Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

.pdf
Скачиваний:
351
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
49.93 Mб
Скачать

8.7. Комптоновское рассеяние

489

 

 

å

| M|2 =

 

 

 

e4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64(2p)

6

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

σ,σ′

 

 

 

 

 

 

ww¢p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´

 

 

LR

/

 

[-i(p + k/ ) + m]

/

- /

[-i(p - k/ ¢) + m]

 

 

MS

 

/

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

Tr

NT

*

 

p × k

 

 

 

e

 

e

 

p × k¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

[-i(p + k/ ) + m]

 

 

 

 

[-i(p - k/ ¢)

+ m]

e*

 

Se*

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

/

 

 

´

 

/

 

 

 

 

 

 

 

/

- /

 

 

 

 

 

/

T

 

 

 

p × k

 

 

 

p × k¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ * U( / )

V -ip + m

W(8.7.21)

U O

V(-ip/ ¢ + m)P .

W Q

(Вновь напомним, что e/* означает не (e/ )*, à eμ*gμ, и аналогично для e* .) Мы проводим вычисления в «калибровке», в которой

e × p = e* × p = e¢ × p = e¢* × p = 0 ,

(8.7.22)

например, в кулоновской калибровке в лабораторной системе, где е0 = å0 = 0 и р = 0. * Тогда

[ip/ + m]e/[ip/ + m] = e/[ip/ + m][ip/ + m] =

=e/(p/ 2 + m2 ) = e/(pμpμ + m2 ) = 0 ,

èаналогично для e¢* , e/* è e/ ′ . Поэтому формулу (8.7.21) можно силь-

но упростить:

 

 

 

 

 

-e4

 

 

 

 

 

 

LR*ke/

 

ek/ ¢e¢* U

 

å

| M|2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TrMS

/

/

+

/ /

V(-ip + m)

 

 

6

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

64(2p)

 

 

 

 

NT p × k

 

p × k¢ W

/

σ,σ′

 

 

 

 

ww¢p

 

 

 

 

 

 

 

 

Re*ke/

¢

 

e¢k/

¢e*

U

 

 

 

O

 

 

(8.7.23)

 

 

´ S

/ /

 

 

+

/

 

/

 

V(-ip¢

+ m)P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T p × k

 

 

p × k¢

W

/

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* Строго говоря, эта фраза становится понятной только после гл. 9, где показано, что при вычислении матричных элементов процессов с участием реальных электронов и позитронов к вектору поляризации фотона e с 4-импульсом k всегда можно добавить 4-вектор, пропорциональный k: eμ eμ + kμ. — Ïðèì.

ðåä.

490

Глава 8. Электродинамика

След произведения любого нечетного числа g-матриц обращается в

нуль, так что последнее выражение разбивается на слагаемые нулевого и второго порядка по m:

å| M|2

σ,σ′

=

 

 

 

6

e4

0

 

F

T

2 +

T

+

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 G

1

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64(2p)

 

ww¢p p¢

 

H (p × k)

 

 

(p × k)(p × k¢)

 

(p × k)(p × k¢)

 

 

 

+

 

T

 

 

 

-

m2t

-

 

m2t

-

 

m2t

 

-

m2t

4

I

 

 

4

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

 

J

,

(p

× k¢)

2

 

2

(p

× k)(p × k¢)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(p × k)

 

 

(p × k)(p × k¢)

(p × k¢) K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.7.24)

ãäå

 

n/

/ / /

 

/

 

 

/

s

 

 

 

1 =

 

 

 

 

 

(8.7.25)

T

 

Tr e¢*kepe/

*ke/ ¢p¢

 

,

 

2

=

n/

/ / /

 

 

/

 

 

/

s

 

(8.7.26)

T

 

Tr e¢*kepe/

¢k/ ¢e*

 

 

,

3

=

n/

/

/

/

/

 

/ s

 

(8.7.27)

T

 

Tr ek/ ¢e¢*pe*ke/

¢p¢

 

 

,

4

=

n/

/

/

/

 

/

/

 

s

(8.7.28)

T

 

Tr ek/ ¢e¢*pe¢k/ ¢e*

,

1

=

n/

/ /

 

 

/ s

 

 

 

 

 

 

 

(8.7.29)

t

Tr e¢*kee/

*ke/ ¢

,

 

 

 

 

 

2

=

n/

/ /

 

 

/

s

 

 

 

 

 

(8.7.30)

t

Tr e¢*kee/ ¢k¢e*

 

 

,

 

 

 

 

3

=

n/

/

/

 

/ s

 

 

 

 

 

(8.7.31)

t

Tr ek/ ¢e¢*e*ke/ ¢

 

 

,

 

 

 

 

 

 

n/

/

/

 

/

 

s

 

 

 

 

 

t4

=

Tr ek/ ¢e¢*e¢k/ ¢e*

 

 

.

