3.4. Работа и энергия вращательного движения

П

ри повороте тела под действием силыFна бесконечно малый уголdφлюбая его точка переместится на расстоянииdr(рис 3.8).Работа силыFпри повороте на уголdφ

где ;- касательная составляющая силыF.

Произведение F_τr₁=M_z есть проекция момента силы F на ось оZ.Следовательно,

(3.14)

При повороте тела на угол Δφ=φ₂-φ₁

. (3.15)

При M_z=const

(3.16)

При повороте тела на угол dφ

При вращении тела в пределах изменения угловой скорости от ω₁до ω₂

,

где - кинетическая энергия вращательного движения.

Твердое тело может одновременно вращаться и двигаться поступательно. Тогда полная кинетическая энергия

. (3.17)

где - скорость поступательного движения центра инерции; ω – угловая скорость вращения вокруг оси.

3.5. Энергия колебательного движения

В процессе колебаний тела или системы тел происходят периодические переходы его кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую.

Кинетическая энергия

(3.18)

где – коэффициент упругости

.

Потенциальная энергия

. (3.19)

где

Полная энергия

(3.20)

Полная энергия затухающих колебаний

(3.21)

где - начальная энергия колебаний.

На рис 4.9 приведены графики изменения энергии колебательного движения в зависимости от времени.

Затухающие колебания с течением времени изменяют свою энергию. Скорость изменения энергии определяется добротностью

, (3.22)

где Е(t) и E(t+T) - энергия колебаний в момент времени t и t+T.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то добротность

.

Подставим вместо А² его значение ()² тогда

. (3.23)

Используя понятия и определения характеристик затухающих колебаний приведем часто используемые формулы для вычисления добротности.

.

3.6. Для самостоятельного изучения

3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли

Потенциальная энергия тела массой m, относительно поверхности Земли на высотеh(рис 3.10).

Рис 3.10

.

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что за нулевой уровень примем потенциальную энергию тела на поверхности Земли Е_п=0

;.

Потенциальная энергия тела на высоте h

При h << R₃ и

(3.24)