- •Механика
- •Оглавление
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Глава 2. Динамика
- •Глава 3. Работа и энергия
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •Глава 5. Механические волны
- •Глава 6. Молекулярное движение
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Кинематика поступательного движения
- •Понятия и определения
- •Модуль вектора ускорения
- •1.2. Уравнения движения
- •1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение.
- •1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение
- •1.2.3 Кинематика вращательного и колебательного движения Вращательное движение
- •При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:
- •Колебательное движение
- •Для самостоятельного изучения
- •1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения.
- •1.3.2 Равномерное криволинейное движение.
- •Сложение гармонических колебаний
- •1.4 Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона.
- •2.2. Динамика поступательного движения тела
- •2.3. Динамика вращательного движения
- •2.4. Динамика колебательного движения
- •2.5. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
- •2.6 Для самостоятельного изучения
- •2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
- •2.6.2. Силы гравитационного взаимодействия
- •2.6.3.Силы трения
- •2.6.4.Сила вязкого трения и сопротивления среды.
- •2.6.5.Сила упругости. Закон Гука.
- •6. Колебания математического и физического маятников
- •2.7. Задания для самоконтроля знаний
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Работа. Мощность
- •3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
- •И всегда положительна в любой системе отсчета.
- •3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
- •3.4. Работа и энергия вращательного движения
- •3.5. Энергия колебательного движения
- •3.6. Для самостоятельного изучения
- •3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли
- •3.6.2. Работа силы тяжести
- •3.6.3. Потенциальная энергия пружины
- •3.6.4. Потенциальный барьер и яма
- •3.7. Задание для самоконтроля знаний.
- •Лекция 6
- •Глава 4. Законы сохранения.
- •4.1 Закон сохранения импульса
- •4.2 Закон сохранения момента импульса
- •При составлении равенства (4.5) учтено, что и.
- •4.3 Закон сохранения энергии
- •4.4 Для самостоятельного изучения
- •Абсолютно неупругий удар
- •4.5. Задание для самоконтроля знаний
- •Глава 5. Механические волны
- •5.1 Продольные и поперечные волны
- •Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.
- •5.3.Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 6.Молекулярное движение
- •6.1 Размеры и масса молекул
- •6.2. Движение и столкновение молекул газа
- •6.3 Давление и температура.
- •6.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]
- •6.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
- •6.6 Давление идеального газа на стенку
- •6.7 Уравнение состояния идеального газа
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •7.1. Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа
- •7.2. Работа и теплопередача
- •7.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы.
- •7.4 Теплоемкость
- •7.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность. Энтропия.
- •7.6 Изменение энтропии в изопроцессах
- •7.7 Тепловая машина. Цикл Карно.
- •7.8. Для самостоятельного изучения
- •7.8.1. Второе начало термодинамики
- •Основные понятия в механике
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
- •Основные законы
- •Обозначения
2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести грузауравновешивается силой упругости пружины. Для выбранного направления оси х:
,
Fупр =mg,
где Fупр =kΔl(закон Гука), Δl=l-l0 , l0– длина пружины без груза.
Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорениемасогласно уравнениям:
(2.16)
Введём обозначение , тогда
. (2.17)
Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна
(2.18)
где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),
- циклическая частота,- фаза колебания,- начальная фаза колебания.
Период колебания
(2.19)
частота . (2.20)
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.
При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления
, (2.21)
где r– коэффициент сопротивления. Среды,v– скорость движения груза
С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
. (2.22)
Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения,, тогда
(2.23)
где - коэффициент затухания.
В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза
(2.24)
где и- амплитуда колебаний и фаза в момент времениt=0,
- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).
Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону
. (2.25)
Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:
, (2.26)
(2.27)
где ω0частота свободных колебаний тела.
Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.
Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.
Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.
Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени tи
(2.28)
называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называетсялогарифмическим декрементомзатухания
(2.29)
Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.
,
(2.30)
Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.
За время τ система совершит колебаний.
Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
(2.31)
Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.
При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
, (2.32)
В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1+ х2,
где - соответствует затухающему колебанию,
- вынужденному.
Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.
Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания
(2.33)
где , (2.34)
(2.35)
Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω0.
Для Ω << ω0,
, (2.36)
Ω >> ω0,
, (2.37)
.
Для частоты внешней силы
(2.38)
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний
(2.39)