 

 

 

(8.7.32)

В Приложении к этой главе показано, как выразить любой след Trkabcd/ / / / . . .p через сумму произведений скалярных произведе-

ний 4-векторов a, b, c, d, ... В общем случае, вклады от произведений 6 или 8 g-матриц типа tk èëè Tk будут даваться суммой

соответственно 15 или 105 слагаемых, но, к счастью, большинство скалярных произведений равно нулю; в дополнение к соотношениям (8.7.22) имеем k×k = k¢×k¢ = 0. (Кроме того, е×å* = å¢×å¢* = 1.) Чтобы

упростить дальнейшие вычисления, ограничимся случаем линейной поляризации, когда eμ è e¢μ действительны. Опуская звездочки

в (8.7.25), имеем:

T1 = Trke/ ′kepeke/ / / / / / ′p/ p .

Òàê êàê eμpμ = 0 è eμeμ = 1, получаем:

8.7. Комптоновское рассеяние

491

 

 

epe/ / / = −pee/ / / = −p/ ,

òàê ÷òî

T1 = -Trke/kpke/ / / / ′p/ p .

Кроме того, kμkμ = 0 è

 

 

 

 

 

 

 

 

/

/

/

/ /

/

/

 

 

 

/

 

 

 

 

+ 2k(p × k) = 2k(p × k) ,

 

kpk = -kkp

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

′ /

/

 

 

 

= -2(p × k)Trke/ ke/

 

 

 

 

 

T

 

p p .

 

С помощью формулы (8.А.6) получаем:

 

 

 

 

T1 = -8(p × k)[2(e× k)( e× p) - (k × p)] .

 

Удобно совершить подстановки:

 

 

 

 

 

e× p= e× (p + k - k) = e× k,

 

 

 

 

 

k × p¢ = - 1 (p'-k)2 - 1 m2 = - 1 (p - k¢)2 - 1 m2 = p × k¢ .

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

òàê ÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 = -16(p × k)(e¢ × k)2 + 8(p × k) (p × k¢) .

(8.7.33)

Аналогичное (хотя и более длинное) вычисление дает:

T2 = T3 = -8(e × k¢)2 (p × k) + 16(e × e¢)2 (p × k¢)(p × k) + 8(e × e¢)2 (k × k¢)m2

- 8(e × e¢)m2 (k × e¢)(k¢ × e) + 8(e¢ × k)2 (p × k¢)

 

 

- 4(k × p)2 + 4(k × k¢)(p × p¢) - 4(k × p¢)(p × k¢) ,

(8.7.34)

2

+ 8(p

(8.7.35)

T4 = 16(p × k )(e × k )

 

× k)(p × k ) ,

 

 

t1 = t4 = 0 ,

 

(8.7.36)

t2 = t3 = -8(e × e)(k × e)(k× e) + 8(k × k)(e × e)2 - 4(k × k) .

(8.7.37)

492

Глава 8. Электродинамика

Собирая все эти слагаемые в формуле (8.7.24), получаем:

å

| M|2 =

 

 

e4

 

 

L

8(k × k¢)2

 

 

 

 

 

M

 

64(2p)

6

0

0

(k × p)(k¢ × p)

σ,σ′

 

 

ww¢p

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

O

+ 32(e × e¢)2 P . (8.7.38)

Q

Это выражение верно в любой лоренцовской системе. В лабораторной системе имеем:

F

1

 

1 I

k × k¢ = ww¢(cos q - 1) = mww¢G

 

-

 

J ,

 

 

H w

 

K

p × k = -mw , p × k¢ = -mw¢ .

Комбинируя формулы (8.7.38) и (8.7.17), приходим к следующему выражению для сечения в лабораторной системе:

1 åds(p, s + k, e ® p¢, s¢ + k¢, e¢) =

2 σ,σ′

 

e42dW

L w

 

O

(8.7.39)

=

 

M

 

+

 

- 2 + 4(e × e¢)2 P .

