Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

518.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

f (x)

ý D = 2

ïþ x

Рис. 11.2. График функции f (x)

12. Непрерывность ф ункции в инте рвале и на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях

Определение 12.1. Функция y = f (x) называется непрерывной в интер-

вале (a;b) ,	если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 12.2. Функция		y = f (x) называется непрерывной на		от-
резке [a;b] , если она непрерывна		в интервале(a;b) и в точке	a непрерывна
справа (то	есть lim f (x) = f (a) ),	а в точке b непрерывна	слева(то	есть
	x®a+

lim f (x) = f (b) ).

x®b-

Для всех элементарных функций справедливы теоремы 12.1, 12.2 и 12.3. Теорема 12.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функ-

ций есть функция непрерывная(для частного за исключения тех значений аргумента, в которых знаменатель равен нулю).

Теорема 12.2. Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) непрерывна в точкеu0 = g(x0 ) . Тогда сложная функция f (g(x)) непрерывна в точке x0 .

Теорема 12.3. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

В заключение приведем основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 12.4. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] , то она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Из теоремы 12.4 следует, что если функция непрерывна на отрезке[a;b] , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 12.5. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f (a) = A и f (b) = B , то на этом отрезке принимает все промежуточные значения между A и B .

Из теоремы 12.5 следует, что если непрерывная функция y = f (x) имеет

на концах	интервала [a;b] разные знаки,	то существует хотя	бы одна точка
c Î(a;b) , в	которой значение функции f (x)	равно нулю, то есть	f (c) = 0 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Егоров В.Я., Недвецкая А.И., Толмачева М.А. Сборник домашних заданий по курсу высшей математики: метод. рук. для студентов всех специальностей дневной формы обучения.– Екатеринбург : УрГУПС, 2004. – 56 с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

3.Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.

Ч. 1. – Минск : Выш. шк., 1990. – 270 с.

4.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1: учеб. для ву-

зов. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001. – 464 с.

5. Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н., и др. Сборник задач по выс-

шей математике: 1 курс.− М. : Айрис-пресс, 2004.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

Найти области определения функций

б)

y = arccos

1 - 2x

;

в)

y =

а) y =

4x - x2 ;

log0,3 (3 - x)

Найти множество значений функции y =4cos 2x .

Дана

функция f (x) = lg(x - 3) .

Найти

f (4),

f (13),

f (x2 ), f (1/ x).

Ре-

шить уравнение

f (x + 3) + f (x) = f (7) .

Дана

функция

f (x) =| x - 2 | + | x + 3 | -9 .

Записать

в виде

составной

функции и построить ее график. Решить уравнение

f (x) = 0.

Построить графики функций

2x +1

y =log2 (x - 3) ;

а) y =

;

б) y = 2

4 - x ; в)

г)

y = 2 ×sin ç x +

÷.

x -1

Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

2x + x - 2 = 0.

Вычислить пределы

а) lim

4x2

- 7x - 2

;

б) lim

2x3 + x2 - 3x

;

в) lim

x ×sin x

;

x®¥

5 - 3x

+ 2x

x®0

1 - cos 4x

x®2

7x - 6 - 2x2

öx

- 2

г) lim

x + 3

÷ ;

д) lim

-1

x®¥ è

x®1

Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = 2, x2 = 3, x3 = 8 :

ì x2 - 2,

x < 3;

y(x) =

x +1, 3 £ x

£ 8;

x > 8.

ï ln(x - 8),

Построить график функции. Для точек разрыва первого рода найти величину скачка функции. В точках разрыва второго рода построить вертикальную асимптоту x = x0 .

Вариант 2

1. Найти области определения функций

а) y =

;

9 - x2

в) y = arcsin

2x -1 .

8 + 2x - x2

б)

y = log3 x2 + 4

;

Найти множество значений функции y = sin x + 5 .

2. Дана функция f (x) =

. Найти f (3),

f (-1), f (2x), f (

x ). Решить

- 4

уравнение f (2x) - f (

) = 0.

3.Дана функция f (x) = 2x - 2 + x + 2 - 9. Записать в виде составной функции и построить ее график. Решить уравнение f (x) = 0.

4.Построить графики функций

	x - 3		æ	p ö

а) y =		; б) y = - 3 + x ; в) y =2log2 (x +1) ;	г) y = cos ç x -		÷.
	x -1			3
			è		ø

5. Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

3x-1 + x = 0.

6. Вычислить пределы

а) lim

x2 + 2x - 3

;

) limб

+ x4

- 5

;

в) lim

arcsin 5x

;

-5x + 3 + 2x2

+ 2x + 2x4

- x

x®1

x®¥ 5

x®0

æ 2x +1 öx

д) lim(

x2 - 7 -

x2 + 9) .

г) limç

÷ ;

x®¥

x®¥ è

2x + 3 ø

Исследовать

функцию

на

непрерывность в точкахx = -3,= x

-2,

x3 = 3 :

ìlog2 (-3 - x), x < -3;

- 3 £ x < 3;

y(x) = í

- 4)

x ³ 3.

