Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Усредняя выражение (20.6.27) по s¢ = s¢¢ и сравнивая результат с

выражением (20.6.19), получаем:

При таком определении операторов Osi, выбирая масштаб импульсов l2 в точке перенормировки достаточно большим, чтобы функции в операторном разложении можно было вычислить в древесном приближении, можно вывести вид этих функций из формул древесного приближения для сечения электрон-кваркового рассея-

ния. Прослеживая вывод выражений (20.6.9) и (20.6.10) в партонной модели, видим, что функции Wr для рассеяния электрона на кварке сорта f определяются в древесном приближении формулами *

Подставляя эти результаты в дисперсионные соотношения (20.6.18), получаем при w ¹ 1

* В выражение (20.6.31) включен множитель (mN/mf), поскольку величи- на ν определена как −(q•p)/mN, à íå êàê −(q•p)/mf, в то время как в (20.6.2)

входит W2/mN2, à íå W2/mf2. Тогда формула (20.6.32) следует из (20.6.10). Величину W можно записать в виде, не зависящем от масс: W = −2(q•p)/q2.

Очевидно, что удовлетворяющие этим уравнениям функции Wr можно записать в виде, аналогичном уравнениям (20.6.9) и (20.6.10) партонной модели:

ãäå Fi — партонная функция распределения, определяемая теперь уравнением моментов

В частности, видно, что асимптотическая свобода приводит не только к уточноенной версии бьеркеновского скейлинга, но и к соотношению Каллана-Гросса (20.6.12) между W1 è W2.

Альтарелли и Паризи 15 нашли элегантную переформулировку уравнений для моментов (20.6.42), которая стала широко использоваться при изучении глубоконеупругого рассеяния. Заметим, что уравнение (20.6.42) совместно с уравнением ренормгруппы (20.3.8) приводят к дифференциальным уравнениям

(20.6.43)

Эти уравнения совместно с «начальным» условием в точке перенормировки l2

где индексы 0 и f обозначают соответственно операторы (20.6.24) и (20.6.23), константы С1 è Ñ2 определены формулами (17.5.33) и (17.5.34) (причем след в выражении (17.5.34) берется только по одному сорту кварков), N есть число сортов кварков, а константа С3 определена (с использованием обозначений раздела 17.4) формулой

В реалистическом случае SU(3) калибровочной группы с кварками в ее определяющем представлениии 3, эти константы равны

Приведенные довольно сложные результаты принимают более простой вид, если выразить их через функции Альтарелли−

Паризи. Можно непосредственно убедиться, что условие (20.6.46) удовлетворяется, если

где в интеграле по x от 0 до 1 функция 1/(1– x)+ определена равенством

положительны. На самом деле, все они положительно определены, поскольку для s > 2 нет неперенормированных операторов. Поэтому строгий бьеркеновский скейлинг имеет место только в экстремальном пределе, когда gq2 → 0, и выживает только вклад тензора энергии−импульса. Предсказания о нарушениях бьеркеновского скейлинга

были подтверждены экспериментально в результате исчерпывающего анализа глубоконеупругого электрон−нуклонного и мюон−íóê-

лонного рассеяния.

20.7.Ренормалоны *

Ñмомента зарождения квантовой теории поля теоретиков интересовал вопрос, сходятся ли ряды теории возмущений для физи- ческих матричных элементов, а если нет, то что можно с этим сделать? В самом начале современного периода развития Дайсон 18 отметил, что число диаграмм n-го порядка теории возмущений типично растет как n!, откуда можно сделать вывод, что ряды теории возмущений имеют нулевой радиус сходимости.

Для улучшения сходимости степенных рядов, у которых член n-го порядка растет как n!, существует хорошо известная техника, называемая преобразованием Бореля 19, которая позволяет либо сделать ряд сходящимся, либо, по крайней мере, исправить поведение ряда так, что он может быть использован как асимптотическое разложение в более широком интервале значений констант связи. Для данного ряда

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

Åñëè fn растет не быстрее, чем n!, тогда в общем случае B(z) будет иметь по крайней мере конечный радиус сходимости. Вопрос заклю- чается в том, можем ли мы восстановить исходный ряд (20.7.1), зная пересуммированный ряд (20.7.2)? Используя знакомую фор-

ìóëó

z0∞ expb− zgg zn dz = n! gn+1,

видим, что, по крайней мере, формально

Особенности B(z) в любом месте комплексной плоскости ограничивают радиус сходимости ряда (20.7.2), однако если эти особенности находятся вне положительной действительной оси, такое ограничение не является неразрешимой проблемой. Чтобы вычислить F(g) с помощью (20.7.3), нужно знать значения B(z) только для действительных положительных z, меньших или порядка g, и эти зна- чения можно получить из степенного ряда (20.7.1), если все особенности B(z) в комплексной плоскости находятся от начала координат на расстояниях, много больших g. Даже если модули нескольких полюсов z1, z2 и т. д. — порядка или меньше g, можно вычислить B(z) для значений z порядка g, используя степенной ряд для (z − z1)(z − z2)... B(z), но для этого, правда, мы должны знать, где эти

полюсы находятся.

Особенности B(z) на положительной действительной оси зна- чительно неприятнее, поскольку они делают недействительной формулу (20.7.3). Контур интегрирования в этом интеграле можно деформировать так, чтобы обойти особенности на положительной действительной оси, но тогда мы сталкиваемся с неоднозначностью: следует ли проводить контур над или под особенностью?

В этом разделе мы покажем, что некоторые особенности борелевского образа B(z) связаны с решениями классических полевых уравнений, известных как инстантоны, в то время как другие особенности, называемые ренормалонами, связаны со слагаемыми в операторном разложении. В квантовой хромодинамике именно ренормалоны препятствуют применению преобразования Бореля для суммирования рядов теории возмущений.

Впервые Липатов 20 в 1976 г. показал, что некоторые особенности борелевского образа B(z) связаны с существованием классических

решений полевых уравнений. Рассмотрим функцию F(g), определенную евклидовым функциональным интегралом

(Использование евклидового функционального интегрирования обсуждается в Приложении А к гл. 23.) Коэффициенты в степенном ряде (20.7.1) даются выражением

ãäå z означает контурный интеграл, взятый по обходимому против

часовой стрелки замкнутому контуру в комплексной плоскости g, окружающему точку g = 0. Для очень больших n разумно предположить, что интеграл определяется точкой ϕn, gn, где аргумент экспоненты в последней строке формулы (20.7.5) стационарен как по ϕ,

òàê è ïî g:

Например, предположим, что I[ϕ, g] есть действие безмассового

скалярного поля

I[ϕ, g] = − 21 z ∂iϕ∂iϕ d4x − 24g z ϕ4d4x, (20.7.8)

где суммирование производится по направлениям евклидовых координат 1, 2, 3, 4. Тогда уравнение поля (20.7.6) принимает вид