 

64p2m2w2

 

w

 

 

N

 

Q

 

Это знаменитая формула, полученная О. Клейном и Й. Нишиной в 1929 году (с помощью старой теории возмущений).

Как обсуждалось в разделе 8.6, если налетающий фотон не находится в состоянии с определенной поляризацией (как это обыч- но и бывает), следует усреднить по двум ортонормированным зна- чениям е. В результате такого усреднения имеем:

1

åeiej

=

1

(dij

$ $

2

2

- kikj ) ,

e

и соответственно дифференциальное сечение принимает вид:

1

åds(p, s + k, e ® p¢, s¢ + k¢, e¢) =

e42dW

L w

+

 

 

 

 

 

M

 

 

4

64p

2m2

w

2

 

w

 

e,σ,σ′

 

 

N

 

$

2 O

- 2(k × e¢)

P .

 

Q

(8.7.40)

8.7. Комптоновское рассеяние

493

 

 

Видим, что рассеянный фотон преимущественно поляризован в направлении, перпендикулярном направлению распространения как начального, так и конечного фотонов, т. е. перпендикулярно плоскости рассеяния. Это хорошо известный результат, ответственный, в частности, за поляризацию света от обращающихся друг около друга двойных звезд *.

Чтобы рассчитать сечение для тех экспериментов, в которых не измеряется поляризация конечного фотона, следует просуммировать выражение (8.7.40) по е, используя формулу:

 

 

′ ′

= δij

 

 

$

$

 

 

 

 

 

åeiej

kikj .

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

, σ′

) =

 

4

ådσ(p, σ + k, e p

+ k

, e

 

 

e,e,σ,σ′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e4ω′2dΩ

 

L ω

 

 

ω′

 

 

O

(8.7.41)

 

=

 

 

M

 

+

 

1 + cos2 θP

,

 

32π2m2ω2

 

ω

 

 

N ω′

 

 

 

 

Q

 

ãäå θ − угол между направлениями k и k. В нерелятивистском слу- чае ω n m и формула (8.7.41) принимает вид:

41 ådσ =

e4dΩ

 

 

 

(1 + cos2 θ) .

(8.7.42)

32π2m2

e,e,σ,σ′

 

 

 

 

Интеграл по телесному углу легко вычисляется:

 

 

2π

π

16π

 

z (1 + cos2 θ)dΩ = z dϕz (1 + cos2 θ) sin θ dθ =

,

3

00

* Свет одной из звезд поляризуется при рассеянии на свободных электронах внешней атмосферы второй, более холодной звезды в то время, когда обе находятся на одном луче зрения. Обычно такая поляризация не детектируется, поскольку она исчезает, когда астрономы суммируют свет от всех частей звездного диска. Но в те моменты времени, когда более холодная звезда заслоняет свет только с одной стороны более горячей звезды, поляризация света от двойных звездных систем наблюдалась.

494

Глава 8. Электродинамика

В результате полное сечение при ω n m имеет вид:

 

σT =

e4

 

(8.7.43)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

6π2m2

 

 

Часто эту формулу записывают в виде σ

T

= 8πr2/3, ãäå

r0 = e2/(4πm) = 2,818×1013

 

 

 

0

см называется классическим радиусом

электрона. Формула (8.7.43) называется томсоновским сечением, в честь Дж.Дж. Томсона, открывшего электрон. Формулы (8.7.42) и (8.7.43) первоначально были получены в рамках классических механики и электродинамики при расчете переизлучения * света нерелятивистским точечным зарядом в поле плоской электромагнитной волны.

8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы **

Антисимметричный тензор напряженности поля Fμν в электромаг-

нетизме представляет частный случай некоторого общего класса тензоров, играющих важную роль в физике и математике. По определению, р-форма есть антисимметричный ковариантный тензор ранга р. Имея р-форму tμ1,μ2 ,...,μp , можно построить (р+1)-форму, которая носит назва-

ние внешней производной *** dt, взяв производную и произведя антисимметризацию по всем индексам:

(dt)μ1,μ2 ,...,μp+1 ≡ ∂[μ1 tμ2 ,μ3 ,...,μp+1 ]

 

 

, (8.8.1)

≡ ∂

μ1

t

,μ3 ,...,μp+1

− ∂

μ2

t

,μ3

,...,μp+1

+ . . . + (1)p

t

 

μ2

 

μ1

 

μp+1

μ1,μ2 ,...,μp

где квадратные скобки означают антисимметризацию по индексам внутри скобок. Так как производные коммутируют, вторые внешние производные обращаются в нуль:

* Мы сохранили дословно терминологию оригинала ввиду ее образности. — Прим. пер.

**Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опущен при первом чтении

***Внешние производные и р-формы играют особую роль в общей теории относительности, в частности, потому, что внешняя производная тензора преобразуется как тензор, хотя она вычисляется с помощью обычных, а не ковариантных производных 5.

8.8. Обобщения: калибровочные поля как р-формы

495

 

 

d(dt) = 0.

(8.8.2)

Если внешняя производная р-формы обращается в нуль, то такая р-форма называется замкнутой, а если р-форма сама есть внешняя производная, она назывется точной. Из (8.8.2) следует, что всякая точная р-форма замкнута. Знаменитая теорема6 Пуанкаре утверждает, что в односвязной области всякая замкнутая р-форма точна *. Например, однородные уравнения Максвелла (8.1.16) утверждают, что 2-форма напряженности электромагнитного поля Fμν

замкнута. Из теоремы Пуанкаре следует тогда, что она точна, т. е. может быть записана в виде внешней производной: Fμν = μAν − ∂νAμ. Вновь используя (8.8.2), убеждаемся, что 2-форма Fμν не изменяется, если к Aμ добавить внешнюю производную, т. е. совершить калибровочное преобразование δAμ = μΩ.

Имея формализм р-форм и внешних производных, естественно рассмотреть возможность существования безмассовых частиц, описываемых калибровочными полями **, являющимися р-формами ***

Aμ

,...,μ

p

, при условии инвариантности теории относительно калибровоч-

1

 

 

 

ных преобразований

 

 

 

 

δA = dΩ,

(8.8.3)

* В многосвязных пространствах замкнутые формы не обязательно точны. Хотя и можно локально представить замкнутую форму как внешнюю производную, в общем случае этого нельзя сделать гладким образом во всем пространстве. Множество замкнутых р-форм, взятых по модулю точных р-форм, образует так называемую р-ую группу когомологий де Рама данного пространства. Существует глубокая связь между группами когомологий де Рама данного пространства и его топологией. 6 Подробнее это будет обсуждаться в т. II.

**Ниже такие поля мы называем просто р-формами и говорим о калибровочных теориях р-форм. — Прим. пер.

***Мы несколько неточно называем поле Aμ1 ,...,μp р-формой, так как для

того, чтобы F = dA был тензором, необходимо только, чтобы поле А было

тензором с точностью до калибровочного преобразования. На самом деле, мы уже видели, что в случае четырех пространственно-временных измерений невозможно построить 4-векторное поле из операторов рождения и уничтожения физических безмассовых частиц спиральности ±1, поэтому мы должны иметь дело с полем Аμ(x), преобразующимся в соответствии с правилом

(8.1.2) как 4-вектор только с точностью до калибровочного преобразования.

496 Глава 8. Электродинамика

или подробнее

δAμ1 ,...,μp = ∂[μ1 Ωμ2 ,...,μp ] ,

ãäå Ωμ1 ,...,μp1 произвольная (р1)-форма. Из р-формы можно по-

строить калибровочно-инвариантный тензор напряженности поля

F = d À,

(8.8.4)

или детальнее

 

Fμ1,...,μp+1 = ∂[μ1 Aμ2 ,...,μp+1 ] .

(8.8.5)

(Альтернативно можно исходить из (р+1)-формы F, предположить условие dF = 0 и отсюда вывести существование р-формы А, такой, что F = dA.) По аналогии с электродинамикой можно ожидать, что лагранжиан для А имеет вид

L = −

1

F

 

Fμ1 ,...,μp+1 + J

μ1

,...,μp A

 

 

,

(8.8.6)

 

,...,μp+1

μ1

,...,μp

 

2(p + 1)

μ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå J антисимметричный тензорный ток (являющийся либо с-чис-

лом, либо функцией полей, отличных от А), который должен удовлетворять условию сохранения

μ

Jμ1,...,μp = 0 .