Вариант 3

1. Найти области определения функций

а) y = 5 - x -

;

б) y

lg(sin x) ;

в) y = 0,5

4-x2

+ x -1 .

Найти множество значений функции y = 2 - sin2 x .

2. Дана

функция f (x) = tg x . Найти f (p / 3), f (p / 6),

f (x2 ), f (x +p ). Ре-

æ p

шить уравнение

f (x) +

- x =

2 × f (p / 4).

è 2

3. Дана

функция

f (x) = x

x - 3

- 2x + 6.

Записать

виде

составной

функции и построить ее график. Решить уравнение f (x) = 0.

4. Построить графики функций

1 + 2x

а) y =

;

б)

y +1

=2 + 2x ; в) y =log2 (2x -1) ; г) y = sin ç x

÷.

x + 2

5. Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

lg x + x - 3 = 0.

6. Вычислить пределы

а) lim	2x2	- x -10	;	) бlim	2x2	+ x - 3	;	в) lim	tg 3x	;
									2sin x
x®-2 4x2 + 5x - 6				x®¥ 7x + 4x2 + 2				x®0

æ 2 + x öx					2x + 3	-	3x + 4
г) limç		÷	;	д) lim				.
	x				x +1
x®¥ è		ø		x®-1

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = -3, x2 =1, x3 = 3 :

ì		x	,		- 6 < x < -3;
ï
ï
ï x + 3
y(x) = í	-x,				- 3 £ x < 3;
ï	-x,				- 3 £ x < 3;
ï				2
ï				2	+ 2,	x ³ 3.
ï
î-(x - 4)

Вариант 4

1. Найти области определения функций

2x +1

б)

y = arccos

;

в) y =

+ 4 - x2 .

а)

y =

x2 - 5x + 6 ;

ctg x

Найти множество значений функции y = 2cos x -1.

Дана

функция f (x) = lg(2x -1) . Найти

f (1), f (5,5),

f (1 + x), f (x / 2).

Решить уравнение f (x + 2) - f (x2 ) = f (1).

Дана функция

f (x) =

3x -1

x + 3

-10.

Записать

виде составной

функции и построить ее график. Решить уравнение

f (x) = 0.

4. Построить графики функций

а)

y =

4x -1

б) y = 3 +

; в) y =log2 (3 - 2x) ; г)

y = 2 + sin (2x).

;

2x +1

x + 2

теж

Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

2sin x + x -1 = 0.

6. Вычислить пределы

а) lim

2x2 - 9x + 9

;

б) lim

+ x2 - 6x4

в) lim

1 - cos 4x

;

6 - 2x

3x3

+ 2x5

x cos x

x®3

x®¥

x®0

2x +1 öx

г) lim

д) lim(

2x -1 -

x + 3) .

÷ ;

x®¥

x®¥ è

2x + 5 ø

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = -3, x2 =1, x3 = 2 :

ì x +1,

x < -3;

y(x) =

- 3

£ x < 3;

ï x -1

x ³ 3.

ï 2,

Вариант 5

Найти области определения функций

а) y =

;

б)

y = arcsin

x + 2

;

в) y = log

1 - 2x

x3 - x

2 4 - x

Найти множество значений функции y =

sin x +1.

Дана

функция

f (x) =

. Найти f (-3), f (2), f (1/ x), f (cos x). Ре-

1 - x2

шить уравнение

f (tg x) =1.

Дана

функция f (x) =| 4x +1| +

2x - 4

- 9.

Записать в

виде

составной

функции и построить ее график. Решить уравнение

f (x) = 0.

Построить графики функций

p ö

а)

y =

;

б) y

-1 2 =4 - x ; в) y =log3 (2x) ; г) y = sin ç x +

÷.

3x +1

4 ø

Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

2cos x - 3x -1 = 0.

Вычислить пределы

а)

lim

2x2 +13x + 21

;

б) lim

5x2 - 3x4

;

в) lim

1 - cos 5x

;

+ 5x - 3

2x2

x®-3 2x2

x®¥ 8x4 + x2 +

x®0

æ 3x -1 öx

д) lim( x - 2 -

x ) .

г)

limç

÷ ;

x®¥

x®¥ è 3x

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = -2, x2 = 2, x3 = 3 :

ì x + 4,			x < -2;
ï			- 2 £ x < 2;
ï
ï- 4 - x2 ,
y(x) = í	1
ï	1	,	x ³ 2.
ï
ï
î x - 2

Вариант 6

1. Найти области определения функций

x2 - 7x +12

4 - x2

в) y =

+ 2

а) y =

x2 -10x + 25 ;

б) y = 2cos x -1

;

ln(2x + 5)

Найти множество значений функции y = 0,5sin(x +1) .

Дана функция f (x) = cos

. Найти

f (-p / 2), f (0),

f (2x), f (x - p ). Ре-

шить уравнение f (x + 2p ) = f (p / 2).

