pm_l_2 Прикл мех Сопромат
.pdf
81
Рисунок13.10 - Внутрішнісиловічинникивпоперечнихперерізах призгинізкрученнямвала
Якщонашківдіютьдвісили, наприкладt іt (рис. 13.10, в), то результуючасила, щодієнавісьвала, F= t + t , акрутильниймомент
T ( t' t'' ) Д (рис. 13.10, г). За умови, що ведуча віткапаса
2
натягнутавдвічісильнішевідведеної(t = 2t ), маємоF1= t1 + t1 =3t1, F2= t2 + + t2 =3t2, (див. рис. 13.9). Розрахунковасхемавалапасової передачізображенанарис. 13.11, а. СилиF1 іF2 розкладаютьна вертикальнітагоризонтальніскладові. ВертикальнісилиF1у іF2у утворятьвпідшипникахвертикальніреакціїRAy i RBy, агоризонтальні силиF1z іF2z – горизонтальніреакціїRAz i RBz. Величиниреакційв підшипникахвалавизначаютьякдлябалки, щолежитьнадвохопорах (див. рис. 13.11, б, г), складаючирівняннярівноваги.
ЕпюразгинаючихмоментівМz побудованавідвертикальнихсил RAy, F1у , F2у , RBy іпоказананарис. 13.11, в. Аналогічноїйепюра
82
згинаючихмоментівМy угоризонтальнійплощиніпобудованавід горизонтальнихсилRAz, F1z , F2z іRBz (рис. 13.11, д). Епюрусумарних згинаючихмоментівМзг(рис. 13.11, е) будуютьнапідставіепюрМz і Музаформулою
Мзг 
М2z M 2y
(13.19)
Зарівномірногообертаннявалавінперебуваєвстанірівноваги,
тобтоТ+Т=0. Епюракрутнихмоментівізврахуванням того, що
1 2
Т=Т=Т, зображенанарис. 13.11, ж.
1 2
Небезпечний перерізваларозміщенотам, деепюри повних згинаючихмоментівМзгікрутнихмоментівМкдосягаютьнайбільших значень. Длявала, показаногонарис. 13.11, небезпечнимбудепереріз С, зображений на рис. 13.12. В цьому перерізідіє найбільший
згинаючиймоментМ , такожмаксимальнийкрутниймоментМ . За |
|
зг |
к |
вісьувзятавісь, якаперпендикулярнадоплощинидіїзгинаючого
моментуМ . Отже, вісьу– ценейтральналініяперерізу.
зг
ВіддіїмоментівМзг іМк упоперечномуперерізівиникають нормальніσідотичніτнапруги, значенняякихвбудь-якійточці перерізувизначаютьсязаформулами
|
|
|
|
M |
зг |
|
M K |
|
|
|
|
|
(13.20) |
|||
|
|
|
|
|
Z ; |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I p |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t t |
Д t Д |
|
|
t |
t |
t |
Д |
|||||||
T |
1 1 |
1 |
|
1 1 |
, T |
2 |
2 |
Д |
|
2 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ТутІ=І=І– осьовиймоментінерціївалакруглогопоперечного |
||||||||||||||||
z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перерізу; І= І+ І= 2І– полярниймоментінерціїтогожперерізу. |
||||||||||||||||
р z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Епюринормальнихідотичнихнапругзображенінарис. 13.12. Максимальні за абсолютними величинами нормальні напруги виникаютьунайвіддаленішихвіднейтральноїлініїточкахКтаL :
M зг
W
(13.21)
83
Рисунок13.11 - ПорядокпобудовиепюрМz , Му, МзгіМк призгинізкрученням
84
Рисунок13.12 - Епюриσіτупоперечномуперерізівалапризгинізкрученням
Найбільшідотичнінапруги виникають в точках контура перерізу
M K M K . W p 2 W
(13.22)
У формулі(13.22) враховано, щополярниймоментопорудля кругаWp удвічібільшийвідосьовогоW = Wz = Wy.
Дляматеріалів, якіоднаково чинятьопір розтягу істиску, небезпечнимивпоперечномуперерізібудутьодночасноточкиКіL.
Розрахунокваланаміцністьпризгинізкрученнямпроводиться звикористанням однієїзтеорій міцності. В цьому разівал із пластичних матеріалів розраховують за третьою або четвертою теоріямиміцності. Загальнаумоваміцностіваламатимевигляд
екв . (13.23)
Тодізатретьоютеорієюміцностімаємо
|
2 |
2 |
4 |
, |
|
екв.ІІ 1 3 |
|
|
(13.24)
азачетвертоютеорієюдістанемо
2 2
екв.ІV 3 .
(13.25)
85
Враховуючиформули(13.21), (13.24) і(13.25) тодіумовуміцності (13.23) можназамінитиоднієюформулою:
екв M зв ,
W
(13.26)
де Мзв – зведений момент, який визначається за відповідними теоріямиміцності:
затретьоютеорієюміцності
M зв |
M 2 М2 |
M 2 |
M 2 |
M 2 |
, |
(13.27) |
III |
зг К |
z |
y |
K |
|
|
зачетвертоютеорієюміцності
M |
зв |
M2 |
0,75 М2 |
M2 |
M |
2 |
0,75 M2 |
. (13.28) |
|
|
зг |
К |
z |
|
y |
K |
|
||
|
IV |
|
|
|
|
|
|
||
Звернемоувагу, щоотриманіформулисправджуютьсятакож длярозрахунківкільцевогопоперечногоперерізу.
