матан

8. Бесконечно большие и бесконечно малые ф ункции

Определение 8.1. Функция α(x) называется бесконечно большой при x ® x0 , если для любого положительного числа N существует положительное

x ® x0 , если значения функции α(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при неограниченном приближении x к x0 , где x ¹ x0 .

Определение 8.1 формально можно записать следующим образом:

Следовательно, lim α(x) = ¥ тогда и только тогда, когда для любого по-

x®x0

ложительного числа N найдется такая δ − окрестность точки x0 , что для любого x ¹ x0 из этой δ − окрестности соответствующее значение функции α(x) по-

y = -N

-N

f (x2 )

Рис. 8.1. Геометрический смысл предела lim f (x) = ¥

x®x0

График функции y = f (x) расположен выше прямой y = N или ниже прямой y = -N для любого x из δ − окрестности точки x0 (см. рис. 6.1). В этом

состоит геометрический смысл предела lim f (x) = ¥ .

x®x0

21

x ® ¥ , если для любого положительного числа N существует положительное число M = M (N ) такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству | x | > M , выполняется неравенство | α(x) |> N.

Обозначают lim α(x) = ¥.

x®¥

Другими словами, функция α(x) называется бесконечно большой, если значения функции α(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине

при x ® ¥ .

Определение 8.2 формально можно записать следующим образом:

y

y = f (x)

f (x1)

-N

y = -N

f (x2 )

Рис. 8.2. Геометрический смысл предела lim f (x) = ¥

x®¥

22

смысл предела lim f (x) = ¥.

Определение 8.3. Если lim α(x) = 0 , то α(x) называется бесконечно ма-

x®x0

лой функцией при x ® x0 .

Другими словами, функция α(x) называется бесконечно малой, если значения функции α(x) неограниченно приближаются к нулю при x ® x0 .

Аналогично определяются бесконечно малые функции xпри® ¥ , x ® +¥ , x ® -¥ , x ® x0 - , x ® x0 + .

Например, функция α(x) = x3 -1 является бесконечно малой при x ®1.

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.

Свойство 8.1. Сумма или разность конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Свойство 8.2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция.

Свойство 8.3. Произведение бесконечно малой функции на число есть бесконечно малая функция.

Свойство 8.4. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Свойство 8.5. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.

Теорема 8.1. Если α(x) − бесконечно малая функция приx ® x0 , то

При нахождении пределов используются следующие теоремы о пределах.

Теорема 9.1. Если lim f (x) = A , lim g(x) = B , тогда

23

2) lim ( f (x) × g(=x)) A × B;

x®x0

Теорема 9.4. Предел произведения(частного) двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Таким образом, эквивалентные бесконечно малые функции можно заменять друг на друга при вычислении предела произведения или частного, при этом нужно заменятьполностью либо один сомножитель, либо числитель и (или) знаменатель дроби. Заменять одно из слагаемых в сумме(или разности) нельзя.

Следующая таблица эквивалентных бесконечно малых функцийявля-

24

Решение. При x ®1 предел числителя и знаменателя равен нулю. Следовательно, непосредственное применение теоремы9.1 здесь невозможно. Вы-

ì0 ü

числение данного предела сводится к раскрытию неопределенности видаí ý.

î0 þ

Для этого преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

Решение. Непосредственное применение теоремы 9.1 здесь также невозможно, так как при x ® ¥ числитель и знаменатель стремятся к ¥ . В этом случае вычисление данного предела сводится к раскрытию неопределенности вида

ì¥ ü í ý. Для этого преобразуем дробь: разделим числитель и знаменатель на

î¥ þ

старшую степень x , то есть на x2 . Получим

25

Пример 9.3. Найти предел lim 1 - cos 6x . x®0 tg2 2x

Решение. При x ® 0 предел числителя и знаменателя равен нулю. Имеем

ì0 ü

неопределенность вида í ý. Для вычисления данного предела используем эк-

î0 þ

1-й способ. Вычислим данный предел с помощью второго замечательного предела. Для этого преобразуем функцию – прибавим и вычтем 1:

2-й способ. Вычислим данный предел с помощью эквивалентных бесконечно малых функций. Обозначим

æ x - 3 öx-1 A = ç ÷ .

è x +1 ø

Прологарифмируем левую и правую части данного равенства по основанию e :

æ x - 3 öx-1 ln A = ln ç ÷ ,

è x +1 ø

тогда

26

x

Следовательно, ln A ® -4 при x ® ¥ . Тогда, по определению логарифма и в силу монотонности логарифмической функции, получаем, что A ® e-4 , то есть

x-1

lim A = limæç x - 3 ö÷ = e-4 .

x®¥ x®¥ è x +1 ø

Пример 9.5. Найти предел lim (x + 2 - x - 2).

x®+¥

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

10.Непрерывность ф ункции в точке

Спонятием предела функции тесно связано другое важное понятие − не-

прерывность функции. Рассмотрим функцию y = f (x) , определенную в точке x0 и некоторой ее окрестности.

27

точке, то есть

lim f (x) = f (x0 ) .

x®x0

Это определение непрерывности функции в точке эквивалентно следующему определению.

Определение 10.2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0 , если функция определена в точкеx = x0 и некоторой ее окрестности и

односторонние пределы lim f (x) , lim f (x) функции в точке x0 равны между

x®x0 - x®x0 +

собой и равны значению f (x0 ) функции в этой точке, то есть выполняется равенство

11. Точки ра зрыва и их классификация

Точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва этой функции.

Если x = x0 − точка разрыва функции y = f (x) , то возможны следующие случаи:

1)функция определена в окрестности точки, но неопределена в самой точке x = x0 ;

2)функция определена в точке x = x0 и ее окрестности, но не существует

предел lim f (x) функции в этой точке;

x®x0

3) функция определена в точке x = x0 и ее окрестности, существует пре-

дел lim f (x) функции в этой точке, но этот предел не равен значению f (x0 )

x®x0

функции в точке x = x0 .

Точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго

рода.

x®x0 +

При этом если:

1) односторонние пределы равны A = B , но не равны значению функции f (x0 ) в этой точке, то точка x = x0 называется точкой устранимого разрыва;

28

2) односторонние пределы не равны между собой A ¹ B , то точка x = x0 называется точкой конечного разрыва. В этом случае функции в точкеx = x0 совершает скачок на величину D | =A - B | .

Определение 11.2.Точка x = x0 называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x) , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Пример 11.1. Исследовать на непрерывность функцию

то есть односторонние пределы в точкеx = 0 существуют, конечны и равны. Однако, значение функции в точке x = 0 равно 3 . Следовательно, точка x = 0 − точка разрыва первого рода, причем, это точка устранимого разрыва. График данной функции изображен на рис. 11.1.

f (x)

3

2

1

x

Рис. 11.1. x = 0 – точка устранимого разрыва

Для устранения разрыва достаточно переопределить функцию так, чтобы

f (0) =1. Полученная функция f (x) будет непрерывной при всех x Î(-¥; + ¥).

29

Указать характер разрыва и величину скачка в точке конечного разрыва. Построить график функции.

30