3.Дана функция f (x) = 3x - 3 - (x -1)2. Записать в виде составной функции и построить ее график. Решить уравнение f (x) = 0.

4.Построить графики функций

	2x - 3		æ x - p ö
	2x - 3		æ x - p ö
а) y =		; б) y = 5 - 2 1 - x ; в) y =log4 (x -1)	; г) y = sin ç		÷.
а) y =	x +1	; б) y = 5 - 2 1 - x ; в) y =log4 (x -1)	; г) y = sin ç	2	÷.
	x +1		è	2	ø

5. Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

2x + log2 (-x) = 0.

6. Вычислить пределы

а) lim

2x3 + 5x2 - x - 6

;

) бlim

x2 + x - 5x4

;

в) lim

arctg 2x

;

x®1

x2 + 4x - 5

x®¥ 5x4 + 2x +1

x®0 ln(1 + 3x)

æ x -1 öx+2

- 2

г) lim

4 + x

;

д) lim

x®¥ è x + 3

x®0

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 =1, x2 = 2, x3 = 4 :

ì x - 2,

x <1;

+ 2x

y(x) =

ï1

, 1

£ x < 4;

ï 1 - x

x - 3,

x ³ 4.

Вариант 7

Найти области определения функций

б)

y = arccos

x +1

;

в) y

x2 -1

а) y =

5 - 4x - x ;

lg x2 - 4x + 5 .

Найти множество значений функции y = 5,6cos x .

Дана

функция

f (x) = 1 - 4x2 .

Найти

f (0), f (1/ 2),

f (1/ x), f (x - 0,5).

Решить уравнение

f (0,5 ×sin x) = f (0).

Дана

функция

f (x) = x2 -

4x - 2

+ 2.

Записать

виде

составной

функции и построить ее график. Решить уравнение f (x) = 0.

Построить графики функций

3x +1

а) y =

;

б) y = 4 +

5 - x ; в)

y =lg(3x -1); г)

y =1 + sin

ç x +

÷.

2 - x

5. Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

sin x + x =1.

6. Вычислить пределы

а)

lim

3x2

+10x + 8

;

)

limб

2x + x4 + x2

;

в) lim

e3x -1

;

-11x + 2x4

+ 27x

x®-2 x3 + 7x2 +10x

x®¥ 1

x®0 x3

æ x -

öx+2

д)

lim (

x2 + 2x + 2 - x) .

г)

limç

;

x®+¥

x®¥ è x +

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = 0, x2 = 4, x3 = 5 :

ì2x - x2 + 3, x < 0;

	ï
	ï	x, 0 £ x < 4;
	ï	x, 0 £ x < 4;
	y(x) = í

ï1

ï, x ³ 4.

î x - 4

Вариант 8

Найти области определения функций

+ 3

б) y = ln cos x ;

в) y =

x - 2

а)

y =

2x2 + 3x - 5 ;

x - 5

x + 3

Найти множество значений функции y = 2x + 5 .

Дана

функция f (x) =

4x +

. Найти

f (1), f (1 + x), f (x2 ), f (1/ x). Ре-

шить уравнение

[ f (x)]2 = 5.

Дана

функция f (x) =

x2 - 5x + 2

- 2.

Записать

виде

составной

функции и построить ее график. Решить уравнение f (x) = 0.

Построить графики функций

æ x ö

а) y =

;

б) y = 2 - 3 + x; в) y =log2

(3 - x);

г)

y =1 - sin ç

÷.

x +1

2 ø

5. Решить уравнение приближенно графическим методом, построить чер-

теж

x2 +1 + 1 = 0. x

6. Вычислить пределы

а) lim

7x2 - 6x

-1

;

б)

lim

13x - 5x3

;

в) lim

ln(1

+ 3x2 )

;

2x2 - 2

8x + 2x3

- 5x

x®1

x®¥ 7

x®0 x3

æ 5x +1

г) lim

д)

lim (

2x +1

3x +1) .

;

x®+¥

5x - 2

x®¥ è

7. Исследовать функцию на непрерывность в точках x1 = -1, x2 =1, x3 = 2 :

ì	2x		,	x < -1;
ï

ï x +1
y(x) = í	2	+ x -1,		-1 £ x < 2;
ïx
ï	- x,			x ³ 2.
î3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.2015297.47 Кб9мамоново-сан.DOC
#
23.11.2018319.49 Кб5МАРИНА КАПАРИНА.doc
#
17.05.2015575.08 Кб38маркетинг .pdf
#
17.05.2015185.86 Кб26марущак отформат.doc
#
18.03.2016742.91 Кб50Маршрутные карты.doc
#
17.05.2015518.98 Кб35матан.pdf
#
17.05.2015490.79 Кб26матем 1 уск 2009.pdf
#
17.05.201511.02 Кб18Матем.docx
#
17.05.2015632.36 Кб40математика II 2008 6 лет.pdf
#
17.05.2015457.66 Кб26математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664.38 Кб37Математика ч.2.pdf