- •Глава 8.
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
- •8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
- •8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции Краткая теория
- •8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба Краткая теория
- •8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков Краткая теория
- •8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Краткая теория
- •Глава 9. Дифференциал функции Краткая теория
- •3.Свойства дифференциала:
- •5. Дифференциалы высших порядков.
- •9.7.9.8.
- •Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
- •10.2. Интегрирование разложением.
- •10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
- •10.4. Метод подстановки.
- •10.5. Метод интегрирования по частям.
- •10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.
- •10.7. Интегрирование рациональных функций.
- •10.138.
- •10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •10.149.10.150.10.151.
- •Глава 11. Определенный интеграл Краткая теория
- •2. Свойства определенного интеграла:
- •11.1. Методы вычисления определенного интеграла
- •11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. Краткая теория Площади плоских фигур
- •1.Если функциянеотрицательна на отрезке, то площадьпод кривойна( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи
- •Длина дуги кривой
- •Площадь поверхности вращения
- •Объемы тел вращения
- •11.38. 11.39..
- •Б. Несобственные интегралы от неограниченных функций Краткая теория
- •(11.25)
- •11.75. .
- •11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике
10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
Если (16)
то (17)
где - любая дифференцируемая функция от х. Формула (17) получается из формулы (16) путем формальной замены х на u, она дает возможность значительно расширить таблицу простейших интегралов. На ее основании получаем:
(5)'(11)'
(6)'(12)'
(7)'(13)'
(8)'(14)'
(9)'(15)'
(10)'
При пользовании формулами (5') — (15') необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:
1., гдеb– постоянная величина.5.
2., где постоянная.6.
3.7.
4.
В общем случае
1.Найти неопределенный интеграл
На основании преобразования 3 дифференциала имеем
Применяя формулу для случая, когданаходим
2. Найти интеграл
3. Найти интеграл
10.4. Метод подстановки.
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основан на формуле , где– дифференцируемая функция переменнойt.
1. Найти интеграл.
Положим , тогда2xdx = dt,. Подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим
.
Этот пример можно решить и по-другому (см §2):
.
2.Найти интеграл.
Положим , откуда,,
Следовательно,
.
3.Найти интеграл.
Положим , откуда,
Таким образом, .
Тот же результат можно получить непосредственно (см §2):
.
4. Найти интегралподстановкой.
Из подстановки следует, что;;, а поэтому подынтегральное выражение
;.
Подставляя сюда , окончательно получим
.
Следует иметь в виду, что за счет тождественного преобразования ответа, а также в связи с возможностью представить произвольную постоянную интегрирования в разных видах ответы при вычислении неопределенных интегралов могут получаться различные.
Используя указанные замены переменной, найти интегралы:
10.21..10.22..10.23.10.24..10.25..10.26..
10.27..
Найти интегралы:
10.28.10.29.10.30.
10.3110.32.10.33.
10.34.10.35. 10.36
10.37.10.38.10.39
10.40.10.41.10.42.
10.43.10.44.10.45.
10.46.10.47.10.48.
10.49.10.50.10.51.
10.52.10.53.10.54.
10.55.10.56.10.57.
10.58.10.59.10.60.
10.61.10.62.10.63.
10.64.10.65.10.66.
10.67.10.68.10.69.
10.70.10.71.10.72.
10.5. Метод интегрирования по частям.
Если ,-дифференцируемые функции отx, то из формулы для дифференциала произведения двух функций
получается формула интегрирования по частям
.(18)
Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.
В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качествеdv – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащаяdx,из которой можно определитьvпутем интегрирования.
В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (18)применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.
1.Найти.
Обозначим: x = u, sinx dx = dv.
Для применения формулы (18)необходимо знать ещеvиdu. Дифференцируя равенствоx = u, получаемdx = du. Интегрируя равенство, определяем .
Подставляя значения u, v, du, dvв формулу(18)находим
.
2.Найти.
Полагая ,, получаем,. Следовательно,
.(А)
Полученный интеграл снова находится интегрированием по частям (пример 1). Его можно найти и не вводя явно uиv. Имеем
.
Подставляя это выражение для интеграла в формулу (А), находим
где .
3. Найти.
Положим ,, отсюда,.
Применяя формулу (18), получаем
.(В)
К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям, не вводя явно uиv. Имеем
.
Подставляя найденное выражение в формулу (В), находим
,
откуда .
Следовательно,
Найти интегралы:
10.75.10.76.10.77.10.78.
10.79.10.80.10.81.10.82.
10.83.10.84.10.85.10.86.
10.87.10.8810.8910.90.
10.91.10.92.10.93.10.94.
10.95.10.96.10.97.10.98.
10.99.10.100.10.101.10.102.
10.103.10.104.