(8.8.7)

 

1

 

для того чтобы действие было калибровочно-инвариантным *. Уравнения ЭйлераЛагранжа принимают вид

μFμμ1 ,...,μp = −Jμ1 ,...,μp .

(8.8.8)

р-Формы играют важную роль в калибровочных теориях с числом пространственно-временных измерений более четырех. Напри-

* Если ток J является функцией других полей, то он должен сохраняться на уравнениях движения этих полей, а калибровочная инвариантность имеет место для полного действия, включающего действие для других полей. —

Ïðèì. ðåä.

8.8. Обобщения: калибровочные поля как р-формы

497

 

 

мер, в простейших теориях струн в 26 пространственно-временных измерениях нормальная мода струны представляется при низких энергиях 2-формой Aμν. Однако в случае четырех измерений ис-

пользование р-форм не открывает новых возможностей.

Чтобы показать это, заметим, во-первых, что в D простран- ственно-временных измерениях не существует антисимметричных тензоров с более чем D индексами, поэтому в общем случае следует принять p + 1 D. Как и любая другая (р+1)-форма с p + 1 D,

напряженность поля F может быть выражена через дуальную (Dp1)-форму F:

Fμ1,...,μp+1 = εμ1,...,μD Fμ

p+2

,...,μ

.

(8.8.9)

 

 

D

 

Аналогично, р-форма тока J может быть записана через (Dp)-форму

òîêà J:

Jμ1 ,...,μp = εμ1 ,...,μD Jμ

p+1

,...,μ

.

(8.8.10)

 

 

D

 

Уравнение поля (8.8.8) и условие сохранения (8.8.7) принимают тогда простой вид

dF = J , dJ = 0 .

(8.8.11)

Так как дуальный ток является замкнутой формой, его можно записать через (Dp1)-форму S :

J = dS .

(8.8.12)

Из уравнений (8.8.11) и (8.8.12) следует, что разность F и S замкнута, поэтому в силу теоремы Пуанкаре

F = S + dφ ,

(8.8.13)

ãäå φ является (Dp2)-формой. Исключением является случай p = D 1, когда F и S оказываются 0-формами, т. е. скалярами, и

условие dF = dS означает просто, что F и S отличаются на константу. В таком случае калибровочное поле не описывает вообще никаких степеней свободы. Поэтому можно ограничиться рассмотрением случаев p D 2.

498 Глава 8. Электродинамика

Ïðè p D 2 однородные «уравнения Максвелла»

dF = 0

имеют вид

 

μ F μ1,...,μDp1 = 0 ,

(8.8.14)

1

 

что совместно с формулой (8.8.13) приводит к уравнению поля для φ:

μ

(dφ)μ1,...,μDp1

= −∂μ S μ2 ,...,μDp1 .

(8.8.15)

 

1

1

 

Оно инвариантно относительно нового набора калибровочных преобразований φ → φ + dω. Исключение — случай D p 2 = 0, когда

калибровочное преобразование. оставляющее F инвариантным, имеет вид φ → φ + c, где с — произвольная константа. Мы видим, что в

случае D пространственно-временных измерений калибровочная теория р-формы А с током J эквивалентна калибровочной теории (D p 2)-формы φ с током −∂S.

Теперь можно понять, почему калибровочные теории р-форм не приводят к новым возможностям в четырех измерениях. Мы видели, что нужно рассматривать только случаи p D 2, ò. å. ð = 0, 1, 2. 0-

формы являются скалярами S, для которых определение (8.8.5) принимает вид Fμ = μS, а уравнения поля — вид 9S = J. В данном

случае калибровочная инвариантность означает инвариантность относительно сдвига S S + c, где с — константа. Это теория без-

массового скалярного поля с взаимодействием с производными. 1-фор- ма — это 4-вектор Aμ(x), взаимодействующий с сохраняющимся

4-вектором тока, т. е. электродинамика. Наконец, согласно приведенному выше общему результату калибровочная теория 2-формы в че- тырехмерном пространстве-времени эквивалентна калибровочной теории 0-формы, а это, как мы видели, эквивалентно скалярному полю с взаимодействием с производными.

Приложение. Следы

При вычислении матричных элементов S-матрицы и вероятностей переходов для процессов с участием частиц спина 1/2, часто приходится вычислять следы от произведения γ-матриц Дирака. По-

этому полезно привести формулы для этих следов, которые используются во всех подобных вычислениях.