13.4 Стійкістьстисненихстержнів
Руйнуваннястержнівможевідбуватисянетількитому, щобуде порушенойогоміцність, айтому, щостерженьнезберігаєтієїформи, котрайомунаданаконструктором. Найбільш типовим прикладомє робота стержня стиснутого силами F. Так, якщо підвергнути поздовжньому стиску тонку дерев’яну лінійку, то вона може зігнувшисьзламатися, оскількиприїскривленнівиникаютьзгинаючі моментивідстискаючихсилF і, отжепоявадодатковоїнапругизгину (говорять, щолінійкавтратиластійкість). Томудлянадійноїроботи конструкціїнедостатньо, щобвонабуламіцною, атребаще, щобвсії елементи були стійкі, тобто вони повинніпри діїнавантажень деформуватисяутакихмежах, щобхарактерїхроботизалишався незмінним. Томувціломурядівипадків, асамедлястислихстержнів, окрімперевіркинаміцністьщенеобхіднаперевіркайнастійкість.
Втратустійкостіпрямолінійноїформистислогостержняіноді називають“повздовжнімзгином”.
Сила, приякійпрямолінійнаформастислогостержняперестає бути стійкою формою рівноваги стислого стержня, називається критичноюсилоюFк.
КритичнасилаFк викликаєвстисломустержнінапругу, що
називається“критичноюнапругою”σ, тобто
к
|
|
86 |
|
FK |
. |
|
||
K |
A |
|
|
|
(13.29)
Критична напруга є небезпечною напругою для стислого стержня. Тому, щоб забезпечити стійкість прямолінійноїформи стержня, стислого силами F, необхідно до умови міцності
( |
F |
) додатищейумовустійкості |
|
||
A |
|
||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
, |
(13.30) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
y |
|
|
|
|
|
|
|
де y K - припустиманапруганастійкість, КУ – коефіцієнт
K y
запасунастійкість, якийможнаприймати1,8…3,0.
Згідно формули Ейлера критична сила, для шарнірного закріпленнястержняздвохбоків, визначається:
FK 2 E2 Imin , l
(13.31)
де Іmin – мінімальний осьовий моментінерціїпоперечного перерізустержня, аl – довжинастержня. Ітодіможнавизначити критичнунапругузаформулою
|
F |
2EI |
min |
2Ei |
2 |
|
2E |
2E |
|
|
||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
, |
(13.32) |
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
K |
A |
|
l |
|
l |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
|
|
||
з |
– гнучкістьстержня, априμ=1 (основнийвипадок |
||||||||
де |
|
||||||||
|
imin |
|
|
|
|
|
з |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
закріплення) |
|
e |
, i |
min |
|
Imin |
|
- радіусінерції, μз– коефіцієнт |
|
|
|
||||||||
|
|
imin |
|
|
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
зведеннядовжини.
87
В залежностівідспособазакріпленнястержнякритичнасила визначається
FK 2 EImin ,
l 2
з
(13.33)
деμl – зведена(вільна) довжина.
з
Коефіцієнт зведення довжини стержня залежить від його закріплення. Так на рис. 13.13 наведено приклади стержнів з найхарактернішими способами закріплення кінців івідповідніїм
значеннякоефіцієнтівμ
з
Рисунок13.13 - Значеннякоефіцієнтаμзприрізнихформахзакріпленнястержня
Формула Ейлера застосовується (вживається) для різних матеріалів, взалежностівідгнучкостістержня:
1)длясталейприλ 85,
2)длячавунівприλ 80,
3)длясосниприλ 110, іт. ін.
Длястержнівсередньоїтамалоїгнучкості, якінезадовольняють вищеприведеним співвідношенням, пропонуютьсярізніемпіричні формули, яківказують, щокритичнінапругипритакихгнучкостях змінюютьсяпозаконублизькомудолінійного
88
K a b ,
(13.34)
деa таb – коефіцієнти, якізалежатьвідматеріалів.
Формула(13.34) маєназву формули Ясинського. Данідля коефіцієнтівa таb длярізнихматеріалівприведеніудовідниках. Так длясталі3 при40 100, а=336 МПа, b =1,47 МПа. Такимчином стислістержнінеобхідноперевірятинетількинаміцність, алеіна стійкістьдивисьформули(13.29) і(13.30), прицьомувраховуючи, що якщоціумовинезадовільненіабозадовільненізвеликимзапасом, то тодінеобхіднозмінитирозміриперерізуірозрахункиповторитидо тихпір, покирізницяміж напругою устержнііприпустимою не перевищує3…5%.
Розрахунокнастійкістьзводитьсядонаступного: якправило задані(стискаюча сила F, умова закріплення стержня та його довжина), прицьомудобираєтьсяформастержняізавдаютьсярозміри йогопоперечногоперерізу. Потім обчислюютьнайменшийрадіус інерціїта гнучкість стержня, після чого по таблицізнаходять коефіцієнтφ(коефіцієнтзменшенняприпустимоїнапруги). Знаючиφ обчислюють[σ]c=φ[σ] іпотімроблятьперевіркуумовистійкостіза формулою
F .
A c
(13.35)
Слідзауважити, щодляпершогорозрахункуприймаютьφ=0,5 і визначають розміри перерізу. Кількість розрахунків визначається умовоющобσта[σ]сневідрізнялисьбільшеніж3…5%.
СПИСОКЛІТЕРАТУРИ
1.АртоболевськийІ.І. Теоріямеханізмівімашин. М., 1977. -640 с.
2.ЗаблонськийК.І. іінші. Прикладнамеханіка. – Київ, Вищашкола,
1984. - 280 с.
3.Чернілевський Д.В., Кіницький Я.Т., Панов С.Л. Технічна механіка. Книга3. Основитеоріїмашинтамеханізмів. Київ, 1992. -
167с.