p/ ′p .

Аналогичное (хотя и более длинное) вычисление дает:

T2 = T3 = -8(e × k¢)2 (p × k) + 16(e × e¢)2 (p × k¢)(p × k) + 8(e × e¢)2 (k × k¢)m2

Видим, что рассеянный фотон преимущественно поляризован в направлении, перпендикулярном направлению распространения как начального, так и конечного фотонов, т. е. перпендикулярно плоскости рассеяния. Это хорошо известный результат, ответственный, в частности, за поляризацию света от обращающихся друг около друга двойных звезд *.

Чтобы рассчитать сечение для тех экспериментов, в которых не измеряется поляризация конечного фотона, следует просуммировать выражение (8.7.40) по е′, используя формулу:

ãäå θ − угол между направлениями k и k′. В нерелятивистском слу- чае ω n m и формула (8.7.41) принимает вид:

00

* Свет одной из звезд поляризуется при рассеянии на свободных электронах внешней атмосферы второй, более холодной звезды в то время, когда обе находятся на одном луче зрения. Обычно такая поляризация не детектируется, поскольку она исчезает, когда астрономы суммируют свет от всех частей звездного диска. Но в те моменты времени, когда более холодная звезда заслоняет свет только с одной стороны более горячей звезды, поляризация света от двойных звездных систем наблюдалась.

В результате полное сечение при ω n m имеет вид:

электрона. Формула (8.7.43) называется томсоновским сечением, в честь Дж.Дж. Томсона, открывшего электрон. Формулы (8.7.42) и (8.7.43) первоначально были получены в рамках классических механики и электродинамики при расчете переизлучения * света нерелятивистским точечным зарядом в поле плоской электромагнитной волны.

8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы **

Антисимметричный тензор напряженности поля Fμν в электромаг-

нетизме представляет частный случай некоторого общего класса тензоров, играющих важную роль в физике и математике. По определению, р-форма есть антисимметричный ковариантный тензор ранга р. Имея р-форму tμ1,μ2 ,...,μp , можно построить (р+1)-форму, которая носит назва-

ние внешней производной *** dt, взяв производную и произведя антисимметризацию по всем индексам:

где квадратные скобки означают антисимметризацию по индексам внутри скобок. Так как производные коммутируют, вторые внешние производные обращаются в нуль:

* Мы сохранили дословно терминологию оригинала ввиду ее образности. — Прим. пер.

**Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опущен при первом чтении

***Внешние производные и р-формы играют особую роль в общей теории относительности, в частности, потому, что внешняя производная тензора преобразуется как тензор, хотя она вычисляется с помощью обычных, а не ковариантных производных 5.

Если внешняя производная р-формы обращается в нуль, то такая р-форма называется замкнутой, а если р-форма сама есть внешняя производная, она назывется точной. Из (8.8.2) следует, что всякая точная р-форма замкнута. Знаменитая теорема6 Пуанкаре утверждает, что в односвязной области всякая замкнутая р-форма точна *. Например, однородные уравнения Максвелла (8.1.16) утверждают, что 2-форма напряженности электромагнитного поля Fμν

замкнута. Из теоремы Пуанкаре следует тогда, что она точна, т. е. может быть записана в виде внешней производной: Fμν = ∂μAν − ∂νAμ. Вновь используя (8.8.2), убеждаемся, что 2-форма Fμν не изменяется, если к Aμ добавить внешнюю производную, т. е. совершить калибровочное преобразование δAμ = ∂μΩ.

Имея формализм р-форм и внешних производных, естественно рассмотреть возможность существования безмассовых частиц, описываемых калибровочными полями **, являющимися р-формами ***

* В многосвязных пространствах замкнутые формы не обязательно точны. Хотя и можно локально представить замкнутую форму как внешнюю производную, в общем случае этого нельзя сделать гладким образом во всем пространстве. Множество замкнутых р-форм, взятых по модулю точных р-форм, образует так называемую р-ую группу когомологий де Рама данного пространства. Существует глубокая связь между группами когомологий де Рама данного пространства и его топологией. 6 Подробнее это будет обсуждаться в т. II.

**Ниже такие поля мы называем просто р-формами и говорим о калибровочных теориях р-форм. — Прим. пер.

***Мы несколько неточно называем поле Aμ1 ,...,μp р-формой, так как для

того, чтобы F = dA был тензором, необходимо только, чтобы поле А было

тензором с точностью до калибровочного преобразования. На самом деле, мы уже видели, что в случае четырех пространственно-временных измерений невозможно построить 4-векторное поле из операторов рождения и уничтожения физических безмассовых частиц спиральности ±1, поэтому мы должны иметь дело с полем Аμ(x), преобразующимся в соответствии с правилом

(8.1.2) как 4-вектор только с точностью до калибровочного преобразования.

496 Глава 8. Электродинамика

или подробнее

δAμ1 ,...,μp = ∂[μ1 Ωμ2 ,...,μp ] ,

ãäå Ωμ1 ,...,μp−1 − произвольная (р−1)-форма. Из р-формы можно по-

строить калибровочно-инвариантный тензор напряженности поля

(Альтернативно можно исходить из (р+1)-формы F, предположить условие dF = 0 и отсюда вывести существование р-формы А, такой, что F = dA.) По аналогии с электродинамикой можно ожидать, что лагранжиан для А имеет вид

ãäå J − антисимметричный тензорный ток (являющийся либо с-чис-

лом, либо функцией полей, отличных от А), который должен удовлетворять условию сохранения

для того чтобы действие было калибровочно-инвариантным *. Уравнения Эйлера−Лагранжа принимают вид

р-Формы играют важную роль в калибровочных теориях с числом пространственно-временных измерений более четырех. Напри-

* Если ток J является функцией других полей, то он должен сохраняться на уравнениях движения этих полей, а калибровочная инвариантность имеет место для полного действия, включающего действие для других полей. —

Ïðèì. ðåä.

мер, в простейших теориях струн в 26 пространственно-временных измерениях нормальная мода струны представляется при низких энергиях 2-формой Aμν. Однако в случае четырех измерений ис-

пользование р-форм не открывает новых возможностей.

Чтобы показать это, заметим, во-первых, что в D простран- ственно-временных измерениях не существует антисимметричных тензоров с более чем D индексами, поэтому в общем случае следует принять p + 1 ≤ D. Как и любая другая (р+1)-форма с p + 1 ≤ D,

напряженность поля F может быть выражена через дуальную (D−p−1)-форму F:

Аналогично, р-форма тока J может быть записана через (D−p)-форму

òîêà J:

Уравнение поля (8.8.8) и условие сохранения (8.8.7) принимают тогда простой вид

Так как дуальный ток является замкнутой формой, его можно записать через (D−p−1)-форму S :

Из уравнений (8.8.11) и (8.8.12) следует, что разность F и S замкнута, поэтому в силу теоремы Пуанкаре

ãäå φ является (D−p−2)-формой. Исключением является случай p = D − 1, когда F и S оказываются 0-формами, т. е. скалярами, и

условие dF = dS означает просто, что F и S отличаются на константу. В таком случае калибровочное поле не описывает вообще никаких степеней свободы. Поэтому можно ограничиться рассмотрением случаев p ≤ D − 2.

498 Глава 8. Электродинамика

что совместно с формулой (8.8.13) приводит к уравнению поля для φ:

Оно инвариантно относительно нового набора калибровочных преобразований φ → φ + dω. Исключение — случай D − p − 2 = 0, когда

калибровочное преобразование. оставляющее F инвариантным, имеет вид φ → φ + c, где с — произвольная константа. Мы видим, что в

случае D пространственно-временных измерений калибровочная теория р-формы А с током J эквивалентна калибровочной теории (D − p − 2)-формы φ с током −∂S.

Теперь можно понять, почему калибровочные теории р-форм не приводят к новым возможностям в четырех измерениях. Мы видели, что нужно рассматривать только случаи p ≤ D − 2, ò. å. ð = 0, 1, 2. 0-

формы являются скалярами S, для которых определение (8.8.5) принимает вид Fμ = ∂μS, а уравнения поля — вид 9S = −J. В данном

случае калибровочная инвариантность означает инвариантность относительно сдвига S → S + c, где с — константа. Это теория без-

массового скалярного поля с взаимодействием с производными. 1-фор- ма — это 4-вектор Aμ(x), взаимодействующий с сохраняющимся

4-вектором тока, т. е. электродинамика. Наконец, согласно приведенному выше общему результату калибровочная теория 2-формы в че- тырехмерном пространстве-времени эквивалентна калибровочной теории 0-формы, а это, как мы видели, эквивалентно скалярному полю с взаимодействием с производными.

Приложение. Следы

При вычислении матричных элементов S-матрицы и вероятностей переходов для процессов с участием частиц спина 1/2, часто приходится вычислять следы от произведения γ-матриц Дирака. По-

этому полезно привести формулы для этих следов, которые используются во всех подобных вычислениях.