4.2 Закон сохранения момента импульса

Вращательное движение отдельного тела определятся уравнениями

,,

где - момент импульса тела в плоскости относительно некоторой точки О через которую проходит ось вращенияZ(рис 4.2).

Модуль момента импульса материальной точки.

.

Учитывая, что , а- есть радиус вектор, соединяющий точку О с центром инерции тела, то можно записать

где - плечо вектораотносительно точки О.

Вектор направлен вдоль осиZи совпадает с поступательным движением правого винта (буравчика), если он вращается от векторакпо кратчайшему пути.

Закон сохранения момента импульса отдельного тела определяется из соотношения

.

Если .

Если результирующий момент M всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остаётся постоянным.

Рассмотрим систему из двух материальных точек вращающихсяв плоскости Sвокруг оси проходящей через точку О взаимодействующих между собой и с внешними телами (рис 4.3)

.

В произвольный момент времени tмоменты импульсов этих тел,.

Изменение момента импульса каждого из тел обусловлено действием как внутренних, так и внешних моментов сил .

где ,,.

Изменение момента импульса системы тел

+=(4.5)

где

При составлении равенства (4.5) учтено, что и.

Так как и векторное произведение двух параллельных векторов, то, и

(4.6)

Рассмотрим два случая:

1)если суммарный момент внешних сил =0 (система замкнутая)0,=const.

2)если система не является замкнутой, то =

где -суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему.

В замкнутой системе геометрическая сумма моментов импульсов тел всегда остается постоянной

, (4.7)

где- угловая скорость вращенияi-го тела системы в момент времениt.

4.3 Закон сохранения энергии

Движущаяся система тел обладает кинетической энергией. Изменение кинетической энергии может быть обусловлено работой как консервативных F_конс, так и неконсервативных силF_неконс:

dE_к= A_конс+ А_неконс.

Работа, совершаемая консервативными и не консервативными силами

A_конс= – dE_п,

А_неконс= dE_к+ dE_п=d(E_к+ E_п).(4.8)

Изменение полной механической энергии обусловлено работой только неконсервативных сил.

Если на систему действуют только консервативные силы, то А_неконс=0 а полная механическая энергия остаётся постоянной (dE=0,E=const).

В замкнутой консервативной системе, в которой взаимодействие с внешними телами отсутствует, могут происходить лишь взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии. При этом убыль кинетической энергии всегда равна приращению потенциальной и наоборот.

Если внутри замкнутой системы действуют неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия такой системы уменьшается, превращаясь в другие, немеханические виды энергии. Мерой этого превращения является работа, совершаемая неконсервативными силами.

Если система не замкнута и не консервативна, то изменение полной механической энергии при ее переходе из одного механического состояния в другое равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних неконсервативных сил, действующих на систему в процессе этого перехода.