матан

Функция определена на всей числовой оси, то есть D( y) : (-¥;+¥) . Множество значений функции имеет вид E( y) : (0;+¥) .

a

a

Рис. 4.2. Графики показательной функции

Рис. 4.3. Графики логарифмической функции

Тригонометрические функции y = cos x , y = sin x , y = tg x , y = ctg x .

11

Функции y = cos x и y = sin x определены на всей числовой оси, то есть D( y) : (-¥;+¥) . Множество значений данных функций– это отрезок [-1;1], то есть E( y) :[-1;1] .

Функции y = tg x и y = ctg x определены при всех значениях x , кроме точек соответственно

x ¹ p + pk, k ÎZ и x ¹ pn, n ÎZ.

2

Множество значений данных функций имеет вид E( y) : (-¥; +¥) . Графики тригонометрических функций изображены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Графики тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции y = arccos x , y = arcsin x , y = arctg x , y = arcctg x .

Функции y = arccos x и y = arcsin x определены на отрезке [-1;1], то есть D( y) :[-1;1] . На рис. 4.5 жирно выделены графики главных ветвей y = arccos x и

12

Рис. 4.5. Графики обратных тригонометрических функций

Определение 4.2. Элементарной называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.

5. Построение графиков ф ункции с помощью преобразований

При построении графиков функций с помощью основных элементарных функций можно пользоваться следующими правилами преобразования графи-

ков:

13

тем его симметричного отражения относительно оси Oy ;

Пример 5.1. С помощью преобразования графиков элементарных функций построить график функции y = -log2 (x + 3) .

Решение. Сначала построим график элементарной логарифмической

y

y3 = -log3 (x + 3)

x

Рис. 5.1. Построение графика функции y = -log2 (x + 3)

14

Графическое изображение функций дает возможность находить приближенное решение любого уравнения с одним неизвестным.

Пример 5.2. Решить уравнение приближенно графическим методом x2 + log3 x = 0 .

Решение. Данное уравнение запишем в виде x2 = -log3 x .

y

y1 = x2

А

x

x

y2 = -log3 x

Рис. 5.2. Графики функций y1 = x2 и y2 = -log3 x

Для того, чтобы найти корни уравнения, (если они есть) построим графики функций y1 = x2 и y2 = -log3 x . Из рис. 5.2 видно, что графики данных функций имеют одну общую точкуА. Абсцисса x точки А и будет являться корнем исходного уравнения. По построению находим приближенное значение x » 0, 64 .

15

Следовательно, при x £ -1 функция f (x) имеет вид

f (x) = -(x +1) - (2x - 4) - 9= -x -1 - 2x + 4 - 9= -3x - 6 .

При -1 < x £ 2 :

f (x) = (x +1) - (2x - 4) - 9= x +1 - 2x + 4 - 9= -x - 4 ,

и x > 2 :

f (x) = (x +1) + (2x - 4) - 9 = x +1 + 2x - 4 - 9 = 3x -12 .

Таким образом, f (x) можно записать в виде составной функции:

График данной функции изображен на рис. 5.3.

y

x

Рис. 5.3. График функции f (x)

Из рис. 5.3 видно, что решениями уравнения f (x) = 0 являются x1 = -2 и x2 = 4 . Действительно, если x £ -1, то функция f (x) = -3x - 6 принимает значение, равное нулю при x = -2 Î(-¥;-1]. На промежутке -1 < x £ 2 функция имеет вид f (x) = -x - 4 и -x - 4 = 0 при x = -4 Ï(-1;2]. При x > 2 имеем f (x) = 3x -12 и 3x -12 = 0 при x = 4 Î(2;+¥) .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

6. Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть x0 − произвольная точка на числовой прямой.

Определение 6.1. δ −окрестностью точки x0 называется интервал

(x0 - δ; x0 + δ) , где δ > 0 .

16

Число x0 называется центром окрестности, а число δ − ее радиусом.

Рис 6.1. δ -окрестность точки x0

Если x принадлежит интервалу (x0 - δ; x0 + δ) , то выполняется неравенство x0 - δ < x < x0 + δ или | x0 - x |< δ . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в δ -окрестность точки x0 (см. рис. 6.1).

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точкиx0 , кроме, может быть, самой точки x0 .

Определение 6.2. Число A называется пределом функции y = f (x) в

точке x = x0 (или при x ® x0 ), если для любого положительного числа ε существует положительное число δ = δ(ε) такое, что для всех x , удовлетворяющих

приближаются к x0 , при этом x ¹ x0 , то число A называется пределом функции при стремлении x к x0 .

Используя логические символы "– означающего «для любого», «для всякого»; $– «существует», «найдется», определение 6.2 формально записывается следующим образом:

x ¹ x0 из этой δ − окрестности соответствующее значение функции f (x) попадает в ε − окрестность точки A .

Геометрический смысл предела lim f (x) = A заключается в том, что гра-

17

y

y = f (x)

Рис. 6.2. Геометрический смысл предела lim f (x) = A

x®x0

Например, если f (x) = x2 +1, то при приближении x к 2 значения функции

приближаются к 22 +1 = 5 , то есть предел данной функции при x ® 2 равен 5 : lim (x2 +1) = 5.

число M = M (ε) такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству | x | > M , выполняется неравенство | f (x) - A |< ε. Такой предельный переход обозначают

lim f (x) = A.

x®¥

возрастают (убывают), то есть при x ® +¥ ( x ® -¥ ), то число A называется пределом функции при x ® +¥ ( x ® -¥ ).

Формально определение 6.3 записывается следующим образом:

("ε > 0 $M = M (ε) > 0 "x :| x | > M Þ | f (x) - A |< ε) Û lim=f (x) A.

x®¥

18

Рис. 6.3. Геометрический смысл предела lim f (x) = A

x®¥

График функции y = f (x) в этом случае расположен между прямыми y = A + ε и y = A - ε для любого x из интервала (-¥; M ) или (M ;+¥) (см. рис.

6.3). В этом состоит геометрический смысл предела lim f (x) = A.

x®¥

7. Односторонние пределы ф ункции

Способ приближения x к точке x0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение 7.1. Число B1 называется пределом функции y = f (x) сле-

ва в точке x = x0 , если для любого положительного числа e существует положительное число δ = δ(ε) такое, что для всех x из интервала (x0 - δ; x0 ) , выполняется неравенство | f (x) - B1 |< ε.

Обозначают lim f (x) = B1.

x®x0 -

Другими словами, если значения функции f (x) неограниченно приближаются к некоторому числуB1 при x ® x0 таким образом, что x принимает

19

y

x

Рис. 7.1. График функции f (x) = x2 +1

Значения односторонних пределов данной функции в точкеx0 = 2 изображены на рис. 7.1. Следовательно, так как односторонние пределы функции f (x) = x2 +1 в точке x0 = 2 имеют одинаковые значения, то существует предел

функции f (x) в точке x0 = 2 и lim(x2 +1) = 5.

